高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第7期

1、蜜蜂周报 第 7 期蜜 蜂 周 报第 7 期（2020 年 4 月 27 日-5 月 3 日）蜜蜂周报 第 7 期关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里记忆，便于你解题时进行检索，确定解题方法。沃兹基硕德蜜蜂周报 第 7 期2020 年第 7 期目录1.创新无止境我很喜欢这个

2、抛物线小题.12.三点共线时一定最大？（续） .33. 一个平几味道很浓的解三角形问题（续） .74.听说你们已经玩够了阿氏圆？那看看这个。.105.6 个向量一出戏这题难不难你说 .146.三圆成“鼠”，换汤不换药 .177.无变则无极看一道错题 .188.把几何意义进行到底一道 2014 高考小题的解法.199.一定两动的向量问题.2110.你我之间只谈距离两个函数之间的事.2211.不翻折你就不知道啥叫立体几何！ .2612.一个小学三年级数学题和高中知识的联系 .2713.又见等和线，初级应用一题 .2914.转化的路，也可能是绕远的路一个立体几何问题.2915.又一个和三角形有关的向

3、量问题 .3216. 一种命题的方法利用临界状态（续）.3517.核心素养这样考李尚志教授出的一道题.39蜜蜂周报 第 7 期1.创新无止境我很喜欢这个抛物线小题答案55这题编的很不错，让我惊讶的是没有添加其他点线之类的要素，仅凭抛物线本身的元素构造而成，条件简洁，方法还比较多，是个好题，甚至有高考题的风格！比较简单的解法是利用几何意义：搜题软件解答，是代数方法蜜蜂周报 第六期 1 / 46蜜蜂周报 第 7 期蜜蜂周报 第六期 2 / 46蜜蜂周报 第 7 期类似题2.三点共线时一定最大？（续）第六期 18 题蜜蜂周报 第六期 3 / 46蜜蜂周报 第 7 期（计算的根据是 B,P,O 共线，

4、则 AP 是切线）这样计算的 QD 的最大值是 412 + ； 2蜜蜂周报 第六期 4 / 46蜜蜂周报 第 7 期正确答案是5 52蜜蜂周报 第六期 5 / 46蜜蜂周报 第 7 期同样都是根据“三点共线”，一个结论是对的，另一个是错的。当然，这两个情况下，三个点是不一样的。到现在我还是没搞清楚。蜜蜂周报 第六期 6 / 46蜜蜂周报 第 7 期4 月 29 日，又看到一个利用三点共线解决的抛物线小题，也放在此处了。3. 一个平几味道很浓的解三角形问题（续）这个题在第六期的第六题：蜜蜂周报 第六期 7 / 46蜜蜂周报 第 7 期当时没有平面几何方法，第六期发布后，引发了大家的关注，很多老师

5、提供了非常非常精彩的解法，包括坐标法，几何方法，向量法等。我觉得最神奇的是下面的向量法。这些数据完美地集合在一起，一步到位得到了目标！蜜蜂周报 第六期 8 / 46蜜蜂周报 第 7 期当然还有我们期待的平面几何方法：平几方法二延长 CA 到 F，使 AF=AB,则 FE=EC，DE 是三角形 FBC 的中位线，则 ED=0.5FB，而AFB 是 120位顶角的等腰三角形，FB=,ED=蜜蜂周报 第六期 9 / 46蜜蜂周报 第 7 期我看到“平分周长”，就来了兴趣，初步搜索了下，平分周长，平分面积，这是个很大的领域，暂时先不涉足了。杨志明老师的公众号对这个题连续做了几期，我不再贴图了，大家可以

6、去看：一 道 解 三 角 形 求 值 问 题 的 解 法 探 究bd4b54af5e5d47388adb2fa9755&chksm=cf6853dff81fdac9d2d2c3b9112fdee1cf6be61601d05e03e121bd884ed5a163e89345002ed2&mpshare=1&scene=23&srcid=&sharer_sharetime=1588209551171&sharer_shareid=8d32867af6f2ba8019d40c92c3843d9a#rd一 道 解 三 角 形 求 值 问 题 的 别 解a

7、6b3f2c7b266ca3c41d16c8eef&chksm=cf685123f81fd835f93448309624f1bf1c8943503ef941e2cf47b29b6ed1824b2eaf18ff76ae&mpshare=1&scene=23&srcid=&sharer_sharetime=1588209590179&sharer_shareid=8d32867af6f2ba8019d40c92c3843d9a#rd4.听说你们已经玩够了阿氏圆？那看看这个 。解法蜜蜂周报 第六期 10 / 46蜜蜂周报 第 7 期搜题软件提供的解答蜜

8、蜂周报 第六期 11 / 46蜜蜂周报 第 7 期兰琦研究过类似题蜜蜂周报 第六期 12 / 46蜜蜂周报 第 7 期山东济南最新模拟题一道题里同时出现了阿氏圆和阿氏球蜜蜂周报 第六期 13 / 46蜜蜂周报 第 7 期答案5.6 个向量一出戏这题难不难你说我对第一个空的解答：第二个空的解答蜜蜂周报 第六期 14 / 46蜜蜂周报 第 7 期上面是思考结果的呈现，其实，这都是在经过很多次失败的尝试之后的成果。比如第一问，要求| a + a + a | 的取值范围，2 4 6我思考过：把这个目标式子平方，（ 2 4 6）=56+2 2 4 2 4 6 2 2 6 ，a + a + a a a +

9、 a a + a a但是后面的式子没法处理。或者画图，结合几何意义。我思考的过程，在下面的草稿纸上，比较乱，但却是真实的，有“思维的质感”（当然，以后我会注意把字写的好看点）蜜蜂周报 第六期 15 / 46蜜蜂周报 第 7 期隔天，我在另外一个群里看到了温州林老师的解答。林老师的解法逻辑性比我好，而且很重要的是他给出了取的最值的条件。蜜蜂周报 第六期 16 / 46蜜蜂周报 第 7 期6.三圆成“鼠”，换汤不换药这是一个“新情境”题，但实际上考查的仍然是老话题直线与圆的位置关系。看到这个题的时候，我在外面，不方便用纸，就用手机上的画图软件做了一下第一个空圆 S 的圆心易得是（4,0），则可得切

10、线的倾斜角是 150 度；或者用弦切角定理，得这个直线在圆 Q 中，弦对的圆周角是 60 度。那么弦长就是 3.第二问：我一开始算的时候，是设经过原点的直线，点斜式，后来有老师提示，还有一条与 x 轴平行的。后来又有人说，已知条件里明明写了直线经过原点。嗯，老师读题也有走眼的时候。蜜蜂周报 第六期 17 / 46蜜蜂周报 第 7 期7.无变则无极看一道错题这是一个老师问的。题目是求最大值。但分析下来，发现ABC 的面积竟然是定值，那当然就不存在“最大值”的问题了。蜜蜂周报 第六期 18 / 46蜜蜂周报 第 7 期8.把几何意义进行到底一道 2014 高考小题的解法蜜蜂周报 第六期 19 /

11、46蜜蜂周报 第 7 期我在 4 月 30 号早上，在床上看到群里的这个题，看过上面的解答后，我当时就想，既然已经找到了，的几何意义，为何不趁热打铁，在这个图里，还利用几何意义中解决，不动用代数（解方程组）手段了。思考了一下，确实能找到那个代数式的几何解释：下图中，两个红角相等都是；蓝角等于+90°，圆心角是圆周角的二倍，所以+90°=2蜜蜂周报 第六期 20 / 46蜜蜂周报 第 7 期9.一定两动的向量问题搜题软件提供的解答蜜蜂周报 第六期 21 / 46蜜蜂周报 第 7 期我的坐标法，有点乱。初看计算量挺大，实际最后形式是比较简单的。10.你我之间只谈距离两个函数之间

12、的事蜜蜂周报 第六期 22 / 46蜜蜂周报 第 7 期蜜蜂周报 第六期 23 / 46蜜蜂周报 第 7 期这其实是两个函数之间的一种横向距离问题。可以验证，取得最值时，两个函数的切线是平行的。在这，我稍微多想了下，搜到了相关文献，进行了一个小总结。两个函数，我们可以分为四种距离问题（把直线看成一次函数）：蜜蜂周报 第六期 24 / 46蜜蜂周报 第 7 期蜜蜂周报 第六期 25 / 46蜜蜂周报 第 7 期11.不翻折你就不知道啥叫立体几何！答案：A分析：选项 B，因为 AE 已经和 BC 相交了，所以显然错误；选项 C，对确定的点 E，要使 SB 与平面 ABC 成的角度最大，必须是当平面

13、 SAE平面 ABCSS '时，我们就考虑这个最大角度的时刻。这时候做 SS平面 ABC， tana = ，只有当 E BS '在 C 点的时候，这个比值才是 1，也就是线面角能取到 45°，但 E 不与 C 重合，所以 C 错误。选项 D,分析方法与 C 类似，可得二面角最大时，正切为 2 ，所以 D 错误。蜜蜂周报 第六期 26 / 46蜜蜂周报 第 7 期S 的轨迹是一个圆锥的底面圆。顶点是 E。选项 A，这样考虑比较简单：因为 SE 始终垂直 SA,所以，只要 SEAB，就可推知 SE平面 SAB，则 SESB。而 SEAB，是肯定可以办到的，只要 S 在翻折

14、过程中，使 SEAB(S为 S 在平面 ABC 内的射影）即可，这个位置肯定存在（在平面 ABC 内过 E 作与 AB 垂直的线，只要 S 的射影在其上即可）。而且在这种思路下，我们还可以得到一个副产品：只要 E 在 CD 上，不论 E 在什么位置，在翻折过程中，总存在一个位置满足 SESB！12.一个小学三年级数学题和高中知识的联系5 月 2 日，我看了一节网课，老师在讲小学三年级数学，讲到一种问题的解决方法叫“双n 法”，具体是这样的：蜜蜂周报 第六期 27 / 46蜜蜂周报 第 7 期我觉得有点意思，就分析了一下，其实这个“双 n 法”原理很简单：我们假设这四个正整数构成的两个两位数分别

15、是 a，b，则根据：éa + bù éa -bù2 2a×b = ê ú - ê ú ë 2 û ë 2 û（*）假设四个数是 3,4,5,6，以求乘积最小为例：蜜蜂周报 第六期 28 / 46蜜蜂周报 第 7 期首先考虑这两个数的和要尽量小；然后考虑，差尽量大，这样就集中在 36×45,35×46 这两个数身上；因为这两个数的和是一样的，所以看哪种情况下两个数的差越大，则乘积越小。乘积最大的情况类似。而（*）式可以和极化恒等式发生联系，想不到一

16、个小学三年级的题能联系到高中知识。13.又见等和线，初级应用一题等和线的题太多了，见到一个就收录了。E 是 AB 中点，红色是两条等和线。上面的是，2x+y=2,下面的是，2x+y=114.转化的路，也可能是绕远的路一个立体几何问题转化作为数学思想中极为重要的一种，可以说是解每道数学题都会用到的。可以说，不进行转化，问题就不会得到解决。但是如何理解“转化”，在某些时候还是一个问题。4 月 30 日晚上，我在一个微信群看到看下面这个题，其实把题目粗看一遍后，仅凭文字感受，我对这个题的兴趣不是很大，为什么？因为它的条件、结构都不甚清爽，或者说它给我的感觉就像某些模拟题似的，堆砌了一大堆，题目“长得

17、就比较难看”，看起来就让人没有做的欲望。蜜蜂周报 第六期 29 / 46蜜蜂周报 第 7 期后来看到了下面的解法一，有人评价说“技巧性比较强”，这个评价勾起了我的一点兴趣。我想挑战下，是否有“技巧性”不那么强的方法！就得到了解法二。解法一：解法二（我的解法）好吧，我得承认，我的解法二非常麻烦。回忆我的解题过程，在读题的过程中，我就在进行着转化，似乎就给了自己一种心理暗示，“直接做”是很麻烦的，得转化！比如在看到“使得BC ”时，我脑子里几乎是很快地就有一个声音：那这这个平1面就不在正方体内部了，做辅助线的话就得往外做了，那会比较麻烦。，在看到“与平面A B C D 的交线是 m”时我马上想：嗯

18、，这样话直线 m 就和1 1 1 1A B 平行了，而平行是不1 1影响后面求异面直线成角的，这很可能是出题人要考查的点呀!蜜蜂周报 第六期 30 / 46蜜蜂周报 第 7 期我就是在这种“转化”的思路指导一下，一直推进着这个题的解决，直到把直线 n 也找到，可以看到，求 Q 的坐标甚至用到了坐标系，把 m，n（m 是等价的）都找到了，再转化，放到矩形A B CD 中求出来。1 1我的方法确实比较麻烦。解完了就睡觉了。然后五一的早上，我看到洪老师给出的解答，是了，直接做，反而是简单的。见下面的解法三。解释一下洪老师解法中做交线的原理：（我的解法也利用了这个公理）在立体几何中有一条公理：三个平面

19、相交，若产生三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行。这个公理，尤其是“三条交线交于一点”是我们在画截面时经常采用的，甚至是唯一的一个依据。本题里，这三个平面就是下图中标颜色的平面，红色，黄色，绿色，三个平面现在就属于产生三条交线，很明显不是平行的，那必然交于一点。做图的顺序是：先确定红色和黄色的交线，就是直线 NP；然后确定黄色和绿色（即平面）的交线，即直线 EF，二者的交线是 G；那么红色与绿色的交线必然也经过点 G，而红色平面中的 NM 延长后和绿色平面交于 H，那么二者的交线也必然经过 H，所以连接 GH，GH 就是红色，绿色两个平面的交线，这样，我们就找到了题目中的 m，n。这个问题

20、的解决，我应该从中吸取什么呢？蜜蜂周报 第六期 31 / 46蜜蜂周报 第 7 期解题中有“想法”是好的，但就怕有“定势”，解题还是“自然”比较好。能直接解，就直接解，如果直接解比较困难，我们才考虑“转化”。不是为了转化而转化。15.又一个和三角形有关的向量问题来自这个公众号蜜蜂周报 第六期 32 / 46蜜蜂周报 第 7 期下面这个手写解法和解法三相同，只是写法更加简练其实这个解法有个小问题应该问一下：M（或 D）为什么一定在 BC 上？它不会跑到ABC 外面？蜜蜂周报 第六期 33 / 46蜜蜂周报 第 7 期不会的，因为| AB + 2AC |=| 3BC |，得到的是| 1 AB +

21、AC |=| BC |， 1 2 1+ = ，由3 3 3 3 三点共线定理可知 M（D）一定是在 BC 上。那如果系数变化会怎么样呢？比如，| 2AB +3AC |=| 4BC | ，那 D 就不会在 BC 上了而是跑到外面了，上面的 3 个解法只有向量法依然奏效。这是一种问题结构，它的特点是：构造了一个在 BC 边上的点 D，当 D 变化时，AD高，所以三角形面积会有最值。这种结构，我印象比较深的是下面这个经典题：它的方法很多，在蜜蜂周报第五期第 3 题和它也有关，这个镇在地图上找不到，他们喜欢阿氏圆，它可以这样解：2如上图所示，做两条辅助线，则在BCD 中，CG = BD ，3 2SD

22、= SD = BD×h £ BD×GC = BD22 ABC BDC3如果大家感兴趣可以去下面的链接看本题的更多解法：已 知 等 腰 三 角 形 腰 上 的 中 线 长 ， 求 该 三 角 形 的 面 积 的 最 大值 （张建强老师的文章）蜜蜂周报 第六期 34 / 46蜜蜂周报 第 7 期16. 一种命题的方法利用临界状态（续）这是对第六期 12 题的补充内容5 月 2 日早上看到这个题。看到这个题，我马上就判断了它的类型：这属于利用临界状态命制的试题。这种题一般的特征是只有一个条件（一个等式），涉及到两个变量，要求的目标函数也是二元的。我们知道，两个变量要确定

23、它们的值，一般至少需要两个条件，而现在只有一个，那说明这个条件是比较特殊的，能确定这两个变量的值。因为我在潜意识里已经认为这个题是利用两个函数的临界状态来命制的，所以在进行下面的求解时，必然要把 x，y 分开，如下图：事实证明，它确实是这样的。然后，我又想了想，这个题能否主元思想来解呢，试了试，也可以：蜜蜂周报 第六期 35 / 46蜜蜂周报 第 7 期这时，我看到有老师提供了更为简单的方法，是一种整体的思路：甚至有老师还用到了同构。同构的使用，还是让人很惊奇的！蜜蜂周报 第六期 36 / 46蜜蜂周报 第 7 期我们在解题研究会对这个题目的解法进行了讨论，这时，张平老师发现一个问题，一个很大的问题：确实，上述几个证明，都是按照 x，y>0 来做的，我们默认了都是正数！也只有这样，这个题才是“对的”。但是题目里