空间直角坐标系与空间向量及其运算

1、一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系2已知空间一点已知空间一点M的坐标为的坐标为(x，y，z)；(1)与与M点关于点关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_；(2)与与M点关于点关于y轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_；(x，y，z)(x，y，z)2已知空间一点已知空间一点M的坐标为的坐标为(x，y，z)；(1)与与M点关于点关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_；(2)与与M点关于点关于y轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_；(3)与与M点关于点关于z轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为_；(4)与与M点关于面点关于面xOy对称的点的坐标为对称的点的坐标为_；(5)与与M点关

2、于面点关于面xOz对称的点的坐标为对称的点的坐标为_；(6)与与M点关于面点关于面yOz对称的点的坐标为对称的点的坐标为_；(7)与与M点关于坐标原点点关于坐标原点O对称的点的坐标为对称的点的坐标为_(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)二、空间向量及其运算二、空间向量及其运算1 1空间向量及其加减与数乘运算空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间中，具有在空间中，具有_和和_的量叫做向量的量叫做向量_相相同且同且_相等的有向线段表示同一向量或相等向相等的有向线段表示同一向量或相等向_ _称为称为a的相反向量的相反向量(2)空间向量的有

3、关知识实质上是平面向量对应的知识空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识的推广，如有关的概念、运算法则、运算律等等的推广，如有关的概念、运算法则、运算律等等2空间向量基本定理：如果三个向量空间向量基本定理：如果三个向量a、b、_，那么对空间任一向量那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使，使_，其中，其中a，b，c叫做空间的叫做空间的一个一个_，a、b、c都叫做基向量都叫做基向量大小大小方向方向方向方向模模与与a长度相等而方向相反的向量长度相等而方向相反的向量不共面不共面pxaybzc基底基底三、空间向量的坐标运算三、空间向量的坐标运算2已知空

4、间两个向量已知空间两个向量a、b，则，则ab_(向量表示向量表示)_(坐标表示坐标表示)3空间向量数量积公式的变形及应用空间向量数量积公式的变形及应用已知已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)判断垂直：判断垂直：ababx1x2y1y2z1z2_.x1x2y1y2z1z2|a|b|cosa，ba，b0，01在空间直角坐标系中，在空间直角坐标系中， 点点P(1,2,3)关于关于x轴对称轴对称的点的坐标为的点的坐标为 ()A(1,2,3)B(1，2，3)C(1, 2, 3) D(1 ,2, 3)解析解析：点：点P(x，y，z)关于关于x轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为(x，

5、y，z)答案答案：B2与向量与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是平行的一个向量的坐标是 ()答案答案：C答案答案：C1建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住“相交于相交于同一点的两两垂直的三条直线同一点的两两垂直的三条直线”，要在题目中找出或构，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的造出这样的三条直线，因此，要充分利用题目中所给的垂直关系垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直即线线垂直、线面垂直、面面垂直)，同时要，同时要注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系注意，所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系在右手空间直角坐标系下

6、，点的坐标既可根据图中在右手空间直角坐标系下，点的坐标既可根据图中有关线段的长度，也可根据向量的坐标写出有关线段的长度，也可根据向量的坐标写出2空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法解上产生和推广的，因此，可以利用类比平面向量的方法解决本节的很多内容决本节的很多内容(1)零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免对零向量的遗漏意零向量，避免对零向量的遗漏(2)a是一个向量，若是一个向量，若0，则，则a0；若；若0，a0，则则a0.(3)讨论向量的

7、共线、共面问题时，注意零向量与任讨论向量的共线、共面问题时，注意零向量与任意向量平行，共线与共面向量均不具有传递性意向量平行，共线与共面向量均不具有传递性(4)数量积运算不满足消去律，即数量积运算不满足消去律，即abbc ac.数量积的运算不适合乘法结合律，即数量积的运算不适合乘法结合律，即(ab)c不一定不一定等于等于a(bc)这是由于这是由于(ab)c表示一个与表示一个与c共线的向量，共线的向量，而而a(bc)表示一个与表示一个与a共线的向量，而共线的向量，而c与与a不一定共线不一定共线空间向量没有除法运算空间向量没有除法运算(5)借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、借助空间向量

8、可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如：判断线线平行距离等问题转化为向量的坐标运算，如：判断线线平行或诸点共线，转化为或诸点共线，转化为“ab(b0)ab”；证明线线垂；证明线线垂直，转化为直，转化为“abab0”，若，若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则转化为计算，则转化为计算a1b1a2b2a3b30；在计算异面；在计算异面直线所成的角直线所成的角(或线面角、二面角或线面角、二面角)时，转化为求向量的时，转化为求向量的两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角与两异面直线对应的向量与两异面直线对应的向量a，b的夹角关系为的夹角关系为cos |co

9、sa，b|.4运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点般步骤为：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行论证、计算；的坐标；写出向量的坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论转化为几何结论考点一求点的坐标考点一求点的坐标【案例案例1】(2009安徽安徽)在空间直角坐标系中，已在空间直角坐标系中，已知点知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点，点M在在y轴上，且轴上，且M到到A与与到到B的距离相等，则的距离相等，则M的坐标是的坐标是_关键提示关键提示：设出：设出M点的坐

10、标后利用空间两点间的距点的坐标后利用空间两点间的距离公式求解离公式求解解析解析：本题主要考查空间两点距离的计算：本题主要考查空间两点距离的计算设设M(0，y,0)，因，因|MA|MB|，由空间两点间距离，由空间两点间距离公式得公式得1y241(y3)21，解得，解得y1.答案答案：(0，1,0)(即时巩固详解为教师用书独有即时巩固详解为教师用书独有)【案例案例2】如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDABCD的棱的棱长为长为a，M为为BD的中点，点的中点，点N在在AC上，且上，且|AN|3|NC|，试求试求MN的长的长关键提示关键提示：建立空间直角坐标系后再求出各点的坐：建立空间直角坐标系后

11、再求出各点的坐标，然后求出标，然后求出MN的长的长解解：以：以D为原点，建立如图所为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为棱长为a，所以所以B(a，a,0)，A(a,0，a)，C(0，a，a)，D(0,0，a)【即时巩固即时巩固1】如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为正方形，为正方形，且边长为且边长为2a，棱，棱PD底面底面ABCD，PD2b，取各侧棱的中点，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点写出点E，F，G，H的坐标的坐标解解：由图形知，：由图形知，DADC，DCDP，DPDA，故，故以以D为原点，建立如图空间坐标系为

12、原点，建立如图空间坐标系Dxyz.因为因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH与与底面底面ABCD平行，从而这平行，从而这4个点的竖坐标都为个点的竖坐标都为P的竖坐标的的竖坐标的一半，也就是一半，也就是b.由由H为为DP中点，得中点，得H(0,0，b)E在底面上的投影为在底面上的投影为AD中点，所以中点，所以E的横坐标和纵的横坐标和纵坐标分别为坐标分别为a和和0，所以，所以E(a,0，b)，同理，同理G(0，a，b)；F在在坐标平面坐标平面xOz和和yOz上的投影分别为点上的投影分别为点E和和G，故，故F与与E横坐横坐标相同都是标相同都是a，与，与G的纵坐标也同为的纵坐标也同为a，又，又F的竖坐标为的竖坐标为b，故故F(a，a，b)考点二空间向量基本定理的应用考点二空间向量基本定理的应用关键提示关键提示：利用空间向量基本定理将所求向量表示成：利用空间向量基本定理将所求向量表示成已知向量的形式已知向量的形式答案答案：B【即时巩固即时巩固3】如图所示，在如图所示，在60的二面角的二面角AB中，中，AC，BD，且，且ACAB，BDAB，垂足分，垂足分别为别为A、B，已知，已知ABACBDa，求，求线段线段CD的长的长考点三证明垂直问题考点三证明垂直问题(1)求证：求证：EFB1C；(2