第四章 电路定理

1、1第四章第四章 电路定理电路定理 意义：意义：前几章介绍了几种常用的电路元件，电路的基前几章介绍了几种常用的电路元件，电路的基本定律和各种分析方法。而电路定理，可进一步分析本定律和各种分析方法。而电路定理，可进一步分析电路的基本性质，简化电路的分析和计算。电路的基本性质，简化电路的分析和计算。 1. 1. 叠加定理叠加定理2. 2. 替代定理替代定理3. 3. 戴维宁定理戴维宁定理和诺顿定理和诺顿定理4. 4. 最大功率传输定理最大功率传输定理2 1. 1.叠加定理：叠加定理：电路中，任一支路的响应电路中，任一支路的响应( (电压或电流电压或电流) )都等于各个独立电源单独都等于各个独立电源单

2、独作用时，所产生响应的代数作用时，所产生响应的代数和。和。 4l 叠加定理叠加定理一、叠加定理一、叠加定理2. 2. 叠加定理的数学形式：叠加定理的数学形式： 若电路中存在若电路中存在m个电压源个电压源uS1, uS2, , usm, n个电流源个电流源iS1, iS2, , isn ,则任意支路的响应则任意支路的响应(电压或电流电压或电流)为各电源单独为各电源单独作用时产生响应的线性组合，即表示为：作用时产生响应的线性组合，即表示为：1 S12 S2S1 S12 S2S 4 1mmnnyHuH uH uKiK iK i（ ） 式中式中Hk(k=1,2,m)和和Kk(k=1,2,n)是与电路有

3、关的是与电路有关的常量，与独立电源无关。常量，与独立电源无关。33. 证明：现以图证明：现以图4 1a所示电路加以说明所示电路加以说明:，111iii 222uuu 图图4 41c1c图图4 41a1a图图4 41b1b图图4-1b4-1b4图图4 41a1ai1is212221SSS1212() RR RuRiiuiRRRR对图对图4-1a4-1aS2121)(uiRiRRSS212S2111iRRRuRRi证明：证明：( (对此例加以验证）对此例加以验证）图图4 41b1b图图4-1b4-1b 1S211uRRi S212122uRRRiRu对图对图4-1b4-1b5S2121iRRRi

4、S2121222iRRRRiRu S2112iRRRi 对图对图4-1c4-1c图图4 41c1c111iii222uuu212221SSS1212() RR RuRiiuiRRRR21SS12121RiuiRRRR 1S211uRRi222 1S12 RuR iuRR而64. 叠加定理使用注意事项：叠加定理使用注意事项：(1)(1)只适用于线性电路，不适用于非线性电路；只适用于线性电路，不适用于非线性电路；(2)(2)某个电源某个电源( (独立源独立源) )单独作用时单独作用时, ,则其它独立源均置为则其它独立源均置为 零零( (即电压源处用短路代替即电压源处用短路代替, ,电流源处用开路代

5、替电流源处用开路代替),),其余元件其余元件( (含受控源含受控源) )均不得更动；均不得更动；(3)(3)只适用于计算电流和电压，只适用于计算电流和电压，而不能用于计算功率而不能用于计算功率; ; (4)(4)叠加时分电路中电流和电压的参考方向应与原电路叠加时分电路中电流和电压的参考方向应与原电路中的相同。中的相同。图图4 41a1a图图4 41b1b图图4 41c1c111RRRPPP 1RP1RP 1RP 7例例-1 试用叠加定理求图试用叠加定理求图4-2a所示电路的电流所示电路的电流 i 和电压和电压u。图图4 42b2b图图4 42a2a图图4 42c2c (1)画出画出12V独立电

6、压源和独立电压源和6A独立电流源单独作用独立电流源单独作用的电路如图的电路如图4- -2b和图和图4- -2c所示所示(注意在每个电路内注意在每个电路内均保留受控源，但控制量分别改为分电路中的相应均保留受控源，但控制量分别改为分电路中的相应量量)。解解:(2)(2)由图由图4-2b4-2b电路电路, ,列出列出KVL方程方程: :031212iiiA6iV318ui 8(3)(3)由图由图4- -2c电路电路, ,列出列出KVL方程方程: :0)6(312 iiiA9 i(4)(4)由叠加定理，得由叠加定理，得: :3A , V9iiiuuu 图图4 42c2cV9)6(3 iu9二、齐次定理

7、（叠加定理的特例）二、齐次定理（叠加定理的特例） 在线性电阻电路中，当所有的激励（独立电压源和在线性电阻电路中，当所有的激励（独立电压源和独立电流源）都同时增大或缩小独立电流源）都同时增大或缩小K倍时，响应（电压和倍时，响应（电压和电流）也将同样增大或缩小电流）也将同样增大或缩小K倍。倍。 若电路中只有单个独立源若电路中只有单个独立源(若以若以x表示表示)作用时，则任意作用时，则任意支路的响应支路的响应(电压或电流电压或电流)与该电源成正比，即表示为：与该电源成正比，即表示为：）（24 Kxy 上述两式在求解某些问题时非常有效，应理解掌握！上述两式在求解某些问题时非常有效，应理解掌握！10三、

8、叠加定理的特点三、叠加定理的特点特点：特点： 齐次性齐次性 可加性可加性线性电阻电路线性电阻电路x f(x)线性电阻电路线性电阻电路kx f(kx)=kf(x)线性电阻电路线性电阻电路x1 f(x1)线性电阻电路线性电阻电路x2 f(x2)线性电阻电路线性电阻电路x1+x2 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)激励激励响应响应11图图42例例42 求图求图42所示梯形电路中的电流所示梯形电路中的电流I5 ,已知已知Us=120V解解:A341254II若设若设I5 1A ，则：，则：S5kUI A4543IIIA 410127532IIIA8321IIIV8010521SIIU8015SU

9、IkA5.180120S5 kUI当当US 120V时时,12例例4-3 4-3 当当iS和和uS1反向时（反向时（uS2不变），不变），uab是原来的是原来的0.5倍；倍；当当iS和和uS2反向时（反向时（uS1不变），不变），uab是原来的是原来的0.3倍；倍；问：仅问：仅iS反向时（反向时（uS1和和uS2均不变），均不变），uab是原来的几倍是原来的几倍? ?解解:S23S12S1ukukikuabxukukikS23S12S1：则设原来的设原来的uab为为x ,xukukik5 . 0)()(S23S12S1xukukik3 . 0)()(S23S12S1xukukik8 . 1)(

10、S23S12S1：则xukxukxik75. 065. 04 . 0S22S12S1，：解得 故故: 仅仅iS1反向时反向时( (uS1 、 uS2均不变）均不变）, uab 是原来的是原来的1.8倍。倍。1342 替代定理（置换定理）替代定理（置换定理） 电路中，若已知某一支路的电压为电路中，若已知某一支路的电压为uk, ,电流为电流为ik , ,则则该支路可用下列任何一个元件替代，将不会影响该电该支路可用下列任何一个元件替代，将不会影响该电路任何支路的电压和电流。路任何支路的电压和电流。 (1)(1)电压等于电压等于uk的理想电压源；的理想电压源； (2)电流等于电流等于ik的理想电流源；

11、的理想电流源； (3)(3)阻值阻值Rk=uk/ik的电阻。的电阻。 图图4 46d6dN图图4 46d6dN图图4 46d6dN图图4 46d6dN14图图4 46d6dN替代定理的作用替代定理的作用: :用元件代替支路后，可简化电路的分用元件代替支路后，可简化电路的分析与计算。析与计算。推广：推广：当支路为一单口网络时，替代定理同样成立。当支路为一单口网络时，替代定理同样成立。注意：注意：支路以外部分支路以外部分(即即N）含有受控源，其控制量在）含有受控源，其控制量在支路内部时，替代定理不能使用。支路内部时，替代定理不能使用。15二、验证二、验证图图a0图图d16图图a0313133121

12、23201688414182nnnauuVuuVuiAuiAiiiAn1图： 利 用 结 点 法 求111(+)u468图图b213128:182 08261biAiAiiiA图17图图c12121232:1: 682 02188图 cK C LiiK V LiiiAiAuiV图图d12332:2 0264188diAiiAuiV图18作业：作业：4-2 4-4(a) 4-8 例例46 已知电路中已知电路中u1.5V，试用替代定理求，试用替代定理求u1 。1.50.5330.5解：支路用的电流源替代，如图 所示iAAb 10.520.52uV19复习复习1.1. 叠加定理叠加定理 线性电路中，

13、任一支路产生的响应都等于各个独线性电路中，任一支路产生的响应都等于各个独立源单独作用时所产生响应的代数和。立源单独作用时所产生响应的代数和。齐次定理：齐次定理：独立源增大独立源增大k k倍，响应也增大倍，响应也增大k k倍。倍。2. 2. 替代定理替代定理NNNN2043 戴维宁定理戴维宁定理 由第二章知道，不含独立电源的一端口网络，可以用一个由第二章知道，不含独立电源的一端口网络，可以用一个电阻等效，不会影响外电路。电阻等效，不会影响外电路。含独立电源的一端口网络能用什么东西来等效呢？含独立电源的一端口网络能用什么东西来等效呢？图图4 411a11a图图4 411b11b1. 戴维宁定理戴维

14、宁定理 戴维宁定理戴维宁定理: :含独立电源的一端口网络含独立电源的一端口网络, ,可以用一个电可以用一个电压源和电阻的串联模型来等效，电压源的电压等于一压源和电阻的串联模型来等效，电压源的电压等于一端口的开路电压端口的开路电压uoc，电阻等于一端口内所有独立电源，电阻等于一端口内所有独立电源置零时的等效电阻。置零时的等效电阻。 21图图4 46a6a图图4 46b6b图图4 46c6c图图4 46d6d2. 证明证明: iiu=uoc+Reqiu=u(1) + u(2)u(2)=Reqi=uoc+Reqi故戴维宁定理成立！故戴维宁定理成立！i图图4 46e6eiS=i图图4 46g6giS=

15、ii (2) =i图图4 46f6fi (1) =0= uoc 由替代定理知，外电路可以用一个电流等于由替代定理知，外电路可以用一个电流等于i的电的电流源替代。流源替代。由叠加定理：由叠加定理：22注意：注意： 1 1）求）求uoc应注意参考方向；应注意参考方向； 2 2）求）求Req应将一端口内电源全部置零；应将一端口内电源全部置零； 3 3）外电路含有受控源）外电路含有受控源, , 控制量在一端口内部控制量在一端口内部, , 则不能使用戴维南定理。则不能使用戴维南定理。图图4 46a6a图图4 46b6b图图4 46c6c图图4 46d6diiu=uoc+Reqi3.3.戴维宁等效电路的求

16、解方法戴维宁等效电路的求解方法1）uoc的求解方法：将网络的求解方法：将网络N N的端口开路，求开路电压的端口开路，求开路电压。2）Req的求解方法：的求解方法： N内不含受控源。将内电路的所有独立源置内不含受控源。将内电路的所有独立源置0，用等，用等23效变换法求解即可；效变换法求解即可； N内含有受控源内含有受控源 外加激励法：将内电路的所有独立源置外加激励法：将内电路的所有独立源置0，根据无源，根据无源一端口的等效电阻等于输入电阻求解，即一端口的等效电阻等于输入电阻求解，即图图4 46d6diequRi 短路电流法（一端口的独立源不置短路电流法（一端口的独立源不置0） 由由 知，当知，当

17、u0时，即将外电路短路时，时，即将外电路短路时， 短路电流为短路电流为isc，则有，则有u=uoc+ReqioceqscuRi图图4 46e6eiisc24 +uoc-I图图a a例例1 试用戴维宁定理求电路中的电流试用戴维宁定理求电路中的电流I。IRL图图b b241234241234,ocabasbsocssuuuRRuu uuRRRRRRuuuRRRR解：而123434121234/eqRRRRRR RR RRRRRoceqLuIRR25例例2 求图求图4-7a所示电路的电流所示电路的电流 i =? 图图4 47c7c图图4 47d7d解解: :求求1电阻以外的一端口的戴维宁等效电路电阻

18、以外的一端口的戴维宁等效电路(图图47b)i1图图4 47b7bi图图4 47a7a26对图对图47c电路电路, 用叠加定理求用叠加定理求i1 , 得得:14630311A121212i V661iuoc由图由图47d电路电路, 求求Req , 得得:36/)42(eqR再由图再由图47b电路电路, 可得可得:A5 .11361oceqRui图图4 47c7ci1图图4 47d7d图图4 47b7bi27例例3 求图求图4-8(a)单口网络的戴维宁等效电路。单口网络的戴维宁等效电路。 解：解：1. 求求 uoc 如图如图(b)所示所示V12 V1861212ocu2. 求求Req1）短路电流法

19、）短路电流法32,12 ()823ocsceqscuiRi isc(c)28eq(6/12) (3 )8 8uiiiuRi 2）外加激励法）外加激励法+u-1.5ocscequiR 29四、诺顿定理四、诺顿定理含独立电源的一端口网络含独立电源的一端口网络, ,可以用一个电流源和电阻的可以用一个电流源和电阻的并联模型来等效，电流源的电流等于一端口的短路电流并联模型来等效，电流源的电流等于一端口的短路电流isc，电阻等于一端口内所有独立电源置零值后的等效电，电阻等于一端口内所有独立电源置零值后的等效电阻。阻。 图图4 48a8a图图4 48d8d证明证明: isc=uoc/Req图图4 48b8b

20、图图4 46b6b图图4 48c8c图图4 48b8b图图4 48b8b30故诺顿定理成立！故诺顿定理成立！Req=uoc/isc 等效电阻得另外一种计算方法！等效电阻得另外一种计算方法！图图4 48b8b图图4 46b6b五、两种模型的相互转换五、两种模型的相互转换isc=uoc/Req31例例4 如图如图a所示，已知所示，已知r =2 ，试求该单口的戴维宁等效，试求该单口的戴维宁等效电路和诺顿等效电路。电路和诺顿等效电路。 解解：1)求求uoc 在图上标出在图上标出uoc的参考方的参考方向。先求受控源控制变量向。先求受控源控制变量i1A25V101i 求得开路电压求得开路电压 V4A221

21、oc riu2)2)求求Req00,0equuRii32 戴维宁等效电路如图戴维宁等效电路如图(c)所示，所示，这表明该单口网络等效为一个这表明该单口网络等效为一个4V电压源。电压源。 无诺顿等效电路。无诺顿等效电路。 说明：说明：Req=0时无诺顿等效电路；时无诺顿等效电路；Req时无戴维宁等时无戴维宁等 效电路。效电路。小结小结求求Req的方法的方法： 等效变换法等效变换法 外加激励法外加激励法 短路电流法短路电流法含受控源含受控源作业：作业：412(a,c), 4-13331.1.戴维宁定理戴维宁定理1）uoc的求解方法：将网络的求解方法：将网络N N的端口开路，求开路电压的端口开路，求

22、开路电压；2）Req的求解方法：的求解方法：复习复习 等效变换法等效变换法 外加激励法外加激励法 短路电流法短路电流法含受控源含受控源2.2.诺顿定理诺顿定理isc=uoc/Requoc=iscReq344-4 最大功率传输定理最大功率传输定理 在电子技术中，在电子技术中， 常常要求负载从给定电路获得常常要求负载从给定电路获得最大功率，最大功率， 这就是最大功率传输问题。这就是最大功率传输问题。即当负载电阻即当负载电阻R=? PR=max=?定理定理: :当当R=Req时时, PR=max=24OCequR证明证明: :, 0 dRdPR令eqRR 求得：2 4OCRequPmaxR，则：图图

23、4 41010注意：在电力系统电路中，通常不要求实现负载的最注意：在电力系统电路中，通常不要求实现负载的最大功率传输。大功率传输。因为因为: : 此时供电效率很低此时供电效率很低(50%) !(50%) !2 OCRequPRR R图图4 49 9S35图图aRx例：电路如图所示，问：例：电路如图所示，问：Rx为何值时，为何值时，Rx可获得最大功可获得最大功 率率? ? 此最大功率为何值此最大功率为何值? ?图图b+uoc-解解：1)1)求求uoc由图由图b可知：可知：44ii=1A, uoc=3i=3V2) 求求Reqi=1A, isc=3A,xisc2max91,2.2544ococeqscequuRPWiR 36第四章第四章 小结小结1. 1. 叠加定理叠加定理2. 2. 替代定理替代定理3. 3. 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理 关键求关键求uoc，Req4. 4. 最大功率传输定理最大功率传输定理1 S12 S2S1 S12 S2S mmnnyHuH uH uKiK iK i图图4 46a6a图图4 46b6bii图图4 48b8b2eqR=R,4OCReqUPmaxR作业：作业：4-1637例：图示电路，要使例：图示电路，要使Ix=I/9, , 则则Rx=?=?解解: （