2022年浙江省高考数学总复习：立体几何（附答案解析）

1、2022年浙江省高考数学总复习：立体几何1 .如图，在四棱锥E-ABC。中，底面A8CO为菱形，BE_L平面ABC。，G为AC与8。的交点.(1)证明：平面AEC_L平面3EC；(2)若/84。=60°,AEA.EC,求直线EG与平面EDC所成角的正弦值.2 .如图，在四棱锥S-ABC。中，底面A8CD为矩形，SAD为等腰直角三角形，SA=SO=2近，AB=2,F是BC的中点，二面角S-AD-8的大小等于120。.(1)在AZ)匕是否存在点E,使得平面SEFL平面ABCD,若存在，求出点E的位置:若不存在，请说明理由；(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.3 .如图，三棱锥E-

2、BC。中，EC。为正二角形，平面£。_1_平面8CO,BC=DC=*BD=2,M,N分别是线段和8。的中点.(I)求点C到平面BDE的距离；(II)求直线EN与平面MCE所成角的正弦值.4 .如图，在三棱柱48C-4BC1中，平面AMCC，平面ABC,ABC和AiAC都是正三角形，。是A8的中点(1)求证：BCi平面4CC：(2)求直线AB与平面。CG所成角的正切值.5 .如图，在等腰直角三角形AOP中，已知A=*,AD=3,B,C分别是AP,OP上的点,E是CO的中点，且BCAD现将尸8c沿8C折起，使得点尸在平面ABC。上的射影为点4.(1)若B,C分别是AP、OP的中点，求证：

3、平面以C_L平面PCD(2)请判断是否存在一种折法，使得直线PB与平面ABCO所成角的余弦值是直线PB与平面见E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出48的长；若不存在，请说明理由.6 .在直三棱柱ABC-481cl中，ZBAC=90°,AC=4B=A4=2,设点M,N,P分别是AB,BC,BiCi的中点.(I)证明：AAi平面PMN；(ID若。为AAi上的动点，试判断三棱锥P-QMN的体积是否为定值？并说明理由.A M B一17 .在多面体ABCCM向中，四边形ABB14为菱形，BC/BC,BC=BC,AiCi=AA,ABLBiC,ZBiBA=60°,平面A8B14_L平面A

4、BC.(1)在棱AB上是否存在点O,使得AB_L平面BiOC?若存在，请给予证明；若不存在,请说明理由.(2)求二面角C-AC-B的正弦值.瓦/7AC8 .在四棱锥P-ABC。中，侧面用O_L底面A8CD,PA=AD=DC=6,AC=6近,AB=3,CD平面B4B,ZB4D=6O°.(I)求证：平面PCC平面PBC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.9 .如图，己知四棱锥5-ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面SAOL平面ABCD,M,N分别为棱A。，BC的中点，SA=SD,SA±SD,P,Q为侧棱SD上的三等分点(点P靠近点S).(1)求证：PN平面MQC；(2)

5、求多面体MPQCN的体积.10 .如图，四边形M48c中，ABC是等腰直角三角形，AC1BC,4c是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将4c向上折叠到QAC的位置，使点。在平面ABC内的射影在AB上，再将MAC向下折叠到EAC的位置，使平面平面A8C,形成几何体DABCE.(1)点尸在BC上，若。尸平面E4C,求点尸的位置;(2)求宜线A8与平面EBC所成角的余弦值.11 .如图，直三棱柱BC尸中，。为EH的中点，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.(I)求证：AFLBH；(II)求平面ADC与平面ABC所成角的余弦值.12 .在如图所示的几何体中，四边形A8CO是菱形，N8A

6、63;>=120°,平面A8C£),AE/CF.(1)求证：OF平面ABE；(2)若AO=AE=2C尸=2,求该几何体的表面积.13 .如图，在四棱锥P-ABCD中，必。是等边三角形，平面平面ABCD,底面ABCQ是直角梯形，AD/BC,已知AO=28C=4,ZBAD=60°.(I)若E为以的中点，求证：BE平面PCQ；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.14 .已知在平行四边形ABCC中，AO=2,AB=V3,ZADC=如图，DE/CF,且。EO=3.CF=4,ZDCF=且平面A8CQ_L平面CQEF.(I)求证：AC,平面CDEF；(II)求二面角D-

7、AE-C的余弦值.15 .如图，已知四棱锥P-4BCD中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=®ZADC=60°.(1)求证：BPLCD-,(2)若8P=&,求直线PC与平面RIC所成角的正弦值.16 .如图，在四棱锥P-ABCD中，用。是等边三角形，平面出。_L平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD/BC,已知AD=2BC=4,ZBAD=60°.(I)若E为抬的中点，求证：BE平面PCD；(II)求四棱锥P-ABCD的体积.17 .如图，在直三棱柱ABC-4iBiCi中，AB=BC=AAi,AB1.BC,。为A8的中点，E为BC上

8、一点，满足CE=2EB.(1)求证：AiC平面BiDE；(2)求二面角Bi-AtC-Ci的余弦值.18 .已知在平行四边形ABCC中，AO=2,AB=V3,ZADC=如图，DE/CF,且。EO=3,CF=4,ZDCF=且平面48CQ_L平面CQEF.(I)求证：ACJ_平面CDEF；(Il)求四棱锥F-ABC。的体积.19 .如图所示，在四棱锥E-ABCC中，四边形4BCC是直角梯形，AB=4E=BC=%£)=1,BC/AD,AEJ_平面ABC。，NBAD=90°,N为。E的中点.(1)求证：NC平面EAB；(2)求二面角A-CN-D的余弦值.20 .如图，在多面体48co

9、EF中，四边形ABC。、四边形4CFE均为菱形，ZBAD=ZEAC=120°.(1)求证：平面平面ACFEx(2)若8E=DE,求二面角C-8F-E的余弦值.21 .如图所示，在三棱锥ABCC中，AB=BC=BD=2,AD=23,NCBA=NCBD=多点E,尸分别为AC,8。的中点.(1)求证：平面4C£)_L平面BCE；(II)求四面体CCEF的体积.22 .如图，在棱长为3的正方体中，过顶点功作平面a交A4i于E点，交BBi于F点,使得A1E=1,BF=1.(1)求证：AC平面a；(II)求点。到平面a的距离.23 .己知ABC,AB=BC,NC8A=60°,

10、沿着边C8把AABC进行翻折，使平面ABC与平面DBC垂直，Q8C可由aABC翻折得到.回答下列问题.(I)直线AC与平面A8D所成角的余弦值；(II)二面角A-80-C的余弦值.24 .如图，四棱锥P-A8C。，底面四边形ABC。为梯形，且满足AO=1,AB=CO=3,BC=4且AOBC,设平面阳£与平面P8C的交线为/.(I)求/与平面PDC所成的角；(II)已知9=1,求平面朋5与平面PDC所成的锐二面角的余弦值.25 .如图，在三棱台ABC-A'B'C'中，已知平面ABB'A'，平面ABC,AC±BC,ZCBA=£四

11、边形AM'4'是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分别为AB,A'6C'的中点.(1)求证：£F±AC；(2)求直线E尸与平面ACC'A'所成角的正弦值.26 .如图，A8C为正三角形，半圆。以线段8c为直径，。是船上的动点(不包括点8,C),平面ABC1平面BCD(1)是否存在点£>,使得BO_LAC?若存在，求出点。的位置；若不存在，请说明理由.(2)若NC8O=30°,求二面角O-A。-C的余弦值.27 .如图，ZXA8C是正三角形，D,E,F分别是线段A8,B

12、C,AC的中点，现将AOF和CEF分别沿着OF,EF折起，使得A,C两点在尸点重合，得到四棱锥尸-8EFD.(1)证明：平面PBF_L平面BEFDx(2)设正三角形ABC的边长为4,求三棱锥尸-尸8E的体积.28 .如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABC。为正方形，以。为等边三角形，平面理。_L平面PCD.(I)证明：直线CD,平面公。；(H)若48=2,。为线段P8的中点，求三棱锥Q-FCD的体积.29 .如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/BC,ADLAB,并且8c=2AD=24B=2,PM=号,点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M.(1)证明：8尸，平面PCD；(II)求点A到平

13、面PCD的距离.30 .如图，在四棱锥产T8C。中，已知附_L平面A8CD,且四边形ABC。为直角梯形，ZTTABC=ZBAD=,AD=2,AB=BC=.(1)当四棱锥P-ABCD的体积为1时，求异面直线AC与PD所成角的大小；(2)求证：C£>_L平面用C.ZCBD=,31 .如图所不，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD=2,4。=26，ZCBA点，产分别为AD,8。的中点.(I)求证：EF平面A8C；(II)求平面3CE与平面ACF所成锐二面角的余弦值.32 .如图，在四棱锥P-ABC。中，AD/BC,ADLAB,并且8c=2AO=2A8,点P在平面ABCD内的投影恰为

14、BD的中点M.(I)证明：。上平面/。；(II)若PM=AD,求直线用与8所成角的余弦值.33 .如图，在三棱锥尸-4BC中，肉，底面4?C,A8C是边长为2的正三角形，侧棱PB7T与底面所成的角为4(1)求三棱锥P-ABC的体积V；(2)若。为PB的中点，求异面直线以与CQ所成角的大小.34 .如图I,在三棱柱48C-4B1G中，已知AB_LAC,AB=AC=,AAi=2,且411_1平面ABC,过4,。，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.（1）求异面直线8。与A41所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥8-ACG4的体积和表面积.35.如图，在矩形

15、A8CO中，将AC3沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AE±BE.(1)求证：平面A8EJ_平面ABC；(2)若8c=3,三棱锥8-AEC的体积为4R求点E到平面ABC的距离.36 .如图，在直三棱柱ABC-AiBCi中，ABC是正三角形，点。在棱8囱上，且3丛3B1D,点E为31C的中点.(1)证明：平面4QE_L平面8CG81；(2)若B8i=3&,A8=2,求点C到平面AiDE的距离.37 .如图所示，在宜三棱柱ABC-AiB。中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA=CB=CCj=2.点D,功分别是棱AC,Ai。的中点.(1)求证：D,B,B

16、i，Di四点共面；(2)求直线BC与平面DBBD所成用的大小.38 .如图，在四棱锥5-A8CD中，底面ABCD是等腰梯形,A8CD,CD=2AB=4,AD=事),SCD是等腰直角三角形，SC=SD,&4=3.(I)证明：平面SC£>J_平面4BCQ；(II)若平面SAD与平面SCB的交线为I,求二面角C7-D的余弦值.39 .如图，在矩形A8cD中，将AC。沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AE±BE.(1)求证：平面ABEL平面ABC；(2)若E8=，三棱锥8-AEC的体积为学，求二面角E-AC-8的余弦值.40 .如图，在三棱柱ABC-AiBiC

17、i中，P,Q分别是A4i，CB上一点，且4P=2以i，CQ=2QB.(1)证明：AQ平面CPB；(2)若三棱柱ABC-481cl为直三棱柱，且A4=3,BC=BA=V15,AC=2V3,求点B到平面CPB的距离.41 .如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2,PDL平面ABC。，PB与底面A8C。所成的角为45°,过AQ的平面分别与PB,PC交于点E，F.(I)求证：EFLDCx2a/2PE(II)若二面角P-AD-E所成角的余弦值为二一，求的值.3EB42 .在四棱柱ABCD-4B1CQ1中，四边形ABCD是平行四边形，AAi=AC=l,ZABC=30

18、6;,BC=2,平面A831Al，平面A3CD,M,N分别为AC，A3的中点.(I)求证：MN平面AiBCi；(II)若cos/AiC8=求二面角C-MN-D的余弦值.华43 .如图所示，三棱柱ABC-4出1。中，平面ACCMi，平面ABC,AAilAC,AAi=AB=BC=2,D,Di分别为AC,4。的中点，且/8AC=30°.(I)求证：DDilBC；(JI)求二面角Bi-DA-Ci的余弦值.44 .如图，四棱锥P-A8CO的底面为正方形，PC=PA=-PD=V5AD.E,尸分别是外,尸。的中点.(1)证明：EEL平面PCD；(II)求二面角A-CE-F的余弦值.45 .如图，在

19、四棱锥P-A8CO中，等边三角形以。所在平面与梯形ABC。所在平面垂直,且CD/AB,AD=BD=2,DC=AB=VL点G为丛PAD的重心，AC与BD交于点M.(1)求证：GM平面(2)求点C到平面PBD的距离.46 .如图，直三棱柱AiBCi-ABC中，A8=AC=1,/.BAC=A|A=4,点M为线段A|A的中点.<1）求直三棱柱AiBCi-4BC的体积：（2）求异面直线8M与81cl所成的角的大小.（结果用反三角表示）47 .如图，已知直角梯形ABCD,BC/AD,BC=CD=2,AD-4,NBCD=90°,点E为AD的中点，现将三角形ABE沿BE折叠，得到四棱锥A：BC

20、DE,其中ZA'ED=120°,点M为AZ)的中点.(1)求证：47J平面EMC；(2)若点/V为8c的中点，求四面体A7WNB的体积.48 .如图，在三棱锥P-ABC中，A8C为正三角形，点D,E分别为AC,附的中点，其中PA=PB=4y/2,PC=AC=4.(1)证明：平面B£)E_L平面A8C；V6(2)若点F是线段AC上异于点D的一点，直线AE与平面BEF所成角的正弦值为:4求空的值.49 .如图，在四棱锥P-488中，四边形ABCO是梯形，AB/CD,ABLBC,且以=P£>=BC=CD=1,AB=2,PC=V3.(1)证明：平面用。；(2

21、)求直线AD与平面BBC所成角的正弦值.50 .在四棱锥P-ABC。中，PA=PC=2,底面A8C£>是菱形，AB=2y3,NA8C=60°.(I)求证：AC±PB；(II)求四棱锥P-ABCD的体积.2022年浙江省高考数学总复习：立体几何参考答案与试题解析1.如图，在四棱锥中，底面ABCQ为菱形，平面A8CO,G为AC与BO的交点.(1)证明：平面AEC1.平面BED；(2)若/8AC=60°,AELEC,求直线EG与平面E£>C所成角的正弦值.【解答】(1)证明：；A8C£>为菱形，.AULB。，平面ABC。，

22、ACu平面ABC。，J.BEA.AC,又BDCBE=B,BD、BfcTffiBED,，AC1平面BED,：ACu平面AEC,平面AEC_L平面BED.(2)解：设A8=l,在菱形A8CD中，由NBAO=60°,可得AG=GC=亨，BG=GD=1TVAE1EC,:EG=AG=£,：8£上平面ABC。，：.BE±BG,BE=>JEG2-BG2=孝.以G为原点，GB、GC分别为x、y轴，过点G作直线Gz8E,建立如图所示的空间直角坐标系，遮、1、1遮则G(0,0,0),C(0,0),D(亍0,0),E(-,0,一),2222T12Ty/2T1y3V2/.

23、GE=(一，0»),DE=(1,0,),CE=(一,)»222222/TT(%+Z0设平面E0C的法向量为蔡=(x,y,z),则字当二°,即(2,tn-CE=01聂冬+会=0令x=l,贝！1）=一丁，z=y/2,'.n=（1,一至，V2）,设直线EG与平面EDC所成角为9,rtEGn-+0-1Tin则8in0=|cos<GE,n>|=|-|=|=S,|=',|EG卜|tt|-+-x1+-+22N32.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。为矩形，%£为等腰直角三角形，SASD=2位，A8=2,尸是BC的中点，二面角S-AD

24、-B的大小等于120°.(1)在A。上是否存在点E,使得平面SEFL平面A8CD,若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.【解答】解：(1)在线段AD上存在点E满足题意，且后为4。的中点.如图,连接E凡SE,SF,四边形ABCD是矩形，.'.AB-LAD,又£、F分别是A。、BC的中点，J.EF/AB,AD±EF,.SAD为等腰直角三角形，SA=SD,E为A。的中点，：.SE±AD,：SECEF=E,SE,EFu平面SEF,.*.AO_L平面SEF,平面A8C£),平面SEF_L平面AB

25、CD,故AD上存在中点E,使得平面SE/，平面ABCZ).(2)由(1)知，SELAD,EFA.AD,；./SE尸为二面角S-AO-8的平面角，即NSM=120°.以E为原点，EA、£厂所在的直线分别为x、y轴，作Ez_L平面A8CD,建立如图所示的空间直角坐标系，在等腰RtZS4O中，SA=SD=2V2,：.AD=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-V3),SC=(-2,3,一仲，设平面SBC的法向量为1 = (x, y, z),则£,4=0,即12x+3

26、y_V5z=0n-SC=02x+3y-V3z=0令y=l,则x=0,z=V3,：.n=(0,1,V3),设直线SA与平面SBC所成角为e,T>-sA-n1-3J2则sin6=|cosVSA，n>|=|-|=|-=1=-7-,SA-nV4+1+3X2'故直线必与平面瓯所成角的正弦值为H3.如图，三棱锥E-BCQ中，ECO为正三角形，平面EC£U_平面BC£>,BC=DC=-BD=2,M,N分别是线段EQ和8。的中点.(I)求点C到平面BDE的距离；(II)求直线EN与平面MCB所成角的正弦值.【解答】解：（I）平面ECO_L平面8C。，且&&

27、#163;）为正三角形，CD=2,：.点E到平面BCD的距离为百，：BC=£>C=与8。=2,.BCO是等腰直角三角形,1:,Sabcd=BC'DC=2.在8OE中，BEBD=2V2,DE=2,SaBDE=Ix2x夕=y/7.设C到平面BDE的距离为d,Ve-BCDVcBDE，xy/3x2=/xdxV7,解得d=故点C到平面BDE的距离为早.（II）以C为原点，CD、CB所在的直线分别为x、），轴，作Cz,平面BCD,建立如图所示的空间直角坐标系，,3V3则B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,),E(1,0,V3),N(1,221,0),T

28、厂T3V3TEN=(0,1,V3),CM=(-,0,)，CB=(0,2,0),22二(3V3设平面MBC的法向量为=(x,y,z),则字5=°,即尹+丁2=0,U-CF=0(2y=0令x=l,则y=0,z=-V3,An=(1,0,-V3),设宜线EN与平面MBC所成角为Q,3 -4TTttENn则sinO=|cosVEN,n>=1=故直线EN与平面MBC所成角的正弦值为三.44.如图，在三棱柱ABC-4BC1中，平面AiACCiL平面A8C,/XABC和A1AC都是正第54页共115页三角形，。是A8的中点(1)求证：BCi平面AiQC；(2)求直线A8与平面CCG所成角的正切

29、值.【解答】(1)证明：连接AG，交AC于E,连接OE,/四边形AiACG是平行四边形，是AG的中点，。是A8的中点，：.DE/BC,平面AiOC,BGC平面4OC,平面4OC.(2)解：取AC的中点。，连接40,BO,ABC和AiAC都是正三角形，：.AOLAC,BOA.AC,.平面4ACCi，平面ABC,平面4ACC1C平面ABCAC,平面ABC,：.AOLBO,以。为原点，OB、0C、0A所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,_V31设AC=2,则A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(,0),C(0,2,V3),>tv 3a*.AB = (

30、V3, 1, 0), CD =(,一亍 22设平面DCC的法向量为几=(x, y, z),T50), DC1=(-三，5，V3)>则&包=°,即曰;之=°(入 DCr 0% + -y 4- V3z = 0令x=3,则尸遍，z=-l,：.n=(3,V3,-1),.ttAB,Tl3yf3/3设直线AB与平面DC。所成的角为。，则sin8=|cosV4<,n>|=|二|=土k=l=ABn2x79+3+12/3再，tan0=2V3,故宜线AB与平面DCCi所成角的正切值为26.5.如图，在等腰直角三角形AOP中，已知A=/，AO=3,B,C分别是AP,3P

31、上的点，E是CC的中点，且BCA。.现将尸BC沿BC折起，使得点P在平面A8C。上的射影为点、A.P(1)若B,C分别是AP、CP的中点，求证：平面平面PCZ).(2)请判断是否存在一种折法，使得直线PB与平面A8CO所成角的余弦值是直线PB与平面附E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出AB的长：若不存在，请说明理由.【解答】(1)证明：.点P在平面A8CD上的射影为点A,.,.布_1_平面48。，；COu平面A8CQ,：.PALCD,：等腰RtAADP,且C为OP的中点，:.AC1.CD,'：PACAC=A,PA,ACu平面必C,；.CD_L平面PAC,又CQu平面PC。，平面以Cl平

32、面PCDD(2)解：平面 ABC3,ZABP为直线PB与平面ABCD所成的角，设其大小为a,则cosa=丽,过点8作8M_LAE,交4E于点M,连接尸M,出J_平面ABC。，.".PA1.BM,又AEC必=A,AE,B4u平面B4E,平面PAE,.NBPM为直线尸8与平面所成的角，设其大小为0,则sin0=器,.直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB与平面以E所成角的正弦值的七倍,.*.cosa=-|sinp.BPAB=,设A8=f(0<r<3),则BM=三/,DE=cD=PD=43V26，bZ设/A8M=NOAE=e,在AAOE中，由正弦定理知,DEADsinL

33、DAE sinAED区 c2sindt(6-t)5' / = fV2t2-12t+36V26337r，sin(学6)7TVsin2e+cos20=l,.ft06(0,-),2AfAcos0=.=,J2t2-i2t+36DK4t(6-t).BM=7'J2t2-i2t+36又BM=彘，化简整理得，2尸+，-3=0,解得r=l或一|(舍负),故当AB=l时，直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB与平面PAE所成角的正弦值的七倍.6.在直三棱柱ABC-481cl中，ZBAC=90°,AC=AB=AA=2,设点M,N,P分别是AB,BC,BiCi的中点.(I)证明：AA

34、i平面PMN；(H)若。为A4上的动点，试判断三棱锥P-QMN的体积是否为定值？并说明理由.【解答】(I)证明：点M,N,P分别是48,BC,81。的中点，PNCCi，又,.A4CG，：.AA/PN,41c平面PMN,PNu平面PMN,平面PMN；(II)解：如图，连接AN,AP,根据等体积法可知，Vp-qmn=Yq-pmn,由(I)可知，A4i平面PMM又Q为AAi上的动点，Vq-pmn=Va-pmn=Vp-amn>S&AMN=X1X1=2,111即Vp-QMN=Vq-PMN=Va-PMN=Vp-AMN=2x2X2=3.若。为A4上的动点，则三棱锥P-QMN的体积定值点17.在

35、多面体4BCCM向中，四边形AB814为菱形，BC/BC,BC=BC,AC=AA,AB1.BC,ZBiBA=60°,平面48B141平面ABC.(1)在棱A8上是否存在点O,使得AS,平面8iOC?若存在，请给予证明；若不存在,第58页共115页请说明理由.(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.C【解答】解：(1)在棱A8上存在点O(O为棱AB的中点)，使得ABJ平面BiOC.理由如下：连接481，.,四边形AB81Al为菱形，且NBiBA=60°,是等边三角形，又。为AB的中点，：.BiOLAB,'：ABLBC,BO(BC=B,8|。匚平面8|。(7,BiCu平面

36、8|OC,平面BiOC.(2)由(I)知，AB_L平面BiOC,J.AB1OC,又平面A8B14_L平面ABC,平面ABBAQ平面ABC=AB,.00_平面433|4,OClBiO,以O为坐标原点，OB,OC,OBi所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，取81cl的中点E,连接4E.CE,由题意知几何体A8C-4B1E是三棱柱，取AB中点D,连接DE,则豺C，设A4i=2,则O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),B(0,0,V3),Ai(-2,0,V3),>»TT.OG=0B1+B14+A1G=OBX+2OA+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)

37、+2(0,1, 0)=(-2,2,V3),Cl(-2.2,V3),AC=(1,1,0),4G=(-1,2,V3),设平面AC。的法向量”=(x,y,z),则伫.号=x+y=o，取e,褊=(i,-i,遮)，(m4cl=t+2y+V3z=0平面ABC的一个法向量£=(0,0,1),设二面角。-AC-8的平面角为3则cos0=呼叫=sin0=J1一(乌2=|m|-|n|V51店5/10二面角。-人(7-8的正弦值为不一.8.在四棱锥P-ABC。中，侧面以O_L底面4BCZ),PA=AD=DC=6,AC=6近，AB=3,CQ平面以8,ZB4D=60°.(I)求证：平面PCCJ平面P

38、BC；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.【解答】解：(I)证明："：AD=DC=6,AC=6V2,：.AD2+DC2=AC2,：.AD±DC,侧面布3"L底面ABC。，侧面以OC底面ABCD=AD,.C£)_L平面以。，TPOu平面以。，:.CDLPD,取PC和QC的中点分别为M和M连接MN,BM,则MNP。，:.CD工MN,'：CD/平面PAB,CD/平面A8CO,平面PABn平面ABCD=AB,J.CD/AB,:AB=ND=3,：.四边形ABND为平行四边形,：.BN/AD,：.CD±BN,:BNCMN=N,:.CD_L平面BM

39、N,：BMu平面BMN,：.CDLBM,.C£)_L平面B4。，且办u平面以£),：.ABrPA,即以8为直角三角形，PB=依+32=3遍,:PB=BC,且M是PC的中点，PCIBM,'：PCHCD=C,平面PC。，BMu平面PBC,平面PCD_L平面PBC.(II)在心。中，'：PA=AD=6,/必0=60°,，以。为等边三角形，尸。=6,取4。的中点O,连接PO,：.PO±AD,且PO=V62-32=373,:平面以£)1.平面ABC。，平面用OCI平面A8C£)=A£>,，POJ_平面A8CC,过

40、点P作尸”LBC,交BC于点、H,连接O”,则NPbO即为三面角尸-BC-O的平面角,:PD=CD=6,CDLPD,PDC为等腰直角三角形,PC=!CD2+PD2=V62+62=6V2,2 - (3V2)2 =3>/3,由(I)11PB=BC=3y5,M为PC的中点，：.BMLPC,在RtABA/C中，BM=y/BC2-MC2=11在PBC中，S&pbc=2xBMxPC=PH-BC,解得PH=m,./D"PO373/10则sm/PHO=丁,：Rt尸HO中，NPHO为锐角,.*.cos/PHO=乎,V6二面角p-bc-d的余弦值为p9.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是

41、边长为2的正方形，且平面平面ABCD,M,N分别为棱A。，8C的中点，SA=SD,SAA.SD,P,。为侧棱SO上的三等分点(点P靠近点S).(1)求证：尸N平面MQC；(2)求多面体MPQCN的体积.SBNC【解答】证明：(1)如图，连接N。交CM于点R,连接QR,在正方形ABCC中，-：M,N分别为AO,8c的中点，.四边形MNC。为矩形,得R为NQ的中点，又Q为PD的中点、，：.PNQR,.PN平面MQC-,解：（2）连接SM,为AO的中点，SA=SD,SA1.SD,J.SMYAD,且SAf=±AO=l,又平面SAOJ_平面ABCD,平面SAQC平面ABCD=AD,；.SM_L

42、平面A8CD. P-MNC-9 =1X-3XZ- XIX 一2 X -3 -M J -3 X -3 平血SADL平面ABCD,平面SADQ平面ABCD=AD,CD1AD, CO_L平面SAD又在RtZSMQ中，SD=y12SM=V2,SP=PQ=QD,:.S'PQM=Sasmd，Vpqm=3apqmxCD=可xSasmdxCD=3X3X2XXX .多面体MPQCN的体积V=Vp_MNC+Vc-PQM=i+J=1.10 .如图，四边形MABC中，ZVIBC是等腰宜角三角形，ACLBC,ZM4c是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将MAC向上折叠到O4C的位置，使点。在平面48c内的射影在

43、AB上，再将M4C向下折叠到E4C的位置，使平面EAC1平面ABC,形成几何体DABCE.(1)点尸在BC上，若OF平面E4C,求点尸的位置；(2)求宜线48与平面EBC所成角的余弦值.【解答】解：(1)点尸为8C的中点,理由如下：设点O在平面A8C内的射影为0,连接0£>,OC,；AD=CD,：.OA=OC,.在RtZXABC中，。为48的中点,取AC的中点，连接EH,由题意知E”_L4C,又平面E4C_L平面ABC,平面E4CC平面48C=AC,平面ABC,由题意知CO_L平面A8C,：.DO/EH,二。平面E4C,取BC的中点凡连接。凡则。尸AC,又。咋平面E4C,ACu

44、平面E4C,平面E4C,'.'DOOOFO,平面OO/平面£AC,:。尸u平面DOF,：.DF/平面EAC.(2)连接。，由(1)可知。凡0H,。两两垂直,以O为坐标原点，OF,OH,OO所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,则B(1,-1,0),A(-1,1,0),E(0,1,-V3),C(1,1,0),>»»：.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),BE=(-1,2,一百),设平面EBC的法向量蔡=(a,b,c),'T>BCn=2b=0，取a=百，则£=(百，0,-1),BE-n=-a+2

45、bV3c=0设直线与平面EBC所成的角为0,则向。=磊=恚邛直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cos0=J1一（乎下=学.11 .如图，直三棱柱BCF-AHE中，。为£7/的中点，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.（I）求证：AFLBH-,（II）求平面4OC与平面48c所成角的余弦值.【解答】解：(I)证明：由三棱柱BCF-A/7E是直三棱柱，得CFLEF,'：BFLCF,BFHEF=F,CF_L平面AB尸E,'：CF/HE,/.HflYffiABFE,：.HE±AF,'：AB=BF,AB_LBF,平行四边形A8FE是正方形，：.AF

46、±BE,又HERBE=E,，4尸,平面/平面HEB,：.AF±BH.(II)以E为坐标原点，EA,EF,E4为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,在RtZO”C中，为的中点，11:.DE=EH=CF=1,则A(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),：.AC=(-2,2,0),/ID=(-2,0,1),AB=(0,2,0),设平面48c的法向量益=(x,y,z),LT则竺=-2x+2y=0,取尸,得就=(1,0,1),m-AB=2y=0设平面ADC的法向量n=(mb,c),(TT则？”=_2a+2b+2c=0,取c=2,得建(1,-1,2),UiA

47、D=-2a+c=0>>».t、m-n3V3cos<m，n>=-；=7=-5-,|m|n|v2x/62由图知平面ADC和平面ABC所成角为钝角，平面40c与平面ABC所成角的余弦值为一空.x,ABCD, AE12.在如图所示的几何体中，四边形ABCC是菱形，ZBAD=120°/CF.(1)求证：。尸平面ABE；(2)若4O=4E=2CF=2,求该几何体的表面积.E【解答】解：(1)证明：因为AECF,CFC平面4BE,所以CF平面ABE,因为四边形A8CC是菱形，所以CD/AB,由于CDC平面A8E,所以CO平面A8E,又CFCCD=C,所以平面CDF

48、平面ABE,又OFu平面CDF,所以CF平面ABE.(2)由AECF,知A,C,F,E四点共面，连接AC,于是该几何体是由两个相同的四棱锥8-AC尸E,O-ACFE构成的，11-1由题意知，Saabe=2x2x2=2,Saabc=x2x2xsin60°=v3,Sabcf=)x2x1=1,在8EF中，EF=V5,BE=2y/2,BF=V5,Sme尸|X272xV3=V6,所以该几何体的表面积为2X(Sabe+Sabc+Sbcf+S/bef=6+2V3+2>/6.13.如图，在四棱锥P-ABCD中，XPAD是等边三角形，平面力。，平面ABCD,底面第67页共115页ABC。是直角梯

49、形，AD/BC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60°.(I)若E为限的中点，求证：8E平面PC。：(II)求二面角B-PC-D的正弦值.A【解答】解：(I)证明：如图，取PD的中点F,连接EF,CF,则EF/AD,且EF=AD,由条件可知，BC/AD,且8。=基。，J.EF/BC,MEF=BC,二四边形BCEF为平行四边形，J.BE/CF,又BEC平面尸CC,CFu平面PCD,.8E平面PCD；(II)如图，取AO的中点。，连接。8,0P,则OB=0P=2V3,由条件可得OA,0B,0P三条宜线两两垂直，故以点O为坐标原点，分别以OA,OB,OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间

50、直角坐标系，则B(0,2V3,0),P(0,0,2V3),C(-2,2V3,0),D(-2,0,0),：.PC=(-2,2百，-2V3),BC=(-2,0,0),CD=(0,-273,0),设平面P8C的一个法向量为rA=(a,b,c),则弓,呼=-2。+2c=0,则-BC=-2a=0可取m=(0,1,1),同理可得平面PCO的一个法向量为7=(遮，0,1),r设二面角3-PC-。的大小为。，则cosOn,n>=，=，=|m|n|V2x2/14 .已知在平行四边形ABCQ中，AD=2,AB=V3,ZADC=如图，DE/CF,且。Eo=3,CF=4,ZDCF=且平面48col.平面CQEF

51、.(I)求证：AC_L平面CDEF；(11)求二面角D-AE-C的余弦值.【解答】解：(I)证明：在平行四边形ABCO中，CD=AB=6AD=2,AADC=,o/n由余弦定理可得AC2=AO，C-2ADCD-cosZADC=4+3-2x2xV3x=1,：.AC2+CD2=AD2,.".ACA.CD,又：平面ABC。_L平面CDEF,平面ABCDd平面CDEF=CD,ACu平面A8C£),平面CDEF；(11)如图以点C为坐标原点，CD,CF,C4所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则点C(0,0,0),4(0,0,1),D(V3,0,0),E(遮，3,0),T

52、T设平面4OE的一个法向量为m=(a,b,c),DE=(0,3,0),DA=(-V3,0,1),则c=O'则可取薪=(1，。，V3),TTT设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),AC=(0,0,-1),CE=(V3,3,0),则信：+°3b=。，则可际=(i。)，设平面ADE与平面ACE所成的二面角为0,贝iJcosS=孚之=/=卓，|m|n|2x24.二面角。-心C的余弦值为不x15 .如图，已知四棱锥P-ABC。中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=V3,ZADC=60°.(1)求证：BPLCD-,(2)若BP=a，求直线PC与平面

53、外。所成角的正弦值.【解答】(1)证明：取8尸的中点E,连接CE、DE、BD,BC,:BC=PC,：.CELBP,'：AD=2BC=2,ZADC=60°,：.CD=,BD=V3,又ADEIBP,:CECDE=E,CE、OEu平面CQE,.8P_L平面CQE,：COu平面CDE,：.BPLCD.(2)解：过C作enLAO于凡连接尸凡'AD/BC,：.CFLBC,:BP=a,BC=PC=1,：.BC2+PC2=BP2,HPBCYPC,又CFCPC=C,CF,尸Cu平面PC/,.8CJL平面PCF,平面PCF,.人。<=平面外。，平面D_L平面PC/,过点C作CGLP

54、尸于点G,平面布0n平面PCF=PF,；.CG_L平面以£>,ZCPF即为直线PC与平面PAD所成的角,在RtZC£尸中，ZCDF=60°,CD=,：.CF=,DF=,在RtAPC尸中，PD=V3,DF=1,：.PF=22r>2zxixn 5，在PCF中，由余弦定理知，cos/CPF=0C.提乐.：.sinZCPF=V1-cos2/.CPF=等a/22故直线PC与平面PAD所成的角的正弦值为不-.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，雨。是等边三角形，平面aZXL平面ABCD,底面ABC。是直角梯形，AD/BC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60

55、76;.(I)若E为外的中点，求证：BE平面尸CZ)；(II)求四棱锥P-ABCD的体积.【解答】证明：(I)如图，取的中点F,连接E凡CF,贝IJE/AO,且所=4£>,由已知可得BCAO,且BC=%。，尸8c且EF=BC,得四边形8CEF为平行四边形，WOBE/CF,又BEC平面PC。，CFu平面PCD,二8£；平面PCD；解：(H)如图，取A£)的中点。，连接PO,OB,OC,平面以O_L平面ABC。，出。是等边三角形，./>。_1平面486'。，得尸0=2百，08=2百，又；底面ABCC是直角梯形，AD/BC,AD=2BC=4,'-Sabcd=1X(2+4)X2V3=6V3,11:.V四棱锥p-ABCD=qS梯形abcdXP°=4X6V3x2V3=12.17.如图，在直三棱柱ABC-Ai81cl中，AB=BC=AAi，ABLBC,。为AB的中点，E为8c上一点，满足CE=2EB.(1)求证：AiC平面BiDE；(2)求二面角B-AC-C的余弦值.【解答】解：(1)连接4B交810于点F,连接EF,'：AB/AB,