静电场力的功

1、 1、 点电荷电场点电荷电场在路径上任一点附近取元位移在路径上任一点附近取元位移ldddWF l cosd lEq0rEq0ddWWlEd0baqlEd0q 试验电荷试验电荷q q0 0从点电荷从点电荷q q的电场中的电场中a a点经任意路径到点经任意路径到达达b点点, ,求此过程中电场力作的功。求此过程中电场力作的功。8.4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势电势q0qabdlErrdrdrarbr0dbaWqEl002d11()44barrabqqqqrrrr静电场做功和路径无关。静电场做功和路径无关。q0qabdlErrdrdrarbr2、 任意带电体系的电场中任意带电体系的电场中将

2、带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性nEEEE21电场力对试验电荷电场力对试验电荷q0做功为做功为0dbaWqEllEqlEqlEqbanbabaddd00012nWWW总功也与路径无关。总功也与路径无关。结论：结论： 试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。点和终点位置有关，而与具体路径无关。 静电场是保守场，静电场力是保守力。静电场是保守场，静电场力是保守力。 静电场力的功静电场力的功3

3、、 静电场的环路定理静电场的环路定理(circulation theorem of electrostatic field) 试验电荷试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径在静电场中沿任意闭合路径L运动一运动一周时，电场力对周时，电场力对q0做的功做的功W=？ 静电场力的功静电场力的功安培安培0q 在闭合路径在闭合路径L上任取两点上任取两点P1、P2，将，将L分成分成L1、L2两段，两段，P2P1L2L1dLWFllEqppd210(L2)(L1)210(dppqEl(L1)(L2)电场力做功与路径无关，故电场力做功与路径无关，故0d0LWqEl即即 0dlELlEqLd0lEqppd120)d

4、21lEpp 静电场力的功静电场力的功 静电场力的功静电场力的功静电场的环路定理静电场的环路定理: :在静电场中，场强沿任意闭合路在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。径的线积分（称为场强的环流）恒为零。0dlEL静电场的环路定理说明，静电场是无旋场。静电场的环路定理说明，静电场是无旋场。静电场的高斯定理和环路定理是静电场的基本规律，它静电场的高斯定理和环路定理是静电场的基本规律，它们所反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从正们所反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从正电荷出发而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通电荷出发而终止于负电荷，在自由空间中电场线连

5、续通过；在静电情形下电场没有漩涡状结构。过；在静电情形下电场没有漩涡状结构。00SLqE dSE dl电电 势势由环路定理知，静电场是保守场。由环路定理知，静电场是保守场。保守场必有相应的势能，对静保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。电场则为电势能。 以点电荷为例给出静电场的电势能的定义。以点电荷为例给出静电场的电势能的定义。二、二、 电势和电势叠加原理电势和电势叠加原理1、 电势能电势能(electric potential energy)0dbabaWqEl002d11()44barrabqqqqrrrr静电场做功和路径无关静电场做功和路径无关,只与始末位置有关。只与始末位置有关。q

6、0qabdlErrdrdrarbr所以我们可以定义一个位置函数，称所以我们可以定义一个位置函数，称为电势能。比如图中为电势能。比如图中q0在在a点时的电势点时的电势能为：能为：04paaqqECr静电场力的功：静电场力的功：这样静电场力的功可表示为电势能的负增量：这样静电场力的功可表示为电势能的负增量：()abppbpaWEEE 电势能的零点选取时任意的，一般可选无穷远处为电势电势能的零点选取时任意的，一般可选无穷远处为电势能的零点，如果这样，电势能中待定的常数能的零点，如果这样，电势能中待定的常数C为零。为零。0aparE 时004paaqqECCr这样，电场中任一点的电势能可表为：这样，电

7、场中任一点的电势能可表为：0prEqE dl若选若选r0处为电势能的零点，则电场中任一点的电势能表为：处为电势能的零点，则电场中任一点的电势能表为：00rprEqE dl可以看出电势能是场和试验电荷共同性质的体现，即电可以看出电势能是场和试验电荷共同性质的体现，即电势能即与场有关也与试验电荷有关。电势能的单位为焦势能即与场有关也与试验电荷有关。电势能的单位为焦耳（耳（J）电电 势势 为了得到一个只与场有关的物理量，进而用它来描为了得到一个只与场有关的物理量，进而用它来描述电场，我们定义述电场，我们定义电势，电势，它是它是电势能电势能E EP P 与与q q0 0之比，它只之比，它只取决于电场。

8、电场中某点的电势为取决于电场。电场中某点的电势为2、 电势及电势叠加原理电势及电势叠加原理电势零点的选取是任意的。电势零点的选取是任意的。一般电势零点可以选在无穷远一般电势零点可以选在无穷远00arpaarEVE dlq电势是标量，单位为伏特（电势是标量，单位为伏特（V），显然，），显然，1V1J/1CdaaVEl由电势的定义，很容易计算真空中点电荷在空间的电势由电势的定义，很容易计算真空中点电荷在空间的电势分布，选无穷远为电势零点则有：分布，选无穷远为电势零点则有：200011d()444aaaraaqqqVEldrrrr如果是点电荷系在空间的电势分布，选无穷远为电势零如果是点电荷系在空间的

9、电势分布，选无穷远为电势零点则有：点则有：1210d () 4aannaaaiiiiiaVElEEEdlE dlEdlqVr对于电荷连续分布的带电体在空间的电势分布，选无穷对于电荷连续分布的带电体在空间的电势分布，选无穷远为电势零点则有：远为电势零点则有：04aqdqVr这就是电势叠加原理这就是电势叠加原理3、电势差、电势差(electric potential difference)电场中两点电势之差电场中两点电势之差沿着电场线方向，电势降低。沿着电场线方向，电势降低。ABABUVVABlEdBA三、电势的计算三、电势的计算1、 点电荷的电势点电荷的电势2、点电荷系的电势、点电荷系的电势3、

10、 连续分布带电体的电势连续分布带电体的电势Vr+lEdrViiirqV041rqVd410rq041q3q1r1r2q2q4r3r4Prrqrd4120电势的计算电势的计算电势的计算例题电势的计算例题电势的计算例题电势的计算例题例例2. 2. 均匀带电薄圆盘轴线上的电势均匀带电薄圆盘轴线上的电势例例3 均匀带电球面的电势均匀带电球面的电势例例4. 电偶极子的电势电偶极子的电势例例5. 均匀带电线的电势均匀带电线的电势例例1. 1. 均匀带电圆环轴线上的电势均匀带电圆环轴线上的电势例例1. 1. 均匀带电圆环轴线上的电势（均匀带电圆环轴线上的电势（q q、a a、x x）ddd2qqlla11d

11、42pqVla r22 1/214()qax22rax其中4qrpraxOxyzdl例例2.2.半径为半径为R R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。解：解：以以O O为圆心，取半径为为圆心，取半径为L LL L+d+dL L的薄圆的薄圆 环，带电环，带电 dqdq= = ds= ds= 22 L dLL dLP P点电势：点电势：22 1/21d4()qVxL2201d24RL LxL22()2RxxOLd dL LpxR 由高斯定理知，电场分布为由高斯定理知，电场分布为解：解：例例3 求一均匀带电球面的电势分布。求一均匀带电球面的电势分布。ERr 0Rrrq

12、o241 1. 1.当当rR r R r R 时时rVrEdrq041VRrRq041Rrrqo41Rq041prRO电势分布曲线电势分布曲线场强分布曲线场强分布曲线结论：结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。电势的计算例题电势的计算例题EVRRrrOO204RqRq041r2r电势的计算例题电势的计算例题例例4 计算电偶极子电场中任一点的电势。计算电偶极子电场中任一点的电势。 rqrqVP0044式中式中r+与与r-分别为分别为+q和和-q到到P

13、点的距离，由图可知点的距离，由图可知yPx+q q re/2re/2Or+r r解解 ：电偶极子的电场中任一点电偶极子的电场中任一点P P的的电势为电势为 cos2errr cos2errr 2200cos2cos4cos21cos214 eeeePrrrqrrrrqV由于由于r re ，所以，所以P点的电势可写为点的电势可写为302044cosrrPrqrVeeP 8-5 电场强度与电势的关系电场强度与电势的关系点电荷的等势面点电荷的等势面 一、 等势面等势面在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。1 1、 典型等势面典型等势面电偶极子的等势

14、面电偶极子的等势面+ 等势面等势面电平行板电容器电场的等势面电平行板电容器电场的等势面+ 等势面等势面 等势面等势面即即结论：电力线与等势面垂直。结论：电力线与等势面垂直。q q0 0在等势面上移动，在等势面上移动，在等势面上移动电场力不作功在等势面上移动电场力不作功2、 等势面与电场线的关系等势面与电场线的关系00ddcos0Wq Elq Edl0000lEqd0cosEdlq0S SEdl3 3、 等势面图示法等势面图示法 等势面画法规定：相邻两等势面之间的电势间隔相等势面画法规定：相邻两等势面之间的电势间隔相等。等。UU+UU+2UU+3U 等势面等势面E二、电场强度与电势的关系二、电场

15、强度与电势的关系0V显然VVVaEbIIIl将单位正电荷由将单位正电荷由a移动到移动到b，电场力做的功为，电场力做的功为cosabElE lVVV coslElEE设 在上的分量为 llVElV orEl00 limllVVlEll Vll是电势沿 方向的方向导数0nVlVl电势沿等势面切线方向的方向导数电势沿等势面法线方向的方向导数nVEnl n为等势面的法向（垂直等势面，指向电势增大的方向）Vxyz直角坐标系下， 是 、 、 方向的函数()( , , )VVVEijkV x y zxyz V为梯度算符，称为电势梯度。 3 3、 场强与电势梯度的关系的应用场强与电势梯度的关系的应用 电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再应用场强与电势梯度的关系算出场强。应用场强与电势梯度的关系算出场强。例例5 5 均匀带电圆环轴线上的电场均匀带电圆环轴线上的电场例例6 6 均匀带电圆盘轴线上的电场均匀带电圆盘轴线上的电场场强与电势的关系场强与电势的关系 电势梯度电势梯度例例5.5.计算均匀带电圆环轴线上的电场。计算均匀带电圆环轴线上的电场。XopxRr解：解：P点电势点电势01 d4qVr2/ 1220)(4xRq2122041/)(dxRq P P点电场点电场xUEEx