复变函数-第一章-复数与复变函数

1、1主要内容主要内容1 1、复数及其几何表示、复数及其几何表示2 2、复数运算、复数运算5 5、复变函数的概念、复变函数的概念6 6、复变函数的极限、连续性、复变函数的极限、连续性4 4、区域与曲线、区域与曲线2注注: :(1)(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数；两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)(3)实部为实部为0 0，虚部不为，虚部不为0 0，为纯虚数。，为纯虚数。1 复数及其几何表示,.zxiyx y形如的表达式，称为复数，其中为实数一、复数的概念一、复数的概念其中其中

2、.12 i);Re( zx 实部实部);Im( zy 虚部虚部. ziyxiyx的的共共轭轭复复数数，记记为为为为 共轭共轭3有序实数对有序实数对(x,y)平面上一点平面上一点P实轴、实轴、 虚轴、复平面虚轴、复平面Z Z 平面平面1.1.复平面复平面二、复数的几种常见表示法二、复数的几种常见表示法xyOzxiy复数复数 zxiy代数表代数表示示点表示点表示4OxyXYqPrz=x+iyzxiy()P xy点，OP 2.2.复数的向量表示复数的向量表示模模 ： 辐角辐角：rq几何表示几何表示 5:.A rg022| z |= | O P |= r =x+ y,z(z)记记 作作模模 : :辐辐

3、 角角q q0tan(Arg )，时时yzz =.x显然显然为任意整数为任意整数. 0Argz = =+ 2k, kq q63、 复数的三角表示复数的三角表示cossinxryrqq根据根据上式称为复数的上式称为复数的三角表示三角表示.xiyxzyqrOxy可以得到可以得到).sin(cosqqirz 4、 复数的指数表示复数的指数表示由欧拉公式由欧拉公式qqqsincosiei 可以得到复数的指数表示式可以得到复数的指数表示式:.qirez 7 加、减加、减：);()(212121yyixxzz 乘乘 法法：);()(1221212121yxyxiyyxxzz 注注:.)(22yxiyxiy

4、xzz 则则设设,222111iyxziyxz 除法：除法：).0(2222221122222212121 zyxyxyxiyxyyxxzzz三、复数的运算三、复数的运算8 容易证明容易证明:复数的运算满足分配律、交换复数的运算满足分配律、交换律、结合律律、结合律. 另外，还经常用到以下性质：另外，还经常用到以下性质：;)1(2121zzzz ;)2(2121zzzz );0()()3(22121 zzzzzRe( )Im( )z+ z = 2z , z-z = 2iz .(4)(4)zz )5(2|)6(zz z 9四、四、 复数的乘幂与方根运算复数的乘幂与方根运算1、乘积与商、乘积与商,)

5、sin(cos,)sin(cos212222211111qqqqqqiierirzerirz 设设;),sin()cos()sin)(cossin(cos)(212121212211212121qqqqqqqqqq ierrirriirrzz则则因此因此1 21 21 212Arg()Arg()Arg()| z z |= rr ,z z=z+z注意多值性注意多值性10)()()(2121zArgzArgzzArgxyO1z2z21zz几何解释几何解释11除法运算除法运算10z2211=zzzz2211=zzzz2211Arg = Arg + Arg zzzz2211=,zzzz2211Arg

6、= Arg -Arg zzzz21(-)2211=i zrezr或者或者集合等式集合等式122 2、幂与根幂与根(2.1)定义定义z的的n次幂：次幂：则有则有- 棣莫弗公式棣莫弗公式.(2.2) 定义定义z的的n次根：次根： 若有若有 w n=z,则称则称w为为z的的n次根，记为次根，记为 .nz.1nnzz 定义定义).sin(cosqqninrznn .sincos)sin(cosqqqqninin . 个个nnzzzz 若若r=1,则：则：13如何求如何求z的的n次根呢？次根呢？,inwewz 设设由由,qiinnree 有有).(2,为为整整数数则则kknrnq 2nn=，+ kinw

7、zre即即)2sin2(cosnkinkrn q q q q k( ( 为为整整数数).).14当当k0，1，2，n1时，得到时，得到n个相异的根个相异的根：10(cossin)nwrinnqqqq1122(cossin)nwrinnqqqq112121()()(cossin)nnnnwrinnq q q q 1244(cossin)nwrinnqqqq15w48122442 cossin44 (= 0,1,2,3)k=+ i+ k+ k=(+ i)k（见见图图）)2sin2(cosnkinkrwnkqqxyo0w1w2w3w822i 124rq例例1.1.16).3 , 2 , 1 , 0(

8、,42sin42cos14kkiksincos1:i解4-1例例2.2. 求求共共4个值个值, 具体结果参看教材具体结果参看教材.17 习题1.2 1.3182 2 复变函数复变函数一、区域与曲线一、区域与曲线1 1、几个基本概念、几个基本概念0()0U z , = z| z - z .0z 00(, ) =|00Uzz| z - z | 满足以上条件的所有点满足以上条件的所有点z所组成的集合所组成的集合称为称为z0的一个邻域的一个邻域.190z (2) 设设G为一平面点集为一平面点集, z0为为G中一点中一点,若存在若存在z0的一个邻域的一个邻域,该邻域内该邻域内的所有点都属于的所有点都属于

9、G, 则称则称 z0为为G的的内点内点.20D-区域区域0z 内点内点外点外点(4) 边界边界 D的所有边界点组成的所有边界点组成 D的边界的边界. .1z2zP(5) 开集开集 若若D内的每一点都是内的每一点都是 内点，则称内点，则称D是开集是开集.以下设以下设D为一平面点集为一平面点集21D-区域区域0z 内点内点外点外点1z2zPD中任意两点可用一条全在中任意两点可用一条全在D中的曲线连接起来。中的曲线连接起来。(6) 连通连通(7) 区域区域连通的开集连通的开集.区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域, 或或闭域闭域.D22(8) 有界区域有界区域如果存在正数如果存

10、在正数M，使得对于一切，使得对于一切D中的点中的点z，有有zM,则称则称 D为有界区域为有界区域,否则称为无界区域。否则称为无界区域。例如例如102| -|Rz zRRzz|0有界有界无界无界23(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo24 习题1.5253. 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质(Jordan定理定理) 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域D ，如果如果D内的任何简单闭曲