控制系统的动态数学模型

1、控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型本章基本要求本章基本要求熟悉建立系统（或元部件）微分方程的步骤和熟悉建立系统（或元部件）微分方程的步骤和方法，掌握运用拉式变换解微分方程的方法方法，掌握运用拉式变换解微分方程的方法牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及其传递函数节及其传递函数掌握系统结构图的建立、等效变换及其开环、掌握系统结构图的建立、等效变换及其开环、闭环传递函数的求取闭环传递函数的求取掌握应用梅逊公式求取传递函数的方法掌握应用梅逊公式求取传递函数的方法控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型一、基本环节数学模型一、基本环节数学模型

2、数学模型数学模型 描述系统在运动过程中各变量之间相互关描述系统在运动过程中各变量之间相互关系的表达式。系的表达式。数学模型的形式数学模型的形式微分方程、传递函数和动态结构图、频率特性微分方程、传递函数和动态结构图、频率特性数学模型的获取数学模型的获取物理分析法物理分析法：从元件或系统所依据的物理或化学规律：从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建立其数学表达式并经实验加以验证。出发，建立其数学表达式并经实验加以验证。实验法实验法：对系统加入一定的形式的输入信号，用求取：对系统加入一定的形式的输入信号，用求取系统输出响应的方法得到一系列图表或曲线，然后经系统输出响应的方法得到一系列图表或曲线，

3、然后经过适当的数学处理建立其数学模型。过适当的数学处理建立其数学模型。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型为什么要建立控制系统的数学模型为什么要建立控制系统的数学模型? ? 控制系统的数学模型是由具体的物理问控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键。精确认识的关键。数学自身的理论是严密精确和较完善的，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。于这些成熟的理论。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型对系统数学模型的基本要

4、求对系统数学模型的基本要求 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确）地描述一个系统，因为，任何一个系统都准确）地描述一个系统，因为，任何一个系统都是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越复杂，情况也越复杂。因素，系统越复杂，情况也越复杂。实际中，为了简化问题，常常对一些对系统运实际中，为了简化问题，常常对一些对系统运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模，进行定量分析。建模，进行定量分析。建立模型时应考虑的因素建立模型时应考虑的因素 模型类型和

5、系统模型类型和系统允许的误差允许的误差控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型线性元件的微分方程线性元件的微分方程RC组成的四端网络例：例：图为由一图为由一RCRC组成的四端无源网络。试列写以组成的四端无源网络。试列写以U1U1（t t）为输入量，为输入量，U2(t)U2(t)为输出量的网络微分方程为输出量的网络微分方程1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCCRRRCRC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。方程。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型直流电动机的原理图直流电动机的原理图例：例：图

6、为电枢控制的他激图为电枢控制的他激直流电动机。以电枢电压直流电动机。以电枢电压为输入量，以电机转角为为输入量，以电机转角为输出量。输出量。ammmmuKdtddtdT22控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型控制系统微分方程的建立步骤控制系统微分方程的建立步骤 根据元件的作用及其工作原理，确定其输入量根据元件的作用及其工作原理，确定其输入量和输出量；和输出量；将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程列出各环节的线性化原始方程消去中间变量

7、，写出仅包含输入、输出变量的消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。微分方程式。单输入单输出系统的微分方程的一般形式单输入单输出系统的微分方程的一般形式)()(.)()()()(.)()() 1 (1) 1(1)(0) 1 (1) 1(1)(0tuatubtubtubtyatyatyatyammmmnnnn控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型线性系统线性系统定义：能用线性微分方程描述的元件或系统称定义：能用线性微分方程描述的元件或系统称为线性元件或线性系统。为线性元件或线性系统。叠加原理：两个外作用同时加于系统，所产生叠加原理：两个外作用同时加于系统，所产生的总响应等于各个

8、外作用单独作用时分别产生的的总响应等于各个外作用单独作用时分别产生的响应之和；且外作用的数值增大若干倍时，其响响应之和；且外作用的数值增大若干倍时，其响应亦增大同样的倍数。应亦增大同样的倍数。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型二、数学模型的线性化二、数学模型的线性化当非线性因素对系统影响很小时，一般予以忽略，当非线性因素对系统影响很小时，一般予以忽略，将系统当作线性系统处理。将系统当作线性系统处理。非线性元件的变量在动态过程中对某一工作状态非线性元件的变量在动态过程中对某一工作状态偏离很小，那么元件的输入与输出之间，可近似为偏离很小，那么元件的输入与输出之间，可近似为线性关系线性关系

9、线性化处理线性化处理控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型基本方法基本方法 设元件的输入量设元件的输入量x(t)x(t)和输出量和输出量y(t)y(t)的非线性函数为的非线性函数为y=f(x)y=f(x)在系统工作点在系统工作点( (x x0 0,y,y0 0) )的邻域内，按台劳级数展开，即的邻域内，按台劳级数展开，即20202000)()(! 21)()()(xxdxxfdxxdxxdfxfy因为变量因为变量x x偏离工作点偏离工作点x x0 0的范围较小，所以增量的范围较小，所以增量( (x-xx-x0 0) )的的高次项可以忽略不计，故可近似得到高次项可以忽略不计，故可近似得到)

10、()()(000 xxdxxdfxfy即即)(00 xxKyy000)()(xxdxxdfKxfy控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型在系统线性化过程中的注意事项在系统线性化过程中的注意事项线性化是相对某一工作点的。工作点不同，所线性化是相对某一工作点的。工作点不同，所得的方程系数也不同。得的方程系数也不同。变量的偏差愈小，则线性化精度愈高。变量的偏差愈小，则线性化精度愈高。增量方程中可以认为其初始条件为零增量方程中可以认为其初始条件为零, ,即广义即广义坐标原点平移到额定工作点处。坐标原点平移到额定工作点处。线性化只用于没有间断点、折断点的单值函数。线性化只用于没有间断点、折断点的单

11、值函数。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型例：图为单摆Ti(t)ml(t)222)()()(sin)(dttdmlltmgtTi sin! 5! 3sin053接近为线性方程：则原微分方程可以近似)()()(222tTtmgldttdmli根据牛顿第二定律得：根据牛顿第二定律得：控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型三、拉普拉氏变换及反变换三、拉普拉氏变换及反变换（一）拉氏变换定义对于函数对于函数x(t)x(t)，如果满足下列条件如果满足下列条件a a 当当t0t0t0时时, ,x(t)x(t)在每个有限区间上是分段连续的。在每个有限区间上是分段连续的。)()()()(0sXt

12、xtxdtetxbt的拉氏变换为指数级；则可定义即为正实数，其中0)()()(dtetxtxLsXst控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（二）简单函数的拉氏变换（二）简单函数的拉氏变换单位阶跃函数单位阶跃函数1(1(t)t)0, 10, 0)( 1tttstL1)( 1指数函数指数函数e eatat1(t)1(t)asteLat1)( 1幂函数幂函数t tn n1(t)1(t)1!)( 1nnsnttL控制系统的动态数学模型正弦函数正弦函数sinsin t t1(t)1(t)和余弦函数和余弦函数coscos t t1(t)1(t)由欧拉格式由欧拉格式sincossincosjejej

13、j得2cos2sinjjjjeejee22)( 1sinsttL22)( 1cosssttL控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型)(1)(1bsaseeabatbt)()(1bsassaebeabatbt22)(sinasteat22)(cosasasteat控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（三）拉氏变换的性质（三）拉氏变换的性质叠加性质叠加性质)()()()(SbGSaFtbgtafL微分定理微分定理)0()()(fSSFtfdtdL22(1)2( )( )(0)(0)dLf ts F ssffdtn12(1)(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnndLf ts F

14、 ssfsffdt积分定理积分定理SfSSFdttfL)0()()(1衰减定理衰减定理)()(aSFtfeLat111000( )(0)(0)( )ntttnnnF sffLf t dtsss 控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型延时定理延时定理)()( 1 )(SFeatatfLaS初值定理初值定理)(lim)(lim0SSFtfSt终值定理终值定理)()(limlim0SSFtfSt时间比例尺的改变时间比例尺的改变)()(aSaFatfL时间时间t t乘函数乘函数后拉式变换后拉式变换dSSdFttL)()(f卷积分的拉卷积分的拉式变换式变换)()()()(SGSFtgtfL控制系统

15、的动态数学模型控制系统的动态数学模型0)(tf0t例：求下列函数的拉氏变换，假定当例：求下列函数的拉氏变换，假定当 时，时， 。)3cos1 (5)(1ttf）（tetft10cos)(25 . 0）（35sin)(3ttf）（955)(12ssssF）（100)5 . 0(5 . 0)(22sssF）（25235)(32sssF）（控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（四）拉氏反变换（四）拉氏反变换jajaStdSeSXjtx)(21)(nnnnmmmmasasasbsbsbsbsNsMsX1111110)()()(式中，式中，a a0 0 、 a a1 1、a an-1n-1及及b

16、 b0 0、b b1 1、b bm m均为有理数，均为有理数，m m、n n为正整数，且为正整数，且n n m m。将将X(s)X(s)的分母多项式进行因式分解，即写为的分母多项式进行因式分解，即写为)()()(21nsssssssN式中，式中，s s1 1、s s2 2、s sn n为为N(s)=0N(s)=0的根。的根。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型1.1.X(s)X(s)中只含不同单极点中只含不同单极点可以将可以将X(s)X(s)换写成换写成n n个部分分式之和，即个部分分式之和，即nnssCssCssCsF2211)(或或niiissCsF1)(则由拉氏反变换表即可查得则

17、由拉氏反变换表即可查得X(s)X(s)的反变换。的反变换。tisniiniiieCssCLsXLtx1111)()(issiissiisssNsMsssFC)()()()()(控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型例：例：求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。342)(2ssssF) 1()3() 1)(3(2342)(212sCsCsssssssF解：解：21)3)(31sssFC21) 1)(12sssFC121321)(sssFtteetf2121)(3233)(2 ssssX控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型2.X(s)2.X(s)含有多重极点含有多重极点设设s s1 1为

18、为m m阶重根，阶重根，s sm+1m+1、s sm2m2、s sn n为单根，则为单根，则nnmmmmmmssCssCssCssCssCsX11111111)()()(11)1()1(111111)()()!1(1)()()()(ssmmmssmmssmmsssFdsdmCsssFdsdCsssFC nmitisitsmmmmeCeCtCtCsXLtx1112111)()(控制系统的动态数学模型3.3.X(s)X(s)含有共轭复数极点含有共轭复数极点niiissCjsjsCsCsX221)()(求求c c1 1、c c2 2的步骤的步骤等式两边乘等式两边乘( (s+s+ +j +j )(s+

19、 )(s+ -j-j ) )，两边同时令两边同时令s=-s=- -j -j 或或s=- s=- +j+j , ,得得所得等式两边实部、虚部对应相等，即可求得所得等式两边实部、虚部对应相等，即可求得C C1 1、C C2 2。 jsjsjsjssXCsC )()()(21控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（五）用拉氏变换求解微分方程（五）用拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程的步骤：拉氏变换求解微分方程的步骤：1.1.将微分方程进行拉氏变换，得到以将微分方程进行拉氏变换，得到以s s为变量的为变量的代数方程。代数方程。2.2.解变换方程，求出输出变量的象函数表达式。解变换方程，求出

20、输出变量的象函数表达式。3.3.将输出象函数表达式展开成部分分式。将输出象函数表达式展开成部分分式。4.4.求待定常数，对部分分式进行拉氏反变换，求待定常数，对部分分式进行拉氏反变换，即的微分方程的全解。即的微分方程的全解。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型解题过程示意图解题过程示意图控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型四、传递函数以及典型环节的传递函数四、传递函数以及典型环节的传递函数传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统，在线性定常系统，在零初始条件零初始条件下，系统输出量的拉下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初始条件零初

21、始条件输入及其各阶导数在输入及其各阶导数在t =0t =0- -时刻均为时刻均为0 0；输出及其各阶导数在输出及其各阶导数在t =0t =0- -时刻均为时刻均为0 0。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型)()(.)()()()(.)()(11110001011100txbtxidtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdainninninnnnnnnn设描述系统或元件的微分方程的一般表示形式为设描述系统或元件的微分方程的一般表示形式为在零初始条件下，求拉氏变换得在零初始条件下，求拉氏变换得)(.)(.111001110SXbSbSbSbSXaSaSaSa

22、immmmnnnn系统传递函数为：系统传递函数为：nnnmmmiaSaSabSbSbSXSXSG.)()()(1101100控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明1.1.传递函数是由拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，传递函数是由拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。2.2.传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统处传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统处于相对静止状态。因此传递函数原则上不能反映在非零初始条件于相对静止状态。

23、因此传递函数原则上不能反映在非零初始条件下的全部运动规律。下的全部运动规律。3.3.传递函数只取决于系统的结构、元件参数，与输入信号的形式传递函数只取决于系统的结构、元件参数，与输入信号的形式无关。无关。4.4.控制系统传递函数分子多项式的阶次总是等于或小于分母多项控制系统传递函数分子多项式的阶次总是等于或小于分母多项式的阶次。式的阶次。5.5.传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程多项式。传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程多项式。控制系统的动态数学模型传递函数列写大致步骤传递函数列写大致步骤方法一：方法一： 列写系统的微分方程列写系统的微分方程消去中间变量消去中间变量在零

24、初始条件下取拉氏变换在零初始条件下取拉氏变换求输出与输入拉氏变换之比求输出与输入拉氏变换之比方法二：方法二：列写系统中各元件的微分方程列写系统中各元件的微分方程在零初始条件下求拉氏变换在零初始条件下求拉氏变换整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量整理成传递函数的形式整理成传递函数的形式控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型典型环节的传递函数典型环节的传递函数环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。组或元件的一部分称为一个环节。典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、典型环节有比例环

25、节、积分环节、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、二阶振荡环节等。惯性环节、一阶微分环节、二阶振荡环节等。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型典型环节传递函数典型环节传递函数KsG)(特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。比例环节比例环节( (Proportional Element)Proportional Element)微分方程为：微分方程为：)()(tKxtxio传递函数为：传递函数为：齿轮传动副齿轮传动副运算放大器运算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(控制系统的动态数学模型控制系统的动

26、态数学模型控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型积分环节（积分环节（Integral ElementIntegral Element）微分方程为：微分方程为：dttrTtc)(1)(传递函数为：传递函数为：TssG1)(特点：特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。入消失，输出具有记忆功能。常见的积分环节：常见的积分环节：控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型微分环节（微分环节（Dreivative Element）特点：特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。入

27、信号的变化趋势。TSsG)(微分方程为：微分方程为：dttdrTtc)()(传递函数为：传递函数为：理想微分环节理想微分环节 在物理系统中微分环节很难独立存在，经常和在物理系统中微分环节很难独立存在，经常和其他环节一起出现。其他环节一起出现。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型无负载无负载dttdKtuio)()(传递函数传递函数KsssUsGio)()()(控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型惯性环节（惯性环节（Inertrial ElementInertrial Element）1)(TsKsG特点：含一个储能元件，对突变的输入特点：含一个储能元件，对突变的输入, ,其输出

28、不其输出不能立即复现，输出无振荡。能立即复现，输出无振荡。微分方程为：微分方程为：传递函数为：传递函数为：)()()(tKrtcdttdcT控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型RCRC电路电路)()()(tutudttduRCrooRCTTsRCSsG,1111)(弹簧弹簧- -阻尼器阻尼器)()()(tKxtKxdttdxDiooKDTTsKDSKsG,11)(控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型振荡环节（振荡环节（oscillating Element）121)(22TssTsG式中，式中，为振荡环节的阻尼比（阻尼系数）为振荡环节的阻尼比（阻尼系数） T T1/1/ n n

29、为振荡环节的时间传常数为振荡环节的时间传常数特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。能量交换，其输出出现振荡。微分方程为：微分方程为：传递函数为：传递函数为：)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc11)(2RCsLCssG)()()()(22tFtydttdyfdttydmkfsmssG21)(控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型振荡环节单位阶跃响应曲线振荡环节单位阶跃响应曲线当当 0时，响应

30、时，响应c(t)为等幅振荡过程为等幅振荡过程当当01时，响应时，响应c(t)为衰减振荡过程为衰减振荡过程当当1时，响应时，响应c(t)为单调（非振荡）上升过程为单调（非振荡）上升过程控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型一阶微分环节一阶微分环节1)( ssG 一阶微分环节输出是输入的一阶导数。一阶微分环节输出是输入的一阶导数。微分方程为：微分方程为：传递函数为：传递函数为：)()()(txtxdttdxoii 输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的报告，因此，一阶微分统以有关输入变化趋势的报告，因此，一阶微分环节常用来改善系统的

31、动态性能。环节常用来改善系统的动态性能。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型二阶微分环节二阶微分环节12)(22sssG 二阶微分环节输出是输入的二阶导数。二阶微分环节输出是输入的二阶导数。微分方程为：微分方程为：传递函数为：传递函数为：)()()(2)(222txtxdttdxdttxdoiii 输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的报告，因此，二阶微分统以有关输入变化趋势的报告，因此，二阶微分环节常用来改善系统的动态性能。环节常用来改善系统的动态性能。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型延时环节延时环节sesG)(

32、微分方程为：微分方程为：传递函数为：传递函数为：)()(txtxio特点：输出能准确复现输入，但是延迟一个固定特点：输出能准确复现输入，但是延迟一个固定的时间间隔。的时间间隔。总结总结典型环节是根据微分方程划分的，不是具体物典型环节是根据微分方程划分的，不是具体物理装置或元件。理装置或元件。一个环节往往有几个元件之间的运动特性共同一个环节往往有几个元件之间的运动特性共同组成的。组成的。同一个元件在不同系统中的作用不同，输入输同一个元件在不同系统中的作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不环节的作用。出的物理量不同，可起到不环节的作用。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型控制系统的动态数

33、学模型控制系统的动态数学模型五、系统函数方框图及其简化五、系统函数方框图及其简化特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型1 1、系统结构图（方框图）的组成和绘制、系统结构图（方框图）的组成和绘制四种基本单元四种基本单元信号线信号线：带有箭头的直线，：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或线旁标记信号的时间函数或象函数。象函数。引出点引出点（或测量点）：表示（或测量点）：表示信号引出或测量的位置，从信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值同一位

34、置引出的信号在数值和性质方面完全相同。和性质方面完全相同。控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型比较点比较点（综合点、相加点）：（综合点、相加点）：表示两个以上的信号进行加表示两个以上的信号进行加减运算。减运算。方框方框（或环节）：表示对（或环节）：表示对信号进行的数学变换，方信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的框中写入元部件或系统的传递函数。传递函数。注：方框与实际系统中的元部件并非一一对应。注：方框与实际系统中的元部件并非一一对应。)()()(sGsUsC控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型连接方式连接方式（1 1）串联连接）串联连接（2 2）并联连接）并联连接（3

35、3）反馈连接）反馈连接控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型结构图的建立结构图的建立建立步骤：建立步骤：1 1）列出各环节（元件）的传递函数；）列出各环节（元件）的传递函数；2 2）根据各环节之间的信号流向，用图的形式连）根据各环节之间的信号流向，用图的形式连接起来。接起来。例例1 1 无源网络无源网络2)()(RsIsUc)()()(21sIsIsI111)()(RsUsICssUsI)()(12)()()(1sUsUsUcr控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型将上面的各环节（元件）的部分综合有：将上面的各环节（元件）的部分综合有：控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（

36、1 1）串联连接）串联连接)()()()(21sUsGsGsC（2 2）并联连接）并联连接)()()()(21sUsGsGsC控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（3 3）反馈连接）反馈连接)()()(1)()(sRsHsGsGsC（4 4）比较点右移）比较点右移控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（5 5）比较点左移）比较点左移（6 6）比较点合并）比较点合并控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（7 7）引出点左移）引出点左移（8 8）引出点右移）引出点右移控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型注意：比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。注意：比较点和引出点之间

37、一般不宜交换其位置。x1(t)x2(t)x4(t)x3(t)x1(t)x2(t)x4(t)x3(t)G(s)x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)G(s)x1(t)x2(t)x4(t)x3(t)x1(t)x2(t)x4(t)x3(t)G(s)G(s)x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)G(s)1/G(s)控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型基本思路基本思路：利用等效变换法则，移动比较点和引出点，：利用等效变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。简化原则：简化原则：变换前后变量关系保持等效。变换前后变量关系保持等

38、效。系统方框图的简化过程：系统方框图的简化过程：根据研究目的确定系统的输入和输出。输入、输出确定后，根据研究目的确定系统的输入和输出。输入、输出确定后，从输入至输出的通道就成为前向通道。从输入至输出的通道就成为前向通道。串联、并联、反馈连接的环节由等效环节代替。若由交叉串联、并联、反馈连接的环节由等效环节代替。若由交叉反馈存在，则可先移动信号相加点或分支点，然后逐步减少反馈存在，则可先移动信号相加点或分支点，然后逐步减少局部反馈回路。局部反馈回路。把闭环系统简化成最基本的方框图形式，并求出它的传递把闭环系统简化成最基本的方框图形式，并求出它的传递函数。函数。控制系统的动态数学模型例1sCRsC

39、RsCRsUsUrc212211) 1)(1(1)()(控制系统的动态数学模型例214321232144333243211)()(HGGGGHGGGHGGHGGGGGGsRsC控制系统的动态数学模型例3控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型六、系统信号流图及梅逊公式六、系统信号流图及梅逊公式信号流图信号流图起源于梅逊（起源于梅逊（S. J. MASONS. J. MASON）利用图示法来描利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由述一个或一组线性代数方程式，是由节点节点和和支路支路组成的组成的一种信号传递网络。一种信号传递网络。（1 1）节点：）节点：标志系统的

40、（输入、输出和中间变量），标志系统的（输入、输出和中间变量），变量值是所有输入到该节点的信号的代数和，用变量值是所有输入到该节点的信号的代数和，用“”表示。表示。 （2 2）支路：）支路：用有向线段表示，其线上标明增益，经支用有向线段表示，其线上标明增益，经支路传递的信号应乘以支路增益。路传递的信号应乘以支路增益。组成组成控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型说明说明（1）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信号之代）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信号之代数和，与流出无关，而从同一节点流出的信号均等于该数和，与流出无关，而从同一节点流出的信号均等于该节点变量，同方向传递的信号不能重

41、复计算。节点变量，同方向传递的信号不能重复计算。（2）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。路增益而变换为另一信号。（3）信号在支路上沿箭头方向单向传递。）信号在支路上沿箭头方向单向传递。（4）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出支路，可以从信号流图中分离出系统变量。即变混合支路，可以从信号流图中分离出系统变量。即变混合节点为阱节点，分离前后的变量相同。节点为阱节点，分离前后的变量相同。信号流图的建立信号流图的建立（1）直接由系统的工作原理图进行绘制。）直接由系统的工作原理图进

42、行绘制。（2）根据系统的微分方程（组）或其变换方程（组）根据系统的微分方程（组）或其变换方程（组）进行绘制。进行绘制。系统的微分方程组为系统的微分方程组为例：求例：求RCRC电路的信号流图电路的信号流图tooiidCuuRiu01在零初始条件下进行拉氏变换得：在零初始条件下进行拉氏变换得：)()()()(1)(sUsRIsUsICssUoio)()()()()(sCsUsIsRIsUsUoio控制系统的动态数学模型（3 3）由方框图演变得到。）由方框图演变得到。流图与方框图的比较流图与方框图的比较控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型例例: : x x2 2= =a a1212x x1

43、1+ +a a3232x x3 3 x x3 3= =a a1313x x1 1+ +a a2323x x2 2+ +a a3333x x3 3 x x4 4=a=a2424x x2 2+a+a3434x x3 3x x1 1 输入节点输入节点x x4 4 输出节点输出节点x x2 2，x x3 3中间节点（混合节点）中间节点（混合节点）x1x 2x4x3a12a34a33a24a32a23a13控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型名词术语名词术语（1 1）源节点（输入节点）：只有输出没有输入，）源节点（输入节点）：只有输出没有输入，一般代表系统的输入变量。一般代表系统的输入变量。（2

44、 2）阱节点（输出节点）：只有输入没有输出，）阱节点（输出节点）：只有输入没有输出，一般代表系统的输出变量。一般代表系统的输出变量。123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型（3 3）混合节点：既有输入又有输出的节点。）混合节点：既有输入又有输出的节点。（4 4）前向通路：信号从输入节点到输出节点的）前向通路：信号从输入节点到输出节点的传递中，每个节点只通过一次的通路。传递中，每个节点只通过一次的通路。（5 5）回路：起点与终点在同一节点，且信号通过）回路：起点与终点在同一节点，且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。每一节点不

45、多于一次的闭合通路。123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H控制系统的动态数学模型（6 6）不接触回路：回路之间没有公共节点。）不接触回路：回路之间没有公共节点。123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型梅逊公式梅逊公式nkkkPP1 流图的特征式流图的特征式P P系统总传递函数系统总传递函数n从输入节点到输出节点的前向通道总数从输入节点到输出节点的前向通道总数P Pk k 第第k k条前向通路的传递函数条前向通路的传递函数fedcbaLLLLLL1 La所有单个回路增益之和所有单个回路增益之和 LbLc

46、所有单个回路中，每次取其中不同的两个不接所有单个回路中，每次取其中不同的两个不接触回路增益乘积之和触回路增益乘积之和 LdLfLe所有回路中，每次取其中不同的三个互不接所有回路中，每次取其中不同的三个互不接触回路增益乘积之和触回路增益乘积之和 k k 余因子式，即在余因子式，即在 中令与第中令与第k条前向通路相接触的回路条前向通路相接触的回路增益为零所得到的增益为零所得到的 值值123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H求图求图a a所示信号流图的总增益所示信号流图的总增益)()(15sXsX(a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a

47、(b)1x2x3x4x5x11453423121aaaaP(c)2x1x3x5x44235231211 aaaaP控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型(d)互不接触(e)(f)(g)互不接触2x2x2x2x3x3x4x4x5x5x32231aaL 4234232aaaL 443aL 524534234aaaaL 5235235aaaL 44322312aaaL 4452352322aaaaL (a)1x2x3x4x12a23a34a42a32a45a44a5x35a52a控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型例：求所示流程图的总增益X5/X1(a)1x2x3x4x12a23a34

48、a42a32a45a44a5x35a52a445235234432235235235234234442342332233523124445342312)(1)1 (aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaP利用利用Masons gain formula Masons gain formula 求图所示系统的闭环传求图所示系统的闭环传递函数。递函数。123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H解：前向通路有解：前向通路有3 3个个 16543211543211GGGGGP123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H165421254612GG

49、GGP123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H143721316321HGGGGP123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H4 4个单独回路个单独回路141454HGL123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H27222632HGGL123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4

50、G6G5G7G1H2H2546326542HGGGL254324265432HGGGGL123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H21LL 与互不接触互不接触2172412HHGGGL21754254322546272111HHGGGHGGGGHGGGHGGHG控制系统的动态数学模型123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H123456R(s)C(s)1G2G3G4G6G5G7G1H2H控制系统的动态数学模型控制系统的动态数学模型G1(s)G2(s)H(s)+-+R(s)输入量输入量C