第五章离散信号与系统的时域分析

1、第第5 5章章 离散信号与系统的时域分析离散信号与系统的时域分析5.1 5.1 引言引言5.2 5.2 卷积和卷积和5.3 5.3 离散系统算子方程离散系统算子方程5.4 5.4 差分方程的经典解差分方程的经典解5.5 5.5 离散系统零输入响应离散系统零输入响应5.6 5.6 离散系统零状态响应离散系统零状态响应离散时间信号及系统与连续时间信号及系统之间有着密切的联离散时间信号及系统与连续时间信号及系统之间有着密切的联系。连续时间信号系统的数学模型用微分方程或微分算子方程描述，系。连续时间信号系统的数学模型用微分方程或微分算子方程描述，其求解方法有经典法、卷积积分法和域分析法；离散时间信号系

2、统其求解方法有经典法、卷积积分法和域分析法；离散时间信号系统的数学模型是由差分方程或差分算子方程描述，离散时间信号的求的数学模型是由差分方程或差分算子方程描述，离散时间信号的求解方法同样有经典法、卷积积分法和解方法同样有经典法、卷积积分法和Z Z域变换法等。在连续时间系统域变换法等。在连续时间系统中，卷积方法具有十分重要的意义；离散时间系统中，卷积和的方中，卷积方法具有十分重要的意义；离散时间系统中，卷积和的方法具有同样的重要地位。法具有同样的重要地位。离散时间信号与系统和连续时间信号及系统的分析方法和研究离散时间信号与系统和连续时间信号及系统的分析方法和研究思路有很多相似之处，同时离散时间信

3、号与系统又有自己独特性能。思路有很多相似之处，同时离散时间信号与系统又有自己独特性能。因此在学习过程中，要与连续时间系统相比较，因此在学习过程中，要与连续时间系统相比较，5.1 5.1 引言引言下一页 返回一方面利用二者相似之处加深对离散时间系统的理解；另一方一方面利用二者相似之处加深对离散时间系统的理解；另一方面要注意二者不同之处，掌握离散时间系统的特点。面要注意二者不同之处，掌握离散时间系统的特点。5.1.1 5.1.1 离散时间信号离散时间信号离散时间信号是指仅在某些离散瞬间才有确定值的信号。这里离散时间信号是指仅在某些离散瞬间才有确定值的信号。这里的的“离散离散”指的是信号的定义域指的

4、是信号的定义域时间（或其他量）是离散的，时间（或其他量）是离散的，只取某些规定的值。离散时间信号一般表示为只取某些规定的值。离散时间信号一般表示为 ，这里的，这里的n n取整取整数（数（ ），）， 为给出函数值的时间间隔，一般取均为给出函数值的时间间隔，一般取均匀的常数。简便起见，不妨把匀的常数。简便起见，不妨把 简记为简记为f(nf(n) )。这样，离散信号。这样，离散信号也常称为序列。也常称为序列。5.1 5.1 引言引言下一页 返回上一页()Sf nT0, 1, 2,n ST()Sf nT5.1.2 5.1.2 离散时间基本信号离散时间基本信号1 1 单位冲激序列单位冲激序列 的定义为的

5、定义为单位冲激序列单位冲激序列 也可称为单位序列、单位函数、单位脉冲、也可称为单位序列、单位函数、单位脉冲、单位取样或单位样值信号，单位取样或单位样值信号， 仅在仅在n=0n=0处取单位值处取单位值1 1，其余，其余 时均为时均为0 0。单位冲激信号。单位冲激信号 是一种广义函数，是一种广义函数， 在在t=0t=0处可以处可以理解为一个宽度无穷小，幅度无穷大，面积为理解为一个宽度无穷小，幅度无穷大，面积为1 1的窄脉冲。而单位冲的窄脉冲。而单位冲激序列激序列 却具有确定值，是可实现信号，在却具有确定值，是可实现信号，在n=0n=0处取有限值处取有限值1 1。如果信号发生在如果信号发生在n=kn

6、=k处（处（k k可正可负），则有移位信号可正可负），则有移位信号5.1 5.1 引言引言下一页 返回上一页( )n( )n00( )10nnn( )n( )n0n ( ) t( ) t( )n2 2 单位阶跃序列单位阶跃序列 的定义式为的定义式为 其移位信号其移位信号 为为 5.1 5.1 引言引言下一页 返回上一页0()1nknknk( )n( )n00( )10nnn()nk0()1nknknk3 3 斜边序列斜边序列斜变序列斜变序列 的图形如的图形如图图5-65-6所示。所示。4 4 矩形序列（门函数序列）矩形序列（门函数序列）矩形序列矩形序列 的表达式为的表达式为 矩形序列矩形序列

7、的图形如的图形如图图5-75-7所示。从所示。从0 0开始，到开始，到n=k-1n=k-1，共，共有有k k个幅度为个幅度为1 1的数值，其余个点皆为的数值，其余个点皆为0 0。类似于连续时间系统中的矩。类似于连续时间系统中的矩形脉冲。当然，矩形序列取值为形脉冲。当然，矩形序列取值为1 1的范围也可以从的范围也可以从n=mn=m到到n=m=k-1n=m=k-1。这。这种序列可写作种序列可写作 。5.1 5.1 引言引言下一页 返回上一页( )nn( )nn( )kG n101( )0knkG n其他( )kG n()kG nm由矩形序列定义及单位阶跃序列由矩形序列定义及单位阶跃序列 定义可知其

8、关系如下：定义可知其关系如下： 5 5 因果指数序列因果指数序列因果指数序列表达式为因果指数序列表达式为由于由于a a的取值范围不同，所以指数序列的变化规律可分四种情况，的取值范围不同，所以指数序列的变化规律可分四种情况，如如图图5-85-8所示。当所示。当 时序列是发散的，时序列是发散的， 时序列收敛，时序列收敛，a0a0序列都取正值，序列都取正值，a0a1a1，f(anf(an) )为为f(nf(n) )的压缩信号，所得的压缩信号，所得y(ny(n) )在时间上比在时间上比f(nf(n) )压压缩缩a a倍；当倍；当0a10a0n0时，系统等效为一个零输入系时，系统等效为一个零输入系统，因

9、此求系统单位冲激序列响应转化为求系统等效零输入响应。统，因此求系统单位冲激序列响应转化为求系统等效零输入响应。3. 3. 传输算子法传输算子法离散时间系统在时域可用传输算子离散时间系统在时域可用传输算子H(E)H(E)描述，描述，表表5-45-4列出了一些列出了一些常用的常用的H(E)H(E)与与h(nh(n) )的对应关系，便于查找。的对应关系，便于查找。5.6 5.6 离散系统零状态响应离散系统零状态响应下一页 返回上一页n（ ）n（ ）5.6.3 5.6.3 一般信号一般信号f(nf(n) )激励下的零状态响应激励下的零状态响应设离散时间系统的输入为设离散时间系统的输入为x(nx(n)

10、)，对应的零状态响应为，对应的零状态响应为 ，可将任一输入序列可将任一输入序列x(nx(n) )分解表示成众多移位脉冲序列的线性组合分解表示成众多移位脉冲序列的线性组合 根据根据LTILTI离散系统的特性，应用单位响应离散系统的特性，应用单位响应h(nh(n) )可以分别求出每个可以分别求出每个移位脉冲序列移位脉冲序列 作用于系统的零状态响应。然后，将作用于系统的零状态响应。然后，将其叠加就可以得到系统对输入其叠加就可以得到系统对输入x(nx(n) )的零状态响应的零状态响应 。因此，在求。因此，在求得单位响应的基础上，根据信号的分解特性和系统的线性、时不变得单位响应的基础上，根据信号的分解特

11、性和系统的线性、时不变特性推导出离散系统零状态响应的计算公式。对特性推导出离散系统零状态响应的计算公式。对LTILTI离散系统，有如离散系统，有如下输入零状态响应关系：下输入零状态响应关系：5.6 5.6 离散系统零状态响应离散系统零状态响应下一页 返回上一页( )fyn( )( ) ()mf nf mnm( ) ()f mnm( )fyn根据单位响应定义有根据单位响应定义有根据系统的时不变特性有根据系统的时不变特性有由由 的齐次性的齐次性由由 的叠加性的叠加性 由卷积和运算定义有由卷积和运算定义有于是，得到系统在一般信号于是，得到系统在一般信号x(nx(n) )激励下的零状态响应为激励下的零

12、状态响应为 上式表明，上式表明，LTILTI离散时间系统的零状态响应等于输入序列离散时间系统的零状态响应等于输入序列x(nx(n) )和和单位响应单位响应h(nh(n) )的卷积和。的卷积和。5.6 5.6 离散系统零状态响应离散系统零状态响应下一页 返回上一页( )( )nh n()()nmh nm( )fyn( ) ()( ) ()x nnmx n h nm( )fyn( ) ()( ) ()mmx mnmx m h nm( )( )( )x nx nh n( )( ) ()( )( )fmynx m h nmx nh n离散时间系统的完全响应表示为离散时间系统的完全响应表示为式中各符号的说明与前述相同。式中各符号的说明与前述相同。5.6 5.6 离散系统零状