定积分的概念

1、第五章第五章 定定 积积 分分第一节第一节 定积分的概念定积分的概念一一. 两个实例两个实例1.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积abxyoA曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy ? A求求abxyo)(xfy 怎样求这个曲边梯形面积的精确值怎样求这个曲边梯形面积的精确值?直接求直接求, 我们不会求我们不会求.所以所以,我们不直接去求曲边梯形面积的精确值我们不直接去求曲边梯形面积的精确值,而是先退一步而是先退一步,就是就是: 先求出曲边梯形面积的近似值先求出曲边梯形面积的近似值,然后然后,再用近似值去逼近

2、精确值再用近似值去逼近精确值,从而得到曲边梯形面积的精确值从而得到曲边梯形面积的精确值.这就是求曲边梯形面积的精确值的基本思路这就是求曲边梯形面积的精确值的基本思路.a bxyo)(xfy 第一步第一步:个小区间个小区间任意分为任意分为将区间将区间个分点个分点内任意加入内任意加入在区间在区间nbabxxxxxanbanii , .:)1( , 1121 0 xnx 1x2x1 ixix1 nx),.,2 , 1( , , 11nixxxxxiiiiii 的长度为的长度为个小区间个小区间设第设第a bxyo)(xfy 第二步第二步:1x2x1 ixix1 nx1 2 i n ),.,2 , 1(

3、 , , , 1nixxiii 任取一点任取一点即即点点在每个小区间上任取一在每个小区间上任取一iAi 个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积第第 iixf )( ),.,2 , 1( ,ni 1 n 第三步第三步:求和求和iA iixf )( ni 1 ni 1 Aa bxyo)(xfy 1x2x1 ixix1 nx1 2 i n 1 n 我们注意到：我们注意到：, , 分得越细分得越细对区间对区间ba近似值近似值iixf )( ni 1就越接近于就越接近于A现在现在,我们将区间我们将区间,ba无限细分无限细分, 那么那么,近似值近似值iixf )( ni 1就无限接近于就无限接近于Aa bx

4、yo)(xfy 1x2x1 ixix1 nx1 2 i n 1 n 第四步第四步:记记,.,max21nxxx 令令0 取极限取极限,得得 ni 1iixf )( 0lim Aa bxyo)(xfy 1x2x1 ixix1 nx1 2 i n 1 n 例例2 2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程t0ab? st0ab第一步：第一步：个小区间个小区间任意分为任意分为将区间将区间个分点个分点内任意加入内任意加入在区间在区间nbabtttttanbanii , .:)1( , 1121 0tnt ),.,2 , 1( , , 11nitttttiiiiii 的长度为的长度为个小区间个小区间设

5、第设第1t2t1 itit1 ntt0ab第二步：第二步：1t2t1 itit1 nt),.,2 , 1( , , ,1nittiii 任取一点任取一点即即点点在每个小区间上任取一在每个小区间上任取一isi 个个时时间间段段上上的的路路程程第第 iitv )( ),.,2 , 1(ni i 1 2 1 n n 第三步：第三步：求和求和is iitv )( ni 1 ni 1 st0ab1t2t1 itit1 nti 1 2 1 n n is iitv )( ni 1 ni 1 s我们注意到：我们注意到：, , 分得越细分得越细对区间对区间ba近似值近似值iitv )( ni 1就越接近于就越接

6、近于s现在现在,我们将区间我们将区间,ba无限细分无限细分, 那么那么,近似值近似值iitv )( ni 1就无限接近于就无限接近于s第四步：第四步：t0ab1t2t1 itit1 nti 1 2 1 n n 记记,.,max21nttt 令令0 取极限取极限,得得 ni 1iitv )( 0lim st0ab1t2t1 itit1 nti 1 2 1 n n 二二. 定义定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界上有界.在在,ba中任意加入中任意加入1 n个分点个分点:bxxxxxanii 1121. 0 xnx ).,.,2 , 1(, , 11nixxxxxiiiiii 的长度为的长度为个

7、小区间个小区间记第记第),.,2 , 1( , , 1nixxiii 任取一点任取一点作和作和 niiixf1)( .记记,.,max21nxxx ,如果极限如果极限 ni 1iixf )( 0lim 存在存在,且该极限值与区间且该极限值与区间,ba的分法及点的分法及点i 的取法无关的取法无关,则称这个极限值则称这个极限值为函数为函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分上的定积分,记为记为 badxxf)(即即iniibaxfdxxf 10)(lim)( 由例由例1,例例2,我们得我们得:iniixfA 10)(lim iniitvs 10)(lim badxxf)( badttv )(说明说

8、明以后以后,如果我们会计算定积分了如果我们会计算定积分了,那么那么,求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积,以及求变速直线运动的路程以及求变速直线运动的路程这两个问题也就都解决了这两个问题也就都解决了.说明说明 从定义看从定义看(1) badxxf)( dxxf)(是一个数是一个数,是一族函数是一族函数(2) badx1ab (3):)()(描述描述的的 Idxxfba |)(|, , 0, 01Ixfniii就有就有时时使得当使得当(4) badxxf)(只与积分区间和被积函数有关只与积分区间和被积函数有关,与积分变量用什么符号表示无关与积分变量用什么符号表示无关. badxxf)( badttf

9、)(三三. 定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件(1) 若若)(xf在在,ba上连续上连续,则则 badxxf)(存在存在.(2)若若)(xf在在,ba上有界上有界,且只有有限个间断点且只有有限个间断点则则 badxxf)(存在存在.(不证不证)例例3利用定义计算利用定义计算 103dxx解解上连续上连续在在 1 , 03x由可积条件得由可积条件得: 103dxx存在存在 103dxx的值与的值与 1 , 0的分法及点的分法及点i 的取法无关的取法无关.将积分区间将积分区间 1 , 0分为分为n等份等份x011x2x3x1 ixix1 nxn1n2n3ni1 ninn1 ix,ni取取,i

10、ix ),.,2 , 1( ,1ninxi n1 103dxx niiixf10)(lim niiix130)(lim ninni131)( lim n nlim 14n nii13 nlim 14n22)1( nn nlim4224)1(nnn 41例例4将下式化为定积分将下式化为定积分)1.2111(limnnnnn 解解)1.2111(limnnnnn nlim 1n)11.211111(nnnn dxx 1011三三. 定积分的几何意义定积分的几何意义xyo, 0)( )1(baxxf abA badxxf)(A xyo, 0)( 2)(baxxf Aab badxxf)(A badx

11、xf)( A )(xfy )(xfy 即即 badxxf)( Axyo一般情形一般情形 )3(ab)(xfy 1A2A3A badxxf)( 1A2A 3A 几何意义几何意义函数函数)(xfy 与与x轴所围曲边梯形的面积的代数和轴所围曲边梯形的面积的代数和: )(表示表示 badxxf对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf （2）当）当ba 时，时， abbadxxfdxxf)()( 说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在在下面的性质中，假定定积分都存在. 四四、 定积分的性质定积分的性质证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(

12、lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)( badxxg)( badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)( （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()( 说明说明：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)(

13、)( bccadxxfdxxf)()(（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3(证明证明)证证按定义按定义, badxxf)(存在存在,且其值与区间且其值与区间,ba的分法及点的分法及点i 的取法无关的取法无关.现在现在,我们将区间我们将区间,ba无限细分无限细分, 并且并且,在无限细分的过程中在无限细分的过程中,使点使点c始终为一分点始终为一分点.设设bxxxxxxankkk 11121.=0 x=nx=c iniixf1)( ikiixf 1)( inkiixf 1)( nkk 121 bxxxxxxankkk 11121.=0 x

14、=nx=cnkk 121 将区间将区间a,b无限细分无限细分,即即:令令0 取极限取极限,得得 iniixf10)(lim ikiixf 10)(lim inkiixf 10)(lim 即即 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(证毕证毕dxba 1dxba ab 则则0)( dxxfba , , )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 badxxf)(性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，0 证证)()(xgxf 0)()(

15、xfxg0)()( dxxfxgba0)()( babadxxfdxxg即即 dxxfba )( dxxgba )( 则则dxxfba )( dxxgba )( , , )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，推论推论1dxxfba )(dxxfba )( )(ba 证证)()()(xfxfxf dxxfdxxfdxxfbababa )()()(即即 dxxfba )(dxxfba )( 推论推论2注注若若 badxxf)(存在存在, 则则 badxxf| )(|也存在也存在.(不证不证)设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(baxMxfm )()()(abMdxxfa

16、bmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba )(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 (6 (估值定理估值定理) ) bababaMdxdxxfdxm)( badxm badxM即即解解,sin31)( 3xxf 设设, 0 x1sin03 xx3sin31 4131 dxx 03sin31 41 31 (估值定理估值定理)解解,sin)( xxxf 设设2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x0 ,22)4( fM 2)2( fm(,)42x 时，

17、时，442 ab422sin4224 dxxx22sin21 24 dxxx 即即如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使 dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点 ，积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。证证上连续上连续在在,)(baxfmMbaxf ,)(和最小值和最小值上必有最大值上必有最大值在在从而由估值定理得从而由估值定理得:)()()(abMdxxfabmba Mdxxfabmba )(1由介值定理得由介值定理得:至至少少存存在在一一个个点点 ,ba，使使得得 badxxfabf)(1)( )(ba 即即解解由积分中值定理知：存在由积分中值定理知：存在,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinl