不动点迭代法求解非线性方程组

1、精选优质文档-倾情为你奉上不动点迭代法求解非线性方程组摘要：一般非线性方程组可以写成的形式，其中是定义在区域上的向量函数。把方程组改写成与之等价的形式：。因此，求方程组的解就转化为求函数的的不动点。本文首先介绍了多变量函数的微积分性质，接着介绍了用不动点迭代法求解非线性方程组。关键词：多变量函数；微积分；不动点Fixed Point Iteration Method For Solving Nonlinear EquationsAbstract：General nonlinear equations can be written in the form of , where the vecto

2、r functionis defined on the region . Transform the equations into its equivalent form: .Therefore, we can get the solution of by finding the fixed point of .In this paper, we first introduce some knowledge about multivariable calculus, then introduce the fixed point iteration method for solving nonl

3、inear equations.Key words: multi-variable function; calculus; fixed point1 引言一般非线性方程组及其向量表示法:含有个方程的元非线性方程组的一般形式为 （1）其中，是定义在上的元实值函数，且中至少有一个是非线性函数。令，则方程组可以表示为 （2）其中是定义在区域上的向量函数。若存在，使，则称是方程组（1）或（2）的解。把方程组改写成与之等价的形式：其中。若满足，则称为函数的不动点。因此的不动点就是方程组的解，求方程组的解就转化为求函数的的不动点。适当选取初始向量，构成迭代公式迭代公式也称为求解方程组的简单迭代法，又称不动

4、点迭代法。称为迭代函数。由于是多变量函数，所以我们先考虑多变量函数的微积分性质。2多变量函数的微积分性质在之前我们已经学习过很多关于单变量函数的微积分的性质，由于解非线性方程组经常用到的是多变量函数的相关性质，因此我们考虑多变量函数的微积分性质。相对于单变量函数的微积分的性质，多变量函数的微积分性质一些是类似的，一些是不同的。相对于单变量函数的可微的定义，我们事先给出多变量函数的可微定义。2.1函数的微积分性质设函数多变量函数。我们首先考虑当是连续的函数的情况，如果关于个变量的偏导数都存在并且连续，把这个偏导数组成一个维向量，则我们把这个维向量称作多变量函数的梯度。定义1：连续可微函数，如果，

5、；存在并且连续，则称函数在点上连续可微，并且称为函数在点的梯度。如果函数在开区域上每一点连续可微，则称函数在开区域连续可微，记作。下面我们给出关于多变量函数的梯度的一些性质：引理1 设在开凸集连续可微，则对于以及任意一个非零扰动，则函数在点在方向上的方向导数定义为存在并且等于。对于，并且存在使得，。下面我们给我这个引理的证明过程，主要思想是把多变量函数转化为单变量函数，然后利用我们已知的单变量函数微积分的性质来证明多变量函数微积分的性质。证明：首先在点到点的连线上对函数进行参数化，转变成单变量函数。定义，。由链式法则，对于， 。因为，所以令，我们就可以得到。由单变量函数的牛顿定理我们可知，。根

6、据前面对函数的定义，上式也可以写成。这就得到我们所要的证明。最后，由单变量函数的积分中值定理，根据函数的定义，我们可以写成，。对进行变量替换，可得，从而得证。2.2函数的微积分性质下面给出多变量函数二次可微的定义，并进一步给出函数的Hessian矩阵的定义。定义2：连续可微函数，如果，存在并且连续，则称函数在点上二次连续可微；定义一个矩阵，其中第元素为，则称这个矩阵为函数的Hessian矩阵。如果函数在开区域上每一点连续可微，则称函数在开区域连续可微，记作。类似的我们给出关于多变量函数的二阶连续可微的一个引理。引理2：设函数在开凸集二次连续可微，则对于以及任意一个非零扰动，则函数在点在方向上的

7、二阶方向导数存在，并且等于。对于对于，存在使得。定理的证明过程与一阶连续可微情况的证明过程类似。从Hessian矩阵的定义可知，只要函数是二次连续可微的，那么Hessian矩阵是对称的。2.3函数的微积分性质 我们进一步考虑更复杂的情况，也就是从空间到空间的函数，设函数，具体可以写成。其中，非线性联立方程问题是的情况；非线性最小二乘问题是的情况。下面我们给出函数的相关可微性质：定义3 连续函数，如果每一个部分函数在点连续可微，则称函数在点连续可微。函数在点的导数叫作在点的Jacobian矩阵，它的转置叫作在点的梯度。通常的表示为，。如果在开区域上每一点连续可微，则称函数在开区域连续可微，记作。

8、用下面一个例子来具体说明这个定义。例1 设，。 解： 下面我们研究单实值函数和向量值函数不同方面，对于实值函数存在中值定理，而对于向量值函数，中值定理不一定成立。也就是说，不一定存在，使得。直观上来看，尽管每个函数满足，但是点是不同的。以上面例子中的函数来考虑，也就是，并且，这是不可能的，所以不存在，使得。尽管标准的中值定理是不可能的，我们给出一个近似的中值定理，主要是利用牛顿定理和线性积分的三角不等式。其中，单变量向量值函数的积分可以理解为对每一个部分函数进行黎曼积分。引理3：设在开凸集上连续可微，对于，有。上式可以写成如下中值定理的形式：。因此，我们主要介绍了三种函数，从的函数、从的函数以

9、及从的函数的可微性质。3不动点迭代法把方程组改写成与之等价的形式：。其中。若满足，则称为函数的不动点。因此的不动点就是方程组的解，求方程组的解就转化为求函数的的不动点。适当选取初始向量，构成迭代公式迭代公式也称为求解方程组的简单迭代法，又称不动点迭代法。称为迭代函数。定理1（压缩映射原理）设在闭域上满足条件： （1）把映入它自身，即； （2）在上是压缩映射，即存在常数，使对任意的，则以下结论成立：（1）对任取的，由迭代公式，产生的序列收敛于函数在区域内存在唯一的不动点；（2）成立误差估计式，。证明：由于以及条件（1）可知序列，又由条件（2）可得 当时有 （1）因为，所以当时，上式的最后一项是无

10、穷小量，由Cauchy收敛原理，序列在中收敛，又由是闭区域的极限，由条件（2）知，在上连续，因而，即是方程组的解。 设是的两个不同的解，则有，这表明是在内的唯一解。让，得说明：（1）简单迭代法的精度控制与终止条件； （2）由知简单迭代法是线性收敛的； （3）对线性方程组迭代函数，有；定理2（局部收敛定理）设是方程组的解，在可微。若谱半径，则存在开球，对任取的，由迭代公式，产生序列收敛于。下面我们给出一个例子，通过来求函数的不动点来解非线性方程组。例2 用简单迭代法求解以下方程要求满足精度解：设，则方程组可以改写成，并且对于任意的，其中，因此，任取初始向量，简单迭代法产生序列收敛于原方程组的唯一解。迭代公式计算结果：01.01.010.20.91.120.30.60.040.70.80.8260.90.60.5270.90.50.2280.90.50.1参考文献：1 李庆杨, 关治, 白峰杉. 数值计算原理M.清华大学出版社.2000;2 李庆杨，王能超，易大义.数值分析M.武汉：华中理工大学出版社，1986.3 黄象鼎，曾钟钢，马亚男.非线性数值分析的