数学分析求极限的方法

1、.专业.专注.word可编辑求极限的方法具体方法i.利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1：若极限limf（x）和limg（x）都存在，则函数f（x）g（x）,xX0xxf(x)g(x)当xx0时也存在目 lim f (x) g(x) x 0lim f(x) lim g(x)x xox Xolim f(x) g(x) x xolim f(x)x xolim g(x)x xo又若 lim g(x)x xoo,则上区在xg（x）xo时也存在，且有mxoxX /V ,T !利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如一、0等情况，都不能直接用四则运

2、算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。m2xm2Hx2,用两个重要的极限来求函数的极限sinx利用lim军”i来求极限limosinx1的扩展形为：x0,当xxo或x时，则有limxxo等六1或limgxxsingx例2:sinxlim-;xx解：令t=x.贝Usinx=sin(t)=sint,且当x时t故limxsinxsint/limov1一二2sinx1例3：求lixm丁一 2sin x2- x2lixml解：原式=limxI；xx1x1xIxIlim(1x1)x的另一种网(11)一.事实上，令1一.xx0.所以

3、elimx(11xx)lm(11)一例4：求lim(1x012x)x的极限解：原式=lim1(12x)2x(112x)2x利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限般常用的方法是换元法和配指数法3.利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即limx x0f(x) g(x)1.称 f (x)与 g(x)是 xx。时的等价无穷小量，记作f(x)g(x).(xx).定理2：设函数f(x),g(x),h(x)在u0(x0)内有定义，且有f(x)g(x).(xx) 若 lim f(x)g(x)x x0A, 则 l

4、im g(x)h(x) A x x0limx x0h(x)f(x)b,则 limx x0h(x)g(x)证明： lim g(x)h(x)x x0m% Hx XX g fxf(x)h(x) 1 A A可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5:的极限tanxsinx3sinxsinx解：由tanxsinx(1cosx).而sinxx,(x0);cosx2x3331cosx,(x0)；sinxxx,(x0)2故有limx 0tanx sin x3=sin x.1lixm cosxx -23x注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常

5、用sinx等价无分小事，如：由于lim1，故有sinxx,(x0).又由于arctan xllm11,故有 arctanx x , (x0).另注：在利用等价无穷小代换求极限时,应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部(x 0); sin x x , (x 0).而推出tanx sin x _ x xlimsinx3=晒出 o则得到的结果是错误的分则不能随意代换。如上式中，若因有tanxx,) 内有 f(x) h(x) g(x),4 .利迫敛性来求极限定理3：设iimf(x)=limg(x)=A,且在某uo(x),xx)xx)则limh(

6、x)=Axx)1.例6：求limx-的极限xox1解：1x1i-x.且lim(ix)i由迫敛性知xxolimx1=1x0x做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限5 .利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数f(x)在x0点连续，则limf(x)%)及若1而(x)axxoxxo且f(u)在点a连续，则limf(x)flim(x)xx)xxo1cosx例7：求lim e二:22arcsinx的极限解：由于lim1cos：1及函数fue4在u1处连续，故xm2arcsinx441cosx1c0sx1.2arcsin

7、x2_Xm2arcsinx2_4lxme=e=e6 .利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小(大)量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或一型的0不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。(1)对于0型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限0定理4：若函数f(x)和函数g(x)满足：m% Hx =Xg(x) =0。在点Xo的某空心邻域u(x。)内两者都可导，且g(x)0limU=A。(A可为实数

8、，也可为或)lxmg(x)nlXXf go A -注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。1cosx例8：求lim一二xtanx解：容易检验f(x)=1+cosx与g(x)=tan2x在x0的邻域里满足定理的条件和，又因f(x)_sinx_cos3x111m而Tlxm2tanxsec2x=-lxm/2故由洛比达法则求得，f(x)f(x)1lxm同=lxm而y=5在此类题目中，如果lim匚电仍是0型的不定式极限，只要有可能，我Umg(x)0当然,这是f(x)们可再次利用洛比达法则，即考察极限limf里是否存在lxmg(x)和g(x)在x。的某邻域内必须满足上述定理的条件1e

9、x(12x)W例9：求ijm2lxmln(1x2)解：利用ln(1x2)x2(x0),则得1原式=iixm e yJixm1ex (1 2x)2；=lxm(1232x)在利用洛比达法则求极限时,为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便可用适当的代换，如下例，x例10：求lxmm解：这是0型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作0适当的变换，计算上就会更方便些，故令tJx,当x0时有t0,于是有x_tUm1exilmn7lim(2)一型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限定理5：若函数f(x)和函数g(x)满足:limf(x)=limg(x)=xx0xxo在点

10、x的某空心邻域u(x)内两者都可导，且g(x)0limx x0f(x)g(x)二A, (A可为实数，也可为 或)。ntf(x)f(x)A贝UlimlimAximg(x)lximg(x)此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了例11 ：求limxIn x解：由定理4得,lnx(lnx)l-lim:limlim;0xxx(x)xx(x)不存在，并不能说明XX/.V /.Vf g注2:不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件卜面这个简单的极限xsinx/lim-=1xX虽然是一型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则：

11、x sin xlim = limxxxT就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论。(3)其它类型不定式极限不定式极限还有0,1,00,等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为。型和一型的不定式极限。.专业.专注.例12:求limxlnx解：这是一个1型的不定式极限，作何等变形xlnx = ,将它转化为一型的不定式极限，并用洛比达法则得到lim xlnx=limx 0x 0ln x-T=lim )= lim ( x) 0x 0x 012例 13：求 lim (cosx)1 x O1解：这是一个1型的不定式极限，作包等变形.word可编辑12 ln cosx其指数部分的极限li

12、mx 0,口 0ln cosx 是一 0型的不定式极限，可先求得1 I_lxm ”osx=l!mtan x2x从而得lim (cos x)i.2=e1x_(cosx)=ek ln sin x lim Tinrlimx 0k然后得到 lim (sinx)=二ek (k 0)k例14:求lim(sinx)11nx(k为常数)x0解：这是一个00型的不定式极限，按上例变形的方法，先求一型的极限，kcosxsin=limkcosxx-=k1lxmsinx当k=0时上面的结果仍成立。.专业.专注.1例15：求lim(x41x2产x11 X =11x解：这是一个0型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（

13、一型）1n(x.1x2)lim;tt=1imxinxx1于是有lim(x1x2)1nx=ex7.利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作例16:解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x4,我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取n=4)24x.x一/5、cosx=1-+o(x)x224xx/5、e=1-+o(x)28x24Vx.5、cosx-e2=-o(x)12x2145Wxo(x).cosxe2121因而求行1xm一不一二则一不一-8.利用微分中值定理和积分中值定理求极限2x2smx例17:求11

14、mx3的极限x sin x3x-xsinxxsinxq2222解：3；xxsinx由微分中值定理得，x sin x22xsin x1n 2( 介于x与sinx之间)Xsm3XXmoln21 cosx lxmofln2word可编辑xsinx22例18:求11mx3的极限2x2sinx2x2sinxxsinx解：3：-xxsinxx由微分中值定理得,xosinx21n2Xsinx(介于x与s1nx之间)X In s 2m:ln21 cosxiXm 二xln29,利用定积分求极限1lim (:例19:求n n 112n解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：limn不难看出，其中的和式是函数发f(x)在区间0,1上的一个积分和。(这里所取的是等分分割，XiLi工(1.2.n.),所nnnn以1dx1Jln(1x)In201x012 dxJ 1 xdxx 1当然，也可把J看作f(x)-在1,2上的