直线与圆的方程

1、直线与圆的方程一、直线的方程一、直线的方程1.1.直线的倾斜角直线的倾斜角 当直线与当直线与 x 轴相交时轴相交时,规定把规定把 x 轴绕交点按逆轴绕交点按逆时针方向旋转到与直线重合时时针方向旋转到与直线重合时,所转过的最小正角所转过的最小正角记为记为,那么那么就叫做直线的就叫做直线的倾斜角倾斜角. . 当直线当直线 l 与与 x 轴平行或重合时，规定此直线的倾轴平行或重合时，规定此直线的倾斜角为斜角为0o. 倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是0，)(1) 直线的倾斜角为不是直线的倾斜角为不是90o时的正切值，叫做该直线的时的正切值，叫做该直线的斜率斜率，记作，记作ktan (90) 121

2、2xxyyk2.2.直线的斜率及斜率公式直线的斜率及斜率公式(2) 经过两点经过两点P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 , y2 )(x1 x2 )的直线的斜的直线的斜率公式率公式(3)直线的直线的横截距横截距是直线与是直线与x轴交点的横坐标，直线的轴交点的横坐标，直线的纵截纵截距距是直线与是直线与 y 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标.3.3.直线方程的五种形式直线方程的五种形式.(1)点斜式：设直线点斜式：设直线l过定点过定点P(x0，y0)，斜率为，斜率为k，则直线，则直线l 的方程为的方程为 y-y0k(x-x0)(2)斜截式：设直线斜截式：设直线 l 斜率为斜率为k，在，在y 轴截

3、距为轴截距为b，则直线，则直线l 的方程为的方程为 ykx+b(3)两点式：设直线两点式：设直线 l 过两点过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1x2，y1y2则直线则直线 l 的方程为的方程为(4)截距式：设直线截距式：设直线 l 在在x、y轴截距分别为轴截距分别为a、b(ab0)则直则直线线l的方程为的方程为(5)一般式：直线一般式：直线l的一般式方程为的一般式方程为Ax+By+C0(A2+B2 20)121121xxxxyyyy1byax例例1: 直线直线ax+y+1=0与连接与连接A(2,3)、B(- -3,2)的线的线段相交段相交,则则 a 的取值范围是的取值范围是 （

4、） A.- -1,2 B.2,+（- -,- -1）C. - -2,1 D. 1,+（- -,- -2）解：直线解：直线ax+y+1=0过定点过定点C(0,- -1), 当直线处在当直线处在AC与与BC之间时之间时, 必与线段必与线段AB相交相交, 应满足应满足 或或 213 a312a即即 2a或或 1a选选D 136yx例例2. 已知已知ABC的三个顶点是的三个顶点是 A(3,- -4)、B(0,3)，C(- -6,0)，求它的三条边所在的直线方程，求它的三条边所在的直线方程.B(0,3)A(3,-4)xC(-6,0)y解：解：因因ABC的顶点的顶点B与与C的坐标分别的坐标分别 为（为（0

5、,3）和（）和（- -6,0），）， 故故B点在点在 y 轴上，轴上，C点在点在 x 轴上，轴上， 即直线即直线BC在在 x 轴上的截距为轴上的截距为- -6，在，在 y 轴上的轴上的截距为截距为3，利用截距式，直线利用截距式，直线BC的方程为的方程为 化为一般式为化为一般式为x- -2y+6=0例例2. 已知已知ABC的三个顶点是的三个顶点是 A(3,- -4)、B(0,3)，C(- -6,0)，求它的三条边所在的直线方程，求它的三条边所在的直线方程.B(0,3)A(3,-4)xC(-6,0)y解：解：由于由于B点的坐标为点的坐标为(0,3),故直线故直线AB在在 y 轴上的截距为轴上的截距

6、为3，利用斜截式，设直线利用斜截式，设直线AB的方的方程为程为 y=kx+3又由顶点又由顶点 A(3,- -4)在直线在直线AB上，上， 所以所以- -4=3k+3，37故故k=所以直线所以直线AB的方程为的方程为 , 337xy化为一般式为化为一般式为7x+3+3y- -9=0例例2. 已知已知ABC的三个顶点是的三个顶点是 A(3,- -4)、B(0,3)，C(- -6,0)，求它的三条边所在的直线方程，求它的三条边所在的直线方程.B(0,3)A(3,-4)xC(-6,0)y解：解：由由A(3,-4)、C(- -6,0)， 利用点斜式得直线利用点斜式得直线AC的方程为的方程为,943640

7、ACk化为一般式为化为一般式为4x+9+9y+ +24=0得直线得直线AC的斜率的斜率 ),6(940 xy例例3. 一条直线经过点一条直线经过点P(3,2)，并且分别满足下列，并且分别满足下列条件，求直线方程：条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线）倾斜角是直线x- -4y+3=0的倾斜角的的倾斜角的2倍；倍；（2）与）与x、y轴的正半轴交于轴的正半轴交于A、B两点，且两点，且AOB的面积最小的面积最小(O为坐标原点为坐标原点). 解：（解：（1）设所求直线倾斜角为）设所求直线倾斜角为, 已知直线的已知直线的倾斜角为倾斜角为， 则则2， 且且tan , 41tantan2 158利用点斜式得所

8、求直线的方程为利用点斜式得所求直线的方程为),3(1582xy化为一般式为化为一般式为8x-15-15y+6+6=0例例3. 一条直线经过点一条直线经过点P(3,2)，并且分别满足下列，并且分别满足下列条件，求直线方程：条件，求直线方程：（2）与）与x、y轴的正半轴交于轴的正半轴交于A、B两点，且两点，且AOB的面积最小的面积最小(O为坐标原点为坐标原点). 解解:（2）设直线方程为）设直线方程为 )0, 0(1babyaxabba62123 所求直线方程为所求直线方程为2x+3+3y-12-12=0代入代入 P(3,2)，得，得 得得 ab 24,从而从而SAOB ,1221ab此时此时 ,

9、23ba,32abk例例3. 一条直线经过点一条直线经过点P(3,2)，并且分别满足下列，并且分别满足下列条件，求直线方程：条件，求直线方程：（2）与）与x、y轴的正半轴交于轴的正半轴交于A、B两点，且两点，且AOB的面积最小的面积最小(O为坐标原点为坐标原点). 解解:（2）解法）解法2：设直线方程为：设直线方程为 )0, 0(1babyax123ba即即2x+3+3y-12-12=0代入代入 P(3,2)，得，得 则则SAOB ab2112解得解得 )3(32aaab32aa639)3(aa当且仅当当且仅当 即即 a=6时等号成立，时等号成立，此时此时b=4, 39)3(aa 所求直线方程

10、为所求直线方程为146yx练习：过点练习：过点(2,1)作直线作直线 l 分别交分别交x,y轴正半轴于轴正半轴于A，B两点。两点。 (1)当当AOB面积最小时，求直线面积最小时，求直线 l 的方程的方程. (2)当当|PA| |PB|取最小值时，求直线取最小值时，求直线 l 的方程的方程. 解：解：(1)设所求直线设所求直线 l 的方程为的方程为 )0, 0(1babyax由已知由已知 112ba于是于是 221212baba41SAOB= ab214当且仅当当且仅当 2112ba即即a=4,b=2时取等号时取等号, 此时直线此时直线l 的方程为的方程为124yx即即x+2y- -4=0 练习

11、：过点练习：过点(2,1)作直线作直线 l 分别交分别交x,y轴正半轴于轴正半轴于A，B两点。两点。 (1)当当AOB面积最小时，求直线面积最小时，求直线 l 的方程的方程. (2)当当|PA| |PB|取最小值时，求直线取最小值时，求直线 l 的方程的方程. 解：解：(2)解法解法1：设直线：设直线 l 的方程为的方程为 y- -1=k(x- -2)分别令分别令y=0，x=0得得当且仅当当且仅当k2=1，即，即k=1时取取最小值，时取取最小值， ),0 ,12(kA此时直线此时直线 l 的方程是的方程是 x+y-3-3=0 ),21 , 0(kB则则|PA| |PB|= )11)(44(22

12、kk)1(4822kk 4又又k0 时时, 方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般叫做圆的一般方程方程. 此时圆心为此时圆心为 ,半径半径)2,2(EDFEDr421224.4.二元二次方程表示圆的充要条件二元二次方程表示圆的充要条件： 040002222AFEDBCAFEyDxCyBxyAx表示圆的方程表示圆的方程例例1(1)求经过点求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线圆心在直线2x- -y- -3=0上上的圆的方程的圆的方程; (2)求以求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形为顶点的三角形OAB外接圆的方程外接圆的方程.解：解：(1)设圆心设圆心P

13、(x0, y0), 则有则有 2020202000)2()3()2()5(032yxyxyx解得解得 x0=4, y0=5, 半径半径 10r所求圆的方程为所求圆的方程为(x- -4)2+(y- -5)2=10例例1(1)求经过点求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线圆心在直线2x- -y- -3=0上上的圆的方程的圆的方程; (2)求以求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形为顶点的三角形OAB外接圆的方程外接圆的方程.解：解：(2)设圆的方程为设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将三个已知点的坐标代入列方程组解得：将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=

14、- -2, E=- -4, F=0例例2. 求与求与 x 轴相切轴相切,圆心在直线圆心在直线 3x- -y=0上上,且被直线且被直线x- -y=0截下的弦长为截下的弦长为 27 的圆的方程的圆的方程.222)()(:rbyax设所求的圆的方程是设所求的圆的方程是解法一解法一2|0),(baxyba的距离为的距离为到直线到直线则圆心则圆心222)7(2|bar14)(222bar即即轴相切轴相切由于所求的圆与由于所求的圆与x22br 上上又所求圆心在直线又所求圆心在直线03 yx03ba、联立联立9, 3, 1; 9, 3, 122rbarba或或解得解得故所求的圆的方程是故所求的圆的方程是9)

15、3() 1(, 9)3() 1(2222yxyx或或例例2. 求与求与 x 轴相切轴相切,圆心在直线圆心在直线 3x- -y=0上上,且被直线且被直线x- -y=0截下的弦长为截下的弦长为 27 的圆的方程的圆的方程.9)3() 1(, 9)3() 1(2222yxyx或或2229)3()(:aayax方方程程是是依依题题意意，设设所所求求的的圆圆的的解解法法二二22972|2|aa则则1a解之得解之得所求的圆的方程是所求的圆的方程是例例3. 求过直线求过直线 2x+y+4=0 和圆和圆 x2+y2+2x- -4y+1=0 的的交点交点, 且面积最小的圆的方程且面积最小的圆的方程.解：因为通过

16、两个交点的动圆中，面积最小的是以解：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是此二交点为直径端点的圆，于是解方程组解方程组 014204222yxyxyx得交点得交点 )2 , 3(),52,511(BA所以圆心坐标为所以圆心坐标为 )56,513(半径为半径为 552|21ABr故所求圆方程为故所求圆方程为54)56()513(22yx例例4. 求圆求圆 关于直线关于直线 对称的圆点方程对称的圆点方程 22412390 xyxy3450 xy解：圆方程可化为解：圆方程可化为 22261xy圆心圆心C (- -2,6),半径为半径为1, 设对称圆圆心为设对称圆圆心为

17、),(baC),(baC则则 与与C(- -2,6)关于直线关于直线 对称对称3450 xy因此有因此有 263450226 312 4abba 解得解得 325265ab 故所求圆方程为故所求圆方程为223226155xy。该圆的圆心坐标和半径为坐标原点），求（两点，且、交于和直线已知圆例OOQOPQPyxmyxyx032065.22062322myxyxyx代入方程代入方程解：将解：将0122052myy得得满足条件满足条件、，则，则、设设212211),(),(yyyxQyxP512, 42121myyyyOQOP , 02121yyxx221123,23yxyx而而2121214)(6

18、9yyyyxx3m，此时，此时，025)3 ,21(r，半径，半径圆心坐标为圆心坐标为。该圆的圆心坐标和半径为坐标原点），求（两点，且、交于和直线已知圆例OOQOPQPyxmyxyx03206. 522解题回顾：解题回顾：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设设而不求而不求”的解法技巧，由于的解法技巧，由于“OPOQ”即等价于即等价于 “xPxQ+yPyQ=0”,所以最终应考虑应用韦达定理来求所以最终应考虑应用韦达定理来求m.m.另外，在使用另外，在使用 “设而不求设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这样可由大于零帮

19、助考虑。是否存在，这样可由大于零帮助考虑。直线与圆的方程四、直线与圆的位置关系四、直线与圆的位置关系1.1.点点P(x0 0, y0)与圆与圆(x- -a)2+(y- -b)2=r2的位置关系的位置关系点点 P 在圆内在圆内(x0 0 - -a)2+(y0 - -b)2r2，点点 P 在圆上在圆上 (x0 0 - -a)2+(y0 - -b)2=r2，点点 P 在圆外在圆外(x0 0 - -a)2+(y0 - -b)2r22.2.线与圆的位置关系及判定方法线与圆的位置关系及判定方法(1)设直线设直线 l，圆心，圆心 C 到到 l 的的距离距离为为d则则圆圆C与与 l 相离相离dr；圆；圆C与与

20、 l 相切相切d=r；圆圆C与与 l 相交相交dr，(2)由圆由圆C方程及直线方程及直线 l 的方程，消去的方程，消去一个一个未知数，未知数，得一元得一元二次方程二次方程，设一元，设一元二次方程二次方程的根的的根的判别式判别式为为，则，则l 与圆与圆C相交相交0； l 与圆与圆C相切相切=0；l 与圆与圆C相离相离03.3.圆的切线圆的切线（1）过圆）过圆x2+y2=r2上上一点一点(x0, y0)的圆的切线方程是的圆的切线方程是 x0 x+y0 y=r2（2）过圆）过圆(x- -a)2+(y- -b)2=r2上上一点一点(x0, y0)的圆点切线的圆点切线方程是方程是(x0- -a)(x-

21、-a)+(y0- -b)(y- -b)=r2（3）求过圆）求过圆外外一点一点(x0, y0)的圆点切线方程的圆点切线方程4.4.直线被圆截得的弦长直线被圆截得的弦长(1)几何方法：几何方法：222|drAB(2)代数方法：代数方法：)1(4)(|22kxxxxABBABA5.5.圆与圆的五种位置关系及判断方法圆与圆的五种位置关系及判断方法 设圆设圆O1的半径为的半径为r1，圆，圆O2的半径为的半径为r2，则，则 两圆相离两圆相离|O1O2|r1+r2； 外切外切 |O1O2|=r1+r2，相交相交|r1- -r2|O1O2|r1+r2|；内切内切|O1O2|=|r1-r2|； 内含内含|O1O

22、2|r1- -r2|； ?O?2?O?1?O?2?O?1?O?2?O?1?O?2?O?1?O?2?O?1例例1、自点、自点A(-1,4)作圆作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线的切线l,求切线求切线l的方程的方程.A(-1,4)yxo解法解法：利用点到直线的距离公式利用点到直线的距离公式解法解法：联立成方程组，应用判别式求解联立成方程组，应用判别式求解思考：过思考：过A点与圆相切的直线个数？点与圆相切的直线个数？例例2. 已知圆已知圆C： 直线直线 l : (2m+1)x+(m+1)y - -7m- -4=0(mR) 22(1)(2)25xy(1)证明：不论证明：不论m取什么实数，直线取什

23、么实数，直线l与圆恒交于两点；与圆恒交于两点；(2)求直线被圆求直线被圆 C 截得的弦长最小时截得的弦长最小时 l 的方程的方程.(1)证明：证明：l 的方程的方程 (x+y- -4)+m(2x+y- -7)=0mR， 27040 xyxy得得 31xy即即 l 恒过定点恒过定点A(3,1)圆心圆心C(1, 2)， 55|AC(半径半径)， 点点A在圆在圆C内，从而直线内，从而直线l恒与圆恒与圆C相交于两点相交于两点. 例例2. 已知圆已知圆C： 直线直线 l : (2m+1)x+(m+1)y - -7m- -4=0(mR) 22(1)(2)25xy(1)证明：不论证明：不论m取什么实数，直线取什么实数，直线l与圆恒交于两点；与圆恒交于两点；(2)