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文档简介

1、 第三节 参数连续的齐次马尔可夫链在实际应用中, 马尔可夫链的参数通常表示时间,参数集通常取非负实数集.本节就来讨论这类参数连续的马尔可夫链.一. 转移概率函数 定义5 设是参数连续的马尔可夫链,对于任意非负实数和任意正实数,以及链的任意两个状态,条件概率 称为马尔可夫链在时刻由状态出发,经过时间间隔,在时刻到达状态的转移概率.称为转移时间.一般来说, 既依赖于出发时刻,又依赖于转移时间.特殊地,如果不依赖于出发时刻,仅依赖于转移时间,则称马尔可夫链具有齐次性或时齐性.此时可记,(13.15)就是说,对于参数连续的齐次马尔可夫链,从状态转移到状态的转移概率仅仅依赖于完成状态转移的转移时间,而与

2、出发时刻无关.是转移时间的函数.一般地, 参数连续的齐次马尔可夫链的转移概率函数具有如下性质:性质1 当时, .当时,规定,(13.16)称为克罗纳克(Kronecker)符号.表示:在任何瞬时,一个状态留在原位的概率为1,而跳离原位的概率为0.性质2 , 是状态空间.性质3 满足切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 , 证 由转移概率的定义,条件概率,概率的可加性,马氏性和齐次性,得 .性质4 (实际上是规定) , (13.18)式(13.18)表明:转移概率函数在处右连续(假设条件).当充分小时,齐次马尔可夫链的状态几乎滞留原位,几乎不发生转移.二. 转移速率矩阵定义6 如果齐次马尔可夫链的转移概率函

3、数在的右导数存在,即存在,(13.19) 则称导数值为由状态转移到状态的转移速率,或称转移密度.不访设状态空间为非负整数集,以为元素的矩阵 , (13.20)称为转移速率矩阵,或称转移密度矩阵.简称阵. 转移速率具有两个性质:(1) ; ;(2)当状态空间为有限集时,满足, (13.21)性质(1)可由式(13.19)直接得到.性质(2)的证明如下: 由转移概率函数的性质2得,在等式两边除以,再令求极限,其中 , , 于是得到.式(13.21)表明:在阵中,每行元素之和均为零.必须指出,当状态空间为无限集时,式(13.21)不一定成立.一般有.事实上 ,对任有限和,在此不等式两边除以,再令求极限,得任有限和,从而.三、柯尔莫哥洛夫方程由于篇幅所限，我们不加证明地引入柯尔莫哥洛夫前进方程和后退方程。定理三 设是参数连续的齐次马尔可夫链，转移概率函数，转移速率矩阵，（1） 若对状态，则转移概率函数满足微分方程， （13.22）称为柯尔莫哥洛夫前进方程。为状态空间。（2） 若对状态，则转移概率函数满足微分方程， （13.23）称为柯尔莫哥洛夫后退方程。分别以为元素，以为元素作矩阵，则柯尔莫哥洛夫前进方程、后退方程写成矩阵微分方程形式分别为，（13.24），（13.25）四、瞬时概率参数连续的齐次马尔可夫链的一维概率分布，称为瞬时概率，又称为绝对概率。（）称为初始概率

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