吉林大学 高等数学 课件05

1、 第二章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小.第三节0 x,0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大定义定义1. 设函数 在点的某去心邻域内有定义 ,若00 xx)(xf则称函数 是当)(xf0 xx 时的无穷小量.)(xf当时，有时, 有,min21一、一、 无穷小及其性质无穷小及其性质性质性质1. 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下

2、页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( P38, 题 5 (2) )机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 性质性质2 . 有界变量与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .性质性质3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页

3、 下页 返回 结束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用性质 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.0lim( ),xxf xA( )( ).f xAx( )( ).f xAx0lim( )xxf xA( )( ).f xAx证证:0lim( )0,xxx0,0, 0lim( )0.xxx取( )( ),xf xA当00 xx( )( ),xf xA故机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中设则时，有其中0lim( )0 xxx0,0, 00 xx( )

4、( ),f xAx0lim( ).xxf xA且有设则当时，有即 第二章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无穷小的比较二、无穷小的比较,0limCk定义定义2.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 例如例如 , 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim liml

6、imlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 结束 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031机动 目录 上页 下页 返回 结束 则,limlim且.时此结论未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(li

7、mx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上页 下页 返回 结束 32210limxxxx例例3. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 231x221x例例4. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 结束 Mxf)(三、无穷大三、无穷大定义定义2 . 若任给任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大

8、, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;若)(xf为无穷小, 且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷