第11章环的定义及性质

1、近世代数1第三章第三章 环与域环与域主要内容主要内容:l 环的定义与性质环的定义与性质l 无零因子环的特征数无零因子环的特征数l 子环、理想子环与商环子环、理想子环与商环l 环的同态基本定理环的同态基本定理l 极大理想极大理想近世代数2第第11节节 环的定义及性质环的定义及性质主要内容主要内容:l 环的定义与性质环的定义与性质l 零因子零因子l 特殊的环特殊的环(整环整环/除环除环/域域)近世代数3环的定义环的定义定义定义1 设设(R,+,)是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算. 如果如果满足以下条件满足以下条件:(1) (R,+)构成交换群构成交换群;(2) (R,)构成半群构

2、成半群;(3) 运算关于运算关于+运算满足左、右分配律运算满足左、右分配律;则称则称(R,+,)是一个是一个环环. 通常称通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环中的运算为环中的乘法乘法.环中加法单位元记作环中加法单位元记作 0，乘法单位元，乘法单位元(如果存在如果存在)记作记作1. 对任何元素对任何元素 x，称，称 x 的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x. 若若 x 存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1. 近世代数4定义定义2 称环称环(R,+,)是有限环，如果是有限环，如果R是有限非空集合是有限非空集合.定义定义3 设设(R

3、,+,)是环，是环， (1) 若环中乘法若环中乘法 适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环或或可换环可换环. (2) 若环中乘法若环中乘法 存在单位元，则称存在单位元，则称R是是含幺环含幺环.环的定义环的定义近世代数5环的实例环的实例例例1(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为加法和乘法构成环，分别称为整数环整数环Z，有理数环有理数环Q，实数环实数环R和和复数环复数环C.(2) n(n2)阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和关于矩阵的加法和乘法构成环，称为乘法构成环，称为 n 阶实矩阵

4、环阶实矩阵环.(3) 集合的幂集集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算关于集合的对称差运算和交运算构成环构成环.(4) 设设Zn0,1, . , n1， 和和 分别表示模分别表示模n的加法和乘法，则的加法和乘法，则(Zn, , )构成环，称为构成环，称为模模 n同余同余类类环环. 近世代数6性质性质1 设设(R,+,)是环，则是环，则 (1) aR，a0 = 0a = 0；(2) a,bR，( a)b = a( b) = ab；(3) a,b,cR，a(b c) = ab ac， (b c)a = ba ca；(4) a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR (n,m2). bab

5、ajnimjimjjnii 1111)()(环的运算性质环的运算性质 近世代数7性质性质1 设设(R,+,)是环，则是环，则 (1) aR，a0 = 0a = 0；(2) a,bR，( a)b = a( b) = (ab)= ab；环的运算性质环的运算性质 证证 (1) aR有有 a0 = a(0+0) = a0+a0由环中加法的消去律得由环中加法的消去律得a0=0. 同理可证同理可证0a=0.(2) a,bR，有，有 ( a)b+ab =( a+a)b = 0b = 0ab+( a)b =(a+( a)b = 0b = 0( a)b是是ab的负元的负元. 由负元惟一性由负元惟一性( a)b=

6、 ab.同理同理a( b)= ab.近世代数8 nijijniibaba11)( mjjimjjibaba11)( nimjjinimjjimjjniibababa111111)()( 同理可证同理可证, b1, b2, ., bm有有 (4) 证明思路证明思路：用归纳法证明：用归纳法证明 a1, a2, . , an 有有于是于是证明证明(4)性质性质1 设设(R,+,)是环，则是环，则 (4) a1,a2,.,an，b1,b2,.,bmR (n,m2). babajnimjimjjnii 1111)()(近世代数9实例实例例例2 在环中计算在环中计算(a+b)3, (a b)2 .解解:

7、(a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a b)2 = (a b)(a b) = a2 ba ab+b2 近世代数10问题问题初等代数中：初等代数中：ab=0 a=0或或b=0n0，na=0 a=0环中：环中：ab=0 a=0或或b=0 ?n0，na=0 a=0 ?近世代数11零因子零因子定义定义4 设设(R,+,)是环，是环，aR， a0 。如果存在一个。如果存在一个元元bR，b0，使得，使得 ab=0 ，则称，则称a是是R的一个的一个左零左零因子因子. 如果存在一个元如果存

8、在一个元cR，c0，使得，使得 ca=0 ，则称，则称a是是R的一个的一个右零因子右零因子. 如果如果a既是既是R的左零因子，又是的左零因子，又是R的右零因子，的右零因子，则称则称a是是R的的零因子零因子. 显然，若显然，若R有左零因子，则有左零因子，则R必有右零因子必有右零因子. 近世代数12特殊的环特殊的环定义定义5 设设(R,+,)是环，是环， 若若 a,bR，ab=0 a=0或或b=0，则称，则称R是是无零因无零因子环子环.或或 若若 a,bR， a0，b0 ab0 ，则称，则称R是是无无 零零因子环因子环.或或 没有左零因子，也没有右零因子的环称为没有左零因子，也没有右零因子的环称为

9、无零因无零因子环子环.近世代数13特殊的环特殊的环定义定义6 设设(R,+,)是环，是环，(1) 若若R是交换环、含幺环、无零因子环，则称是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是是整环整环.(2) 如果如果R满足以下两个条件：满足以下两个条件： 1)R中至少含有两个元素中至少含有两个元素(或或R中至少含有一个非中至少含有一个非 零元素零元素)； 2)非零元素的全体对乘法构成一个群非零元素的全体对乘法构成一个群.则称则称R是是除环除环或或体体.(3) 可换体称为可换体称为域域.显然，除环和域是无零因子环显然，除环和域是无零因子环. 近世代数14例例3 (1) 整数环整数环Z、有理数环、有理数环Q、

10、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是交换环都是交换环,含幺环含幺环,无零因子环和整环无零因子环和整环. 除了整数环除了整数环以外都是域以外都是域. (2) 令令2Z=2z | zZ，则，则(2Z,+,)构成交换环和无零构成交换环和无零因子环因子环. 但不是含幺环和整环但不是含幺环和整环.(3) 设设n Z, n 2, 则则n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环无零因子环，也不是整环.(4) (Z6, , )构成环，它是交换环构成环，它是交换环, 含幺环含幺环, 但不

11、是无但不是无零因子环和整环零因子环和整环. 2 3=3 2=0，2和和3是零是零因子因子.实例实例近世代数15定理定理1 环环R是无零因子环当且仅当在是无零因子环当且仅当在R中乘法满足中乘法满足消去律，即消去律，即 如果如果a0，ab=ac，则，则b=c； 如果如果a0，ba=ca，则，则b=c.无零因子环无零因子环例例4 至少有一个非零元的无零因子有限环是体至少有一个非零元的无零因子有限环是体.提示：提示：注意注意“有限有限 ” 两个字两个字.近世代数16实例实例例例5 设设 p为素数，证明为素数，证明Zp是是(有限有限)域域.证证 p为素数，所以为素数，所以 |Zp|2. 易见易见Zp可交

12、换，单位元可交换，单位元是是1. 对于任意的对于任意的 i, jZp, i 0有有i j = 0 p 整除整除 ij p| j j =0所以所以 Zp 中无零因子中无零因子. 注意：注意：若若 p不为素数，则不为素数，则Zp肯定不是域肯定不是域.近世代数17域中除法及其性质域中除法及其性质 在域在域F中可以引入除法，如果中可以引入除法，如果a,b F， a 0，则则b被被a除记为除记为b/a，且，且b/a=a-1b. 有以下性质：有以下性质：近世代数18证证 a,bZ有有a b, abZ, 两个运算封闭两个运算封闭. 任取任取a,b,cZ (a b) c = (a+b 1) c = (a+b

13、1)+c 1 = a+b+c 2 a (b c) = a (b+c 1) = a+(b+c 1) 1 = a+b+c 2 (ab)c = (a+b ab)c = a+b+c (ab+ac+bc)+abc a(bc) = a(b+c bc) = a+b+c (ab+ac+bc)+abc 与可结合，可结合，1为为 的单位元的单位元. 2 a为为a关于关于 的逆元的逆元. Z关关于于 构成交换群构成交换群, 关于关于构成半群构成半群. 关于关于 满足分配律满足分配律. a(b c) = a(b+c 1) = 2a+b+c ab ac 1 ab) (ac) = 2a+b+c ab ac 1(Z, ,)

14、构成构成环环练习练习11. 在整数环中定义在整数环中定义 和和两个运算两个运算, a,bZ 有有 a b = a+b 1, ab = a+b ab. 证明证明(Z, ,)构成环构成环.近世代数192. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域, 如果不构成如果不构成, 说明理由说明理由. (1) A = a+bi | a,bQ , 其中其中i2= 1, 运算为复数加运算为复数加法和乘法法和乘法.(2) A= 2z+1 | zZ, 运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法(3) A= 2z | zZ, 运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法(4) A= x | x0 xZ, 运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法.(