线性代数4.3相似矩阵与矩阵对角化 彭丽华

1、第三节 相似矩阵与矩阵对角化第四章二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质四、小结四、小结一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念1,APAPA 对对 进进行行运运算算称称为为对对 进进行行相相似似变变换换11 , ,A BnPPAPBBAAB 定定义义设设都都是是 阶阶矩矩阵阵 若若存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使则则称称 是是 的的相相似似矩矩阵阵 或或说说矩矩阵阵 与与 相相似似. .PAB可可逆逆矩矩阵阵 称称为为把把 变变成成 的的相相似似变变换换矩矩阵阵1,.nAPPAP

2、AA 对对阶阶方方阵阵若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵使使为为对对角角阵阵 即即 与与对对角角阵阵相相似似，则则称称方方阵阵 可可对对角角化化1. 矩阵的相似是一种等价关系，具有性质：矩阵的相似是一种等价关系，具有性质： 11112123.PA APPA PPA P 二、相似矩阵与相似变换的性质2.,det( )det( );ABAB 与与 相相似似 则则.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反反身身性性)1()2(对对称称性性传传递递性性)3( PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4

3、 .,21是是任任意意常常数数其其中中kk115.,;ABABAB若若 与与 相相似似 且且 可可逆逆 则则 也也可可逆逆 且且与与相相似似1APBP 11111110nnnna PB PaPBPa PBPa PEP Ak1110( )nnnnf Aa AaAa Aa E 1( )Pf B P 1kPB P 则则PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个 7. ,.kkABABk若若 与与 相相似似 则则与与相相似似为为正正整整数数 8.,( ),( )( ).ABf xf Af B若若 与与 相相似似 而而是是一一多多项项式式 则则与与相相似似6.,;ABkAkBk与与 相相似似 则则与

4、与相相似似为为常常数数 11110nnnnP a BaBa Ba E P 1,ABPPAPB 若若 与与 相相似似 则则存存在在可可逆逆矩矩阵阵使使1,PPAP 特特别别地地 若若可可逆逆矩矩阵阵 使使为为对对角角矩矩阵阵1 ,kkAPP 则则1( )()f APfP 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk12()()(),()nffff 利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .( )f A1AP P 证明证明相似相似与与BA 11EBPE PPAP 1PEA P 1PEA P EA BAPPP 1,使得使得可逆阵可逆阵 ,.nABA

5、BAB定定理理若若 阶阶矩矩阵阵 与与 相相似似 则则 与与 的的特特征征多多项项式式相相同同 从从而而 与与 的的特特征征值值亦亦相相同同注意：该定理的逆定理并不成立，即具有相同特征多项式 （或特征值）的两个矩阵并不一定相似.但有相同特征值的两个矩阵若它们都可对角化，则它们相似.11100101AB例特特征征多多项项式式相相同同 21EA EB E EE与与单单位位阵阵 相相似似的的矩矩阵阵只只能能是是单单位位阵阵kEkE与与纯纯量量矩矩阵阵相相似似的的矩矩阵阵只只能能是是纯纯量量矩矩阵阵但推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则

6、相似相似nAn 20010022020,31100 , .AxByxy例例已已知知矩矩阵阵与与相相似似则则02 1,.nAPPAPAA 对对阶阶方方阵阵若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵使使为为对对角角阵阵 即即 与与对对角角阵阵相相似似，则则称称方方阵阵 可可对对角角化化证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示为为把把三、利用相似变换将方阵对角化 ().nAAAn定定理理阶阶矩矩阵阵 与与对对角角矩矩阵阵相相似似 即即 可可对对角角化化的的充充分分必必要要条条件件是是 有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量

7、量: nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有,1 PAPAPP得得由由 .,2211nnppp ., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证. ,.AnnnPAPP反反之之 若若 有有 个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量 并并对对应应有有 个个特特征征值值 这这 个个特特征征向向量量即即可可构构成成矩矩阵阵使使 如果如果

8、阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相同，个特征值互不相同，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn如果如果 的特征方程有重根，但如果能找到的特征方程有重根，但如果能找到 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, 还是能对角化还是能对角化AnAAA注注意意：推推论论的的逆逆命命题题并并不不成成立立，即即与与对对角角阵阵相相似似， 的的n n个个特特征征值值不不一一定定互互不不相相等等. . ().iinAAAkk定定理理阶阶矩矩阵阵 与与对对角角矩矩阵阵相相似似 即即 可可对对角角化化的的充充分分必必要要条条件件是是 的的特特征征方方程程任任意意 重重根根对对应应恰恰好好有有 个个线线性性

9、无无关关的的特特征征向向量量 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解460350361EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 1210EA x当当时时解解方方程程组组解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 360360360EA 120000000 3 220,EA x 当当时时解解方方程程组组得得方方程程组组的的基基础础解解系系 .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 所以所以 可对角化可对角化.A 1232 01

10、,101011P 令令1100 0 10002P AP 则则有有注意注意 , ,213 P若若令令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P100460350 ,.361AA 设设求求例例3 3解解 1232 01,101,011P 令令1100 0 100 02P AP 则则有有11000 10,002APP 故故10011001000 10.002APP 从从而而例例4 42311 22ABAAEB 已已知知 阶阶方方阵阵 的的特特征征值值为为， ， ，设设，问问矩矩阵阵 能能否否相相似似对对角角化化？相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之相似的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之相似的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为