解三角形的知识点和题型汇总及练习

1、学习必备精品知识点解三角形的知识点和题型汇总及练习一、知识必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中， C 90°， ABc， AC b，BC a。（ 1）三边之间的关系： a2 b2c2。（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系： A B90°；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sin A cos B a ， cos A sin B b ， tan A a 。ccb2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中， A、 B、 C为其内角， a、 b、 c 分别表示 A、 B、 C的对边。（ 1）三角形内角和： A BC 。（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所

2、对角的正弦的比相等abc2R （ R为外接圆半径）sin Asin Bsin C（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c22bccos A；b2 c2 a2 2cacos B；c2a2b2 2abcos C。3 三角形的面积公式：（ 1） S 1 aha 1 bhb 1 chc（ ha、hb、 hc 分别表示 a、 b、c 上的高）；222（ 2） S 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B；2224解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做

3、解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（ 1）角的变换因为在 ABC 中， A+B+C= ，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)= cosC； tan(A+B)= ta

4、nC 。学习必备精品知识点sin ABcosC ,cos ABsin C ；2222（ 2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6求解三角形应用题的一般步骤：（ 1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（ 2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（ 3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（ 4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1（ 1）在ABC 中，已知 A30 ,B75 , a 40cm ，解三角形；（ 2）在ABC 中，已知 a 20cm， b20 2 cm， A 30 ，解三角形。题型 2

5、：三角形面积例 2在ABC 中， sin A cos A2， AC2， AB3，求 tan A 的值和ABC 的面积。2解法一：先解三角方程，求出角A 的值。sin Acos A2 cos(A45 )2 ,2cos(A45 )1 .2又 0A 180,A4560,A105.tan Atan(4560 )1323 ,13sinAsin105sin(4560 )sin45 cos60 cos45 sin602 6 .4S ABC1 ACAB sin A12326 3 (26 ) 。2244解法二：由 sin AcosA 计算它的对偶关系式sin Acos A 的值。sin Acos A22学习必备

6、精品知识点(sin Acos A)2122sin Acos A120 A180 ,sin A 0,cos A 0.1)另解 (sin 2 A2(sin Acos A) 212 sin A cos A3,2sin Acos A62+得 sin A26 。4得 cosA26 。4sin A26423 。从而 tan A42 6cosA题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC 中， A、 B、C 所对的边分别是a 、 b 、 c ，已知 a2b2A.B.2D.34C.423题型 4：正、余弦定理判断三角形形状例 4在 ABC中，若 2cos Bsin A sinC ，则 ABC的形状一定

7、是（A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形答案： C解析： 2sin Acos B sin C =sin （ A B）=sinAcosB+cosAsinB sin （ A B） 0， A B题型 5：三角形中求值问题c22ab ，则 C()）例 5 ABC 的三个内角为A、B、 C ，求当 A 为何值时， cos A2cos B C 取得最大值，并求出这个最大值。2B+C AB+CA解析：由 A+B+C=，得 2= 2 2，所以有 cos 2=sin 2。B+CA2AAA123cosA+2cos2=cosA+2sin2 =1 2sin2 + 2sin2= 2(sin

8、 2 2) + 2；A1B+C3当 sin 2 =2，即 A= 3 时 , cosA+2cos2 取得最大值为 2。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型 6：正余弦定理的实际应用学习必备精品知识点例 6如图， A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B点和D 点的仰角分别为750， 300，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为600， AC=0.1km。试探究图中B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D 的距离（计算结果精确到0.01km，21.414

9、，62.449 ）解: 在 ABC中， DAC=30°, ADC=60° DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180° 60° 60°=60°，故 CB是 CAD底边 AD的中垂线，所以 BD=BA，ABACACsin603 26在 ABC中， sinBCAsin ABC,即AB=sin 1520,3260.33km。故 B，D 的距离约为 0.33km 。因此， BD=20三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（ 1）已知两角和一边（如A、B、 C），由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、 b；（ 2）已知

10、两边和夹角（如 a、b、 c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角；（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a、 、 ），应用正弦定理求，由+ += 求，再由正弦定理或余弦定b ABA B CC理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（ 4）已知三边a、 b、 c，应余弦定理求A、 B，再由A+B+C= ，求角C。2三角学中的射影定理：在ABC 中， ba cosCc cos A ，3两内角与其正弦值：在ABC 中，ABsin Asin B，4解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解

11、”。三、课后训练1. 若 ABC 的三个内角满足sin A :sin B :sin C 5:11:13 ，则 ABC（）（ A）一定是锐角三角形 .（ B）一定是直角三角形 .（ C）一定是钝角三角形 .(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由 sin A :sin B :sin C5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:135 2112132由余弦定理得 cos c5110 ，所以角 C 为钝角22. 在 ABC中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 a2b23bc ， sin C2 3 sin B ，则 A=( )（A） 300（ B） 600（C） 1

12、200（ D） 1500【答案】 A学习必备精品知识点c2 3b【解析】c 2 3b ，2R2Rb2 +c2 -a23bcc23bc 2 3bc30所以 cosA=2bc2bc=2，所以 A=302bc3. 在 ABC 中， a=15,b=10,A=60 °，则 cosB =A22B22C 6D63333【答案】 Dab1510【解析】根据正弦定理可得sin Asin Bsin60sin B解得 sinB3a ，则 BA，故 B 为锐角，又因为 b3所以 cosB1sin 2 B6，故 D正确.34.在 ABC中，角 A， B， C 所对的边分别为a ， b， c，若 a2， b=2

13、， sinB+cosB=2 ，则角 A 的大小为（）AB C4D2365.在 ABC 中，角 A、 B、C 所对应的边分别为a、 b、 c，若角 2B=A+C，且 a 1,b3,则S ABC =（）A2B3C3D 226.在 ABC 中，若 cos Acos Bsin 2 C ，则ABC是 （）2A等边三角形B等腰三角形C 锐角三角形D直角三角形7.在ABC中,已知a3, b4, c2,则 c cosBb cosC( )A2B3C4D58.若 (a+b+c)(b+c a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 那么 ABC 是（）A 直角三角形B等边三角形C等腰三角形D 等腰直角三角形9

14、、设 A 、 B、 C 为三角形的三内角,且方程 (sinB sinA)x 2 +(sinA sinC)x +(sinC sinB)=0 有等根，那么角B（）A B>60 °BB60°CB<60 °DB 60°10、D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a, 从 C,D 两点测得A 点仰角分别是 , ( <),则 A 点离地面的高度AB 等于（）Aa sinsina sinsinA )B )sin(cos(a sincosa cossinC)D)sin(cos(BDC学习必备精品知识点11. 在 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,

15、B, C 的对边 , 且 cos Bb, 则角 B 的大小为7cosC2ac12.A 为, 则ABC是 _三角形 .ABC 的一个内角 ,且 sinA+cosA=11213、在ABC 中，若 S ABC =(a2+b2 c2 ),那么角 C=_.43114、在ABC 中， a =5,b = 4,cos(A B)=,则 cosC=_.3215. 在锐角ABC 中， BC1, B2A, 则 AC的值等于，AC的取值范围为.cos A解析设A, B 2 .由正弦定理得ACBC ,AC1AC2.sin 2sin2coscos由锐角ABC得0290045 ，又 01803903060 ，故 30452c

16、os3 ，22AC2cos(2,3).16、在ABC 中 ,求分别满足下列条件的三角形形状： B=60 ° ,b2=ac； b2tanA=a 2tanB； sinC=sin Asin B (a2 b2)sin(A+B)=(a 2+b2)sin(A B).cos Acos B.分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状由余弦定理cos60a 2c2b 2a 2c 2b21a 2c2acac(ac) 20 ，2ac2ac2a c . 由 a=c 及 B=60 °可知 ABC 为等边三角形 .由 b 2 tan Aa 2 tan Bb2 sin Aa 2 sin

17、 Bcos Acos Bsin B cos Ab2sin 2Bsin A cos Asin B cos B,sin 2Asin 2B, A=B 或 A+B=90 osin Acos Ba2sin 2AABC为 等腰 或 Rt .sin Csin Asin B ，由 正弦 定理： c(cos A cos B)ab, 再 由余 弦定 理：cos Acos Ba 2b2c 2ca 2c2b 2ab(ab)( c2a22)0,c2a22,ABC为 Rt.由条件变形为c2bc2acbbsin(AB)a2b2sin( AB)sin( AB)a 2,sin A cosBsin 2Asin 2 Asin 2B

18、,AB或AB 90.sin(AB)a2b2sin( AB)sin( AB)b 2cos A sin Bsin 2B ABC 是等腰或 Rt .17. 在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a, b, c 且满足 c sin Aa cosC.（ I ）求角 C 的大小；（ II ）求3 sin Acos(BC ) 的最大值，并求取得最大值时角A, B 的大小学习必备精品知识点解析：（ I ）由正弦定理得sin C sin Asin AcosC. 因为 0A,所以 sin A0.从而 sin CcosC.又 cosC0, 所以 tan C1,则 C4（II ）3sin Acos( BC )3 sin A cos(A)=3sin Acos A2sin( A6)又 0A3,6A11，4612所以 A62即A时 2sin( A) 取最大值 236综上所述，3 sin Acos(BC ) 的最大值为2，此时 A, B5 .31218. 在 ABC 中， a, b, c 分别为内角 A, B,C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2 cb)sin C.（）求 A 的大小；（）求 sin BsinC 的最大值 .解：（）由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c即 a2b2c2bc由余弦定理得a