大学物理量子物理二

1、作业：P39015-16 15-17 15-21 15-25 15-27第十五章 量子物理（第二讲）回顾康普顿效应：h 0光子和电子的相对论能量和动量守恒h0+m0c2= h +mc2(1)(2)+mvcos(2a)(2b)vmnhnh00由(1)、(2a)、(2b)解得：(1) 光子确实有一定的质量、动量和能量；(15-13)表明：0与散射角有关，与散射物质无关。其中m0为 电子静止质量，康普顿效应说明：(2) 在微观粒子的相互作用过程中，严格 遵守相对论及能量和动量守恒定律能量和动量守恒定律。0hcoshsin0h2sin2200cmhh mv mvsinc=h /m0c 称为康普顿波长。

2、或：h0 h= mc2 m0c2(1)例3 已知X射线光子能量为0.6MeV，若在康普顿散射中散射光子的波长变化了20，试求反冲电子的动能。解： 散射前电子为静止自由电子则反冲电子的动能为： Ek入射光子与散射光子能量之差0kE000hch00hc散射光子波长：00002 . 12 . 002 . 1hchc所以，反冲电子动能：0kE0)2 . 111 (MeV1 . 0入射光子能量：散射光子能量：2 . 10例4 证明在康普顿散射实验中，反冲电子的动能K和入射光子的能量E0之间的关系为：)(00EK证： 入射光子：000hchE散射光子：hchE能量守恒，反冲电子动能为：EEK0则：000)

3、(EEEEK)(0证毕！154 氢原子的波尔理论实验装置：E实验结果：焦平面上出现若干条谱线，每一条谱线对应一确定的波长。同一元素的光谱中各谱线的波长确定不变。线状光谱氢原子光谱：656.28 nm，486.13 nm， 434.05 nm，410.17 nm， 364.57nm氦原子光谱：667.8 nm，587.6 nm，501.6 nm，471.3 nm，388.9nm。不同元素的原子光谱各有特征，光谱分布具有确定的规律。H2213一氢原子光谱最先发现H=656.28nm, H=486.13nm, H=434.05nm, H=410.17nm1885年，巴耳末：B=364.56 nm(1

4、5-15)n=3，H； n=4，H ； n=5， H ； n=6，H 巴耳末公式据此发现第五条(n=7)，第六条(n=8)，巴耳末线系又称为可见光区的谱线系。1890年， 里德堡：波数：或(n=3,4,5,6,)(15-16)里德堡恒量n较小时,谱线间隔较大； n较大时，谱线间隔较小。422nnB12241nnB)121(422nB)121(22nRBR4=1.0967758107m-1在紫外区：(n=2,3,4,5,)赖曼系(1914)max=121.6 nmmin=91.2 nm在红外区：帕邢系(1908)（n=4,5,6,）max=1876 nmmin=822 nm布喇开系(1922)（

5、n=5,6,7,）max=4053 nmmin=1459 nm普芳德系(1924)（n=6,7,8）上述规律可概括为:(n=k+1,k+2,) (15-17)广义巴耳末公式汉弗莱系(1953)（n=7,8,9）)111(22nR)131(22nR)141(22nR)151(22nR)161(22nR)11(22nkR二里兹并合原理参变量k, n为正整数 (nk)；T(k)、T(n) 称为光谱项。对氢原子光谱： T(k)=R/k2， T(n) =R/n2对碱金属光谱：T(k)=R/(k+)2，T(n) =R/(n+)2三. 原子光谱的实验规律：(1) 氢原子光谱为线状，彼此分立；(2) 谱线构成

6、线系，光谱呈现有规律的组；)()(nTkT(3) 波数为光谱项之差(一个k值对应一个谱线系)。)()(nTkT四. 玻尔(N.Bohr)的氢原子理论（1913）（一）原子的核型结构1J.J. Thomson的原子模型： J.J. Thomson1897年发现电子, 为此获1906年诺贝尔奖 。他于1904年提出了第一个原子模型：西瓜模型(面包+葡萄干)模型。原子为一个弹性胶冻状球，半径10-10m，正电荷在其中均匀分布，而负电子嵌于其上。 粒子是带两个正电荷的氦原子。汤姆逊的学生卢瑟福用 粒子轰击原子核时，少数 粒子出现了大角度散射甚至反向回弹。2024reFreEp024reEk024212

7、卢瑟福的核型结构：（1911）Ze“行星”模型原子核模型的经典解释：rvmre22024 E=EP+EKre02421mrev024电子绕行速度：(1)辐射时E，r ，电子最终要落到原子核上。 r1010m，原子核1015m(2) 原子辐射频率电子运动频率，则r，f ，光谱应该连续。电磁波频率：rvf230412mre（二）玻尔理论的基本假设1稳定态假设： 原子系统只存在一系列不连续的能量状态，处于这些状态的原子中的电子，只能在一定的轨道上绕核作圆周运动，而不辐射能量。这些能量状态称为原子系统的稳定态(简称定态)；其对应的能量分别取不连续的量值：E1，E2 ， E3 (E1 E2Ek)。辐射光

8、子能量：h =EnEk与里德堡公式比较，得：=1.0973731107m1能级图及各谱线系的形成：n=1n=2n=3n=4n=5赖曼系赖曼系巴耳末系巴耳末系帕邢系帕邢系)8(120242hmenEn1c)(1knEEhc)11(8222034nkchmechmeR20348例1氢原子处于电离能为0.85 eV的一个定态，它由这一定态跃迁到激发能为10.2 eV的另一定态。 (1) 求氢原子跃迁时发射光子的能量；(2) 把这种跃迁表示在氢原子的能级图上，并标明适当的量子数。解：电离能： 把原子中的电子从某能级En移到“无穷远”所需的能量E电离 = EEnE=0E电离 = En即：某个能态的电离能

9、，等于该能态能量的负值。激发能： 原子由基态跃迁到某激发态Ek所需的能量。E激发=Ek E1(1) 初态 En= E电离= 0.85 eV， （15-22） n=4末态 Ek =E激发+ E1= 3.4eVk=2h = E4E2=2.55eV(H=486.13nm)(2)k=2n=4(15-22)eVnEn26 .13例2(1) 若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，发出的可见光谱线的条数是 ?n=2n=4(2) 在氢原子光谱的巴耳末线系中，有一频率为6.151014Hz的谱线，它是氢原子从能级En= eV跃迁到能级Ek= eV而发出的。光子能量h =6.631034

10、6.151014J=2.55eVEn Ek =2.55eV (3) 具有下列哪一能量的光子能被处在n=2的能级的氢原子吸收？ (A) 1.51eV, (B) 1.89eV, （C）2.16eV, (D) 2.40eV解： n=2 ，E2= 3.40eV,E3= 1.51eV,E4= 0.85eV,E5= 0.54eVE3E2=1.89eV,E4E2=2.65eV,E5E2=2.86eV 2 Ek = 3.4eV En = 0.85eVeVnEn26 .13五玻尔理论的局限性和历史作用玻尔的贡献：(1) 正确地指出了原子能级的存在。即：原子的能量是量子化的，只能取某些分立值。(2) 正确地提出了

11、定态的概念。即：处于某一能态上的原子，并不辐射电磁波，只有当原子从一个能态Ek跃迁到另一能态En时，才发射光子，光子的频率由 h=Ek En 确定。此理论对各种原子都是普遍正确的！(3) 提出了动量矩量子化的正确结论。 波尔，丹麦人，博士毕业到剑桥，最初希望得到汤姆逊的指点，后转到卢瑟福实验室。1920年创建理论物理研究所（波尔研究所）建立了哥本哈根学派，影响了一代物理学家。156 实物粒子的波粒二象性一德布罗意波1物质波假说德布罗意假设： 不仅辐射具有波粒二象性，一切实物粒子 也具有波粒二象性。 他认为：一个具有确定p和确定E的粒子，相当于频率为和波长为的波。如同光子与光波的关系一样。E=m

12、c2=h220)/(1cVhcm(15-24)p = mVVmcVh02)/(1(15-25)德布罗意公式即：实物粒子的运动，既可以用动量、能量描述，也可以用波长、频率描述。若若 Vc，1)/(12cV公式简化公式简化(15-24a)(15-25b)实物粒子：hEhmc2hphmVhhcm20Vmh0例1分别计算电子经加速电压U100V和U=106V的电场加速后的德布罗意波长。设电子的初速为零。解：Uemh02把 h,e,m0的值代入，得：U10102 .12mU22. 1nm若 U=100伏 0.12 nm(1)Ek=eU=100eV=1.61017JE0= m0 c2 = 9.110319

13、1016 8.21014 J =0.51MeV0EEk视为经典粒子=8.74104nm(2)Ek=eU=106 eV=1.61013J E0= 8.21014 J 要按相对论处理20222EcpEkEEE0)(100EEEEcpph)2(120cmEEckkmVhVmh0例2令 ，其中c称为电子的康普顿波长，me为电子静止质量，c为真空中光速，h为普朗克常量。当电子的动能等于它的静止能量时，求此时电子的德布罗意波长。 cmhec/ph解：22cmmcEek2cme222cmmcEe而根据相对论动量与能量关系：20222EcpE2021EEcpcme3cmhe33cph按题意：2电子衍射实验证明

14、：(1) 电子具有波动性；实验装置：GU很象x射线在晶面上的衍射布拉格公式：2dsin = k (11-36)镍晶体原子间距为l = 0.215nmU0I3U1U2U(k=1) 1927年，美国物理学家戴维逊、革末因发现电子衍射而获1937年物理学诺贝尔奖。是入射电子束对晶面的掠射角d是晶面间距（晶格常数）(2) 实验测出的波长与理论计算的波长相一致。实测实测： U=54V时将l、代入(15-26)式，得： 第一级衍射极大实测第一个峰值： =50物质波的假说是完全正确的！ 经电势差U加速后，电子垂直投射到镍单晶的水平面上，测出在特定方向有散射极大值。d=lcos晶面间距与原子间距关系为：代入布

15、拉格公式：2dsin =k 有: 2lcos sin = k即：lsin = k (15-26)则：Uemh02= 0.167nm215. 0167. 0arcsin=50.9U22. 1nmeUVm2021Vmh0 如图，有： +2 晶面晶面ld 晶体水平面晶体水平面 1927年英国物理学家G.P. Thomson 观察到与X射线相仿的电子透过多晶波片的衍射图像，与戴维逊分享了1937年诺贝尔物理学奖。 1961年，约恩孙制出长为50m，宽为0.3 m ，缝间距为1.0 m的多缝。用50kV电压加速电子，直接做了电子单缝、双缝等衍射、干涉实验，得到电子单缝、双缝等衍射图样。 实验证明，其它实

16、物粒子也有衍射现象，都具有波动性。波动性是实物粒子本身固有的属性。更多实验验证： 其父J.J.Thomson曾经因为1897年发现电子，而获1906年诺贝尔物理学奖。实验步骤：二、物质波的统计解释1电子双缝衍射实验实验装置：ES1S2第一步，关S2、开S1；P1第二步：关S1、开S2；P2第三步：S1、S2全开。P12结果表明：电子有波动性，且满足波的迭加原理。 波动性是每个电子本身固有的属性，干涉图样是电子自身干涉的结果。2玻恩的统计解释 电子是不可分割的，一个电子一次只能出现在一个地方。电子流出现峰值处，电子出现的几率大；而不在峰值处，电子出现的几率小。几率几率波： 描述粒子在空间某一点出

17、现的几率。157 不确定关系（Uncertaining principle)理想实验单能电子束单能电子束电子的动量 p，缝宽x。x电子在X方向的坐标误差不准确量px电子动量的最大误差 不准确量px= psinpx x =h经严格证明： (15-27)或：px x 海森堡不确定关系此式表明：x，px；px，x。微观粒子的坐标和动量不可能同时准确确定。x=0，px；px=0，x。在y、z方向也有同样关系：py y pz z 动量与位置的这种不确定关系对一切微观粒子普遍成立！ xsinhxxh2hxpxxp=h/ xy对第一级暗纹：类似位置和动量的不确定关系，能量与时间上也存在不确定关系。时间有一个

18、不确定量t，能量也有一个不确定量E满足：2mcE 2142022)(cmcpdppccmcpdE221420222)(21Edppc2mpdpvdp(p = mv)即：pvE两边同乘t有：ptvtE考虑X方向，则：xtvpxtE 产生不确定性的原因：(1) 描述不完善(2) 真的测不准E t 例1.试比较电子和质量为10g的子弹在确定它们位置时的不准确量。假定它们都在x方向以200m/s的速度运动，速度的测量误差为0.01 。解：电子：px =0.01 mv =1.81032kg.m.s1=5.9103m =5.9mm对电子不能用经典力学方法处理。子弹：px =0.01 mv =2.0104k

19、g.m.s1=5.21031 m对子弹用经典力学来处理是足够准确的！故：测不准关系对宏观物体是不重要的！h的作用： 其数量级规定了牛顿力学和量子力学的适用范围。 在某些问题中，若h值相对可忽略，则经典理论适用于该问题。 若h值不可忽略，则必须用量子力学来处理。凡是h 起作用的地方,必存在量子现象,要用量子力学处理；凡是h不起作用的地方,可视为宏观现象,要用经典力学处理。xpxxpxxpx例2一束动量为p的电子，通过缝宽为a的狭缝，在距离为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度d 等于多少？(A) 2a2/R (B) 2ha/p(C) 2ha/(Rp) (D) 2hR/(ap)asin0=

20、 hp= tg0sin0 d =2hR/(ap)例3. 不确定关系式px x 表示在x方向上：（A）粒子位置不能确定；（B）粒子动量不能确定；（C）粒子位置和动量都不能确定；（D）粒子位置和动量不能同时确定。 Rd 20adR15-8 量子力学简介波函数 薛定谔方程解方程，得到波函数。一波函数),(tr1 的表达式),(tr机械波的波函数： y(x,t)=Acos2 (tx/)用复指数表示：y(x,t)=Aei2 (tx/)(15-29)设一束沿x方向运动、具有单一能量的自由粒子束。E=h代入(15-29)， y(x,t) (x,t) A 0(x,t)= 0 ei2(tx/)(0pxEtie在

21、三维空间，粒子沿 向运动r)(0),(rpEtietr(15-30)hp hE2Epph22波函数(x,t)的物理意义经典力学：vramFvr,00由已知决定论。量子力学：只能预言粒子的可能行为 非决定论。波函数的物理意义：波恩： 在空间很小区域内，xx+dx,yy+dy,zz+dz ，可认为不变，粒子在该区域出现的几率，即正比于2，也正比于体积元dV=dxdydz的大小。粒子在dV内出现的几率J=2dV =(x,y,z)2 dxdydz2=* (=J/dV)： 粒子在任一时刻t，出现在空间某点(x,y,z)处单位体积内的几率， 又称为几率密度。即：波函数本身不表示什么意思，其模的平方2表示粒

22、子在空间出现的几率密度。波函数几率波。3波函数必须满足的条件(1) 归一化条件2dxdydz=1 (15-32) 归一化条件(2) 标准化条件单值：单值：在某时刻t，粒子出现在某点的几率是唯一的。2唯一 单值有限：有限：21有限连续：连续：空间各点都可能出现粒子， 几率分布连续， 连续。mpxm222222二薛定谔方程在保守场中运动的粒子 (vc)E=Ek + Ep设粒子沿 x 轴运动)(0),(pxEtietx对x求二阶偏导数2222px(15-34)对t求一阶偏导数Eit(15-35)(1)Eti(2)(1)+ (2)pEtixm2222tiExmp2222(15-36)薛定谔方程对自由粒子： Ep =0tixm2222根据初始条件和边界条件 (x,t) (x,t)2已知m、 Ep 薛定谔方程221mvEkmp22pEmp22m22用 遍乘 (15-34)，用i遍乘 (15-35)定态问题： Ep(x)不随 t 变化。(x,t) = (x)f(t)代入薛定谔方程：tiExmp2222ttfxitfxEtfxxmpd)(d)()()()(d)(d2222两边同除(x,t)=(x)f(t)ttftfixExxxmpd)(d)(1)(d)(d)(12222ExExxxmp)(d)(d)(122220)()(2d)(d222xEEmxxp(15-37)定态薛定谔方程Ett