固体物理学-1

1、固体物理学固体物理学固体物理学的特点固体物理学的特点一、姓名：固体物理一、姓名：固体物理物理学：凝聚态物理；理论物理；粒物理学：凝聚态物理；理论物理；粒 子与原子核物理；原子分子子与原子核物理；原子分子物理；光学；声学；等离子物理；光学；声学；等离子物理；无线电物理物理；无线电物理以固体物理为核心的凝聚态物理是当代物以固体物理为核心的凝聚态物理是当代物理学中最重要、最丰富的分支科学，其特理学中最重要、最丰富的分支科学，其特点在于研究人员众多，研究结果丰富多彩，点在于研究人员众多，研究结果丰富多彩，对技术发展影响广泛，与其他学科相互渗对技术发展影响广泛，与其他学科相互渗透迅速，凝聚态物理学是由固

2、体物理学逐透迅速，凝聚态物理学是由固体物理学逐渐演变而来的。渐演变而来的。虚岁：虚岁：1912年年Laue发现晶体发现晶体X射线衍射（射线衍射（102年）年）实岁：实岁：1928年年Bloch创建能带论（创建能带论（86年）年）道者万物之奥也。道术道者万物之奥也。道术形而上学为道形而上学为道形而下学为术形而下学为术道道在太极之上而不为高在太极之上而不为高在六级之下而不为深在六级之下而不为深先天地生而不为久先天地生而不为久长于太古而不为老长于太古而不为老庄子庄子大宗师大宗师固体物理学是一门相当年轻的学科固体物理学是一门相当年轻的学科二、年龄二、年龄三、性别：难三、性别：难（对初学者而言）（对初学

3、者而言）1、原因：固体物理学本身并未引入新的、原因：固体物理学本身并未引入新的基本物理学原理。新的基本物理原理基本物理学原理。新的基本物理原理也许将诞生于天体物理、基本粒子、也许将诞生于天体物理、基本粒子、生命科学等之中。固体物理只是应用生命科学等之中。固体物理只是应用现知的物理学原理去解决人们所面临现知的物理学原理去解决人们所面临的浩瀚的实际问题。与学生刚刚学过的浩瀚的实际问题。与学生刚刚学过的理论线索明晰的四大力学相比，常的理论线索明晰的四大力学相比，常常摸不着头绪，常有混乱之感。常摸不着头绪，常有混乱之感。三、性别：难三、性别：难（对初学者而言）（对初学者而言）2、解决途径：、解决途径：

4、u 老子老子道德经道德经，图难于其易，天下难事必，图难于其易，天下难事必作其易作其易u 论语论语为政篇为政篇，子曰：，子曰：“诗三百诗三百”一言以一言以敝之敝之“思无邪思无邪”u 固体物理，千头万绪，一言以敝之，固体物理，千头万绪，一言以敝之，周期结周期结构中波的传播问题，构中波的传播问题，Wave propagation in periodic structures，Brillioun 1946四、派别四、派别派别子系的正宗之争，从来有之。孔子：派别子系的正宗之争，从来有之。孔子：席不正不坐，割不正不食席不正不坐，割不正不食正经正经u佛：法华经佛：法华经u道：黄庭经（内篇、外篇）道：黄庭经（

5、内篇、外篇）u儒：礼记、左传、毛诗、周儒：礼记、左传、毛诗、周礼、周易、尚书礼、周易、尚书我国在上世纪五十年代下半期，将固体物我国在上世纪五十年代下半期，将固体物理作为大学本科基础课，由黄昆、谢希德、理作为大学本科基础课，由黄昆、谢希德、程开甲三位前辈辛苦创建。程开甲三位前辈辛苦创建。M. Born正经八百之说正经八百之说五、专业五、专业从微观上去解释固体材料的宏观物理性从微观上去解释固体材料的宏观物理性质及其规律性，开拓其应用背景。质及其规律性，开拓其应用背景。宏观物理性质宏观物理性质材料的外场响应材料的外场响应u基态：能量最低，有序态基态：能量最低，有序态u激发态：低激发态、元激发、准粒子

6、激发态：低激发态、元激发、准粒子（声子、准电子、空穴、极化激元、等（声子、准电子、空穴、极化激元、等离激元、自旋波量子）离激元、自旋波量子）相互作用多粒子系统的本征态问题相互作用多粒子系统的本征态问题1 黄黄 昆，韩汝琦，国体物理学昆，韩汝琦，国体物理学 高等教育出版社高等教育出版社 1988第第1版，版，（根据黄（根据黄 昆，固体物理学昆，固体物理学 人民教育出版社人民教育出版社 1966版扩充改编）版扩充改编）2. 阎守胜，固体物理基础阎守胜，固体物理基础 北大出版社北大出版社 20003陈长乐，国体物理学陈长乐，国体物理学 西北工大出版社西北工大出版社 19984方俊鑫，陆栋，国体物理学

7、（上，下两册）方俊鑫，陆栋，国体物理学（上，下两册） 上海科技出上海科技出版社版社 1980，1981（根据谢希德，方俊鑫，国体物理学（根据谢希德，方俊鑫，国体物理学 1965版扩充改编）版扩充改编）5顾秉林，王喜坤，固体物理学顾秉林，王喜坤，固体物理学 清华大学出版社清华大学出版社 19906. 王矜奉，王矜奉， 固体物理教程固体物理教程 （4版）版） 山东大学出版社山东大学出版社 2004 （1999年初版）年初版）7.胡安，固体物理学（胡安，固体物理学（2版）高等教育出版社版）高等教育出版社五、固体物理通用教材五、固体物理通用教材8Kittel C. Introduction to So

8、lid State Physics, 8th ed. John Wiley Sons Inc.,2005 中译本：固体物理导论中译本：固体物理导论 （原著（原著8版）化学工业出版社，版）化学工业出版社，20059 Busch G. Schade H. 固体物理学讲义固体物理学讲义 高等教育出版社高等教育出版社 1987 (原文为德文，瑞士联邦技术学院教材，原文为德文，瑞士联邦技术学院教材，1972)10M A Omar Elementary Solid State Physics: Principle and Applications 中译本：固体物理学基础中译本：固体物理学基础 北京师范大学

9、出版社北京师范大学出版社 198711H E Hall Solid State Physics John Wiley Sons Ltd 1974 (英国曼彻斯特大学教材英国曼彻斯特大学教材)12. Ashcroft, Mermin Solid State Physics 1976通论部分通论部分： 1. 晶体结构晶体结构 2. 固体的结合固体的结合 3. 晶格振动和热学性质晶格振动和热学性质 4. 晶体中的电子晶体中的电子能带论能带论 5. 晶体中电子在电场和磁场中的运动晶体中电子在电场和磁场中的运动 6.金属电子论金属电子论六、教材内容六、教材内容专题部分专题部分n 半导体电子论半导体电子论

10、n 超导电性超导电性n 固体的磁性固体的磁性n 固体的光学过程与激子固体的光学过程与激子n 磁共振磁共振n 表面与界面物理表面与界面物理n 介电体与铁电体介电体与铁电体 固体的分类固体的分类 晶晶 体体: : 规则结构，分子或原子按一定的周期性排列。规则结构，分子或原子按一定的周期性排列。 长程有序性长程有序性，有固体的熔点。，有固体的熔点。E.g. E.g. 水晶水晶 岩盐 非晶体：非规则结构，分子或原子排列没有一定的周期性。非晶体：非规则结构，分子或原子排列没有一定的周期性。 短程有序性短程有序性，没有固定的熔点。，没有固定的熔点。 玻璃玻璃 橡胶橡胶 准晶体准晶体: : 有长程的取向序，

11、有准周期性，但无长程周期性有长程的取向序，有准周期性，但无长程周期性 。 没有缺陷和杂质的晶体叫做理想晶体。缺陷没有缺陷和杂质的晶体叫做理想晶体。缺陷: : 缺陷是指微缺陷是指微量的不规则性。量的不规则性。 规则网络规则网络无规网络无规网络晶晶体体非晶体非晶体准准 晶晶Al65Co25Cu10合金合金无平移同期性但有位置序的晶体就被称为准晶体，可以用无平移同期性但有位置序的晶体就被称为准晶体，可以用Penrose拼接图案显示其结构特点。拼接图案显示其结构特点。PenrosePenrose拼接图案拼接图案准晶体准晶体第一章 晶体的结构晶体所具有的自发地形成封闭凸多面晶体所具有的自发地形成封闭凸多

12、面体的能力称为自限性。（能量最小）体的能力称为自限性。（能量最小）2.晶体的解理性: 晶体沿某些确定方位的晶面晶体沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，称为晶体的解理性，劈裂的性质，称为晶体的解理性，这样的晶面称为这样的晶面称为解理面解理面。1abcd21.自限性:1.1 晶体的共性晶体的共性长程有序（略）长程有序（略） 晶面的交线称为晶面的交线称为晶棱晶棱，晶棱，晶棱互相平行的晶面的组合称为互相平行的晶面的组合称为晶带晶带，如右图中如右图中a，1，b，2。1abcd2 互相平行的晶棱的共同互相平行的晶棱的共同方向称为该晶带的称为该晶带的带轴带轴，晶轴晶轴是重要是重要的带轴。如右图中的带轴。如右图中

13、OO 3.晶面角守恒定律：属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。属于同一品种的晶体，两个对应晶面间的夹角恒定不变。石英晶体：石英晶体： a、b 间夹角总是间夹角总是14147 ； a、c 间夹角总是间夹角总是11308 ； b、c 间夹角总是间夹角总是12000 。4.晶体的各向异性在不同方向上，晶体的物理性质不同。在不同方向上，晶体的物理性质不同。OO1O ClAC1A*AB）面示意图晶体结构（ 100NaCl 由右图可以看出，在不同的方向上晶由右图可以看出，在不同的方向上晶体中原子排列情况不同，故其性质不同。体中原子排列情况不同，故其性质不同。5.晶体的对称性: 晶体在某几个特

14、定方向上可以异向同性，这种相同的性晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性质在不同的方向上有规律地重复出现，称为质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性晶体的对称性。6.晶体固定的熔点: 给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开化，且在熔化过程中保持不变，直到晶体全部熔化，温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。始上升，即晶体有固定的熔点。晶体为什么具有这些宏观特性呢晶体为什么具有这些宏观特性呢? ?晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的晶体的宏观特性是由晶体内

15、部结构的周期性决定的, ,即晶体的宏观特性是微观特性的反映。即晶体的宏观特性是微观特性的反映。( (阿羽依阿羽依) ) 自限性自限性、晶面角守恒晶面角守恒、解理性解理性、晶体的各向异性晶体的各向异性、晶体的对称性、晶体的对称性、固定的熔点固定的熔点。晶体的宏观特性：晶体的宏观特性：1.元素晶体元素晶体 二维二维二维密排二维密排堆积堆积二维正方二维正方堆积堆积1.2 密堆积密堆积密堆积：密堆积：如果晶体由如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球，则这些全同的小圆球小圆球，则这些全同的小圆球最最紧密的堆积称为称为密堆积密堆积。配位数配位数Z：一个粒子周围一个

16、粒子周围最近邻的粒子数称为称为配位数配位数. .它可以描它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密，配位数越大。配位数配位数Z为为 配位数配位数Z为为 46 a. 较松散的堆积较松散的堆积 体心立方（体心立方（body-centered cubic, bcc）堆积堆积 简单立方（简单立方（simple cubic, sc） 堆积堆积典型晶体：典型晶体：Li、Na、K、 -Fe 三维三维（bcc）配位数为）配位数为 8 。sc配位数为配位数为 6 二维正方二维正方堆积堆积特点：沿体对角线原子相切。特点：沿体对角线原子相切。 注意原子

17、半径与立方体边长之间的关系。注意原子半径与立方体边长之间的关系。 面心立方（面心立方（face-centered cubic, fcc）堆积）堆积 排列方式：排列方式： ABCABC (立方密堆积立方密堆积)典型晶体：典型晶体： Cu、Ag 、Au、Ca、Sr、Al、 b. 密堆积密堆积：fcc的配位数为的配位数为12； 典型晶体：典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti 密排六方（密排六方（ hexagonal close-packed, hcp ）堆积堆积 排列方式：排列方式： ABABAB (六方密堆积六方密堆积)hcp的配位数为的配位数为12；典型晶体：金刚石、典型晶体：金刚石、Si、G

18、e c. 金刚石结构金刚石结构：金刚石金刚石的配位数为的配位数为 4； 金刚石结构金刚石结构2. 简单化合物晶体简单化合物晶体 NaCl结构结构典型晶体：典型晶体：NaCl、LiF、KBr CsCl结构结构典型晶体：典型晶体：CsCl、CsBr、CsI 闪锌矿结构闪锌矿结构 许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。典型典型晶体：晶体：ZnSZnS、CdSCdS、GaAsGaAs、 -SiC -SiC 在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。于不同的元素。1.2 晶格的周期性晶格的周期性一、晶格与布拉伐格子

19、一、晶格与布拉伐格子 晶格：晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式。晶体中原子（或离子）排列的具体形式。 2. 2. 布拉伐格子布拉伐格子( (空间点阵）空间点阵）布拉伐格子：布拉伐格子：一种数学上的一种数学上的抽象抽象，是，是点点在空间中周期性的规则排列在空间中周期性的规则排列。基元：基元：每一个格点所代表的物理实体。每一个格点所代表的物理实体。格点：格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几何环空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几何环 境上完全相同。境上完全相同。布拉伐格子一共有布拉伐格子一共有14 种。种。scbccfcc立方晶系的布拉伐格子立方晶系的布拉伐

20、格子实际晶格实际晶格 = 布拉伐格子布拉伐格子 + 基元基元 若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单晶格简单晶格。 若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子），那么晶格为子），那么晶格为复式晶格复式晶格。 晶格中晶格中所有原子的化学、物理和几何环境都完全等同。所有原子的化学、物理和几何环境都完全等同。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。如子组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石金刚石和和hcphcp晶晶格都是复式晶格。

21、格都是复式晶格。SC + 双原子基元双原子基元fcc + 双原子基元双原子基元复式晶格复式晶格由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。1434143412121212A类碳原子的共价键方向B类碳原子的共价键方向hcp也是复式晶格。也是复式晶格。 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。套而成。Rl0 a1a2二、基矢和原胞二、基矢和原胞2. 基矢：基矢：123123llllRaaa任一格矢任一格矢 ，1. 格矢格矢:

22、lR如果所有如果所有l1、l2和和l3均为整数，则称这组坐标基均为整数，则称这组坐标基 、 和和 为基矢。为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可以有多种不同的选择方式。以有多种不同的选择方式。1a2a3aRl0 a1a2123av aaa原胞体积：原胞体积：原胞原胞 空间点阵空间点阵最小的重复单元最小的重复单元 每个空间点阵原胞中只含有每个空间点阵原胞中只含有一个格点一个格点 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法（ Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞原胞），但），但原胞的体积均相等原

23、胞的体积均相等 空间点阵原胞空间点阵原胞 晶格原胞晶格原胞 空间点阵原胞基元空间点阵原胞基元 Wigner-Seitz原胞（对称原胞）原胞（对称原胞）引入引入Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞的原因原胞的原因优点：（1） Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格子的对称性；（2）该取法今后要用到。缺点：（1） Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便；（2）平移对称性反而不直观。 基元中的原子数目可以是一个，也可以是多基元中的原子数目可以是一个，也可以是多个。基元中第个。基元中第j个原子的中心位置相对于一个个原子的中心位置相对于一个格点，可以表示为：格点，可以表示

24、为：123jjjjrx ay az a1,jjjjjjx yzx y z和和 的的取取值值在在 0 0晶胞晶胞 除了周期性外，除了周期性外，每种晶体还有自己特每种晶体还有自己特殊的殊的对称性对称性。为了同。为了同时反映晶格的对称性，时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结格单位作为原胞。结晶学中常用这种方法晶学中常用这种方法选取原胞，故称为选取原胞，故称为结结晶学原胞，简称晶胞晶学原胞，简称晶胞（也称为单胞）。（也称为单胞）。例：二维三角晶格 晶胞的三个棱边矢量用晶胞的三个棱边矢量用 ， ， 表示，称为表示，称为轴矢（或晶胞

25、基矢），其长度轴矢（或晶胞基矢），其长度a a，b b，c c称为晶格称为晶格常数。常数。abc 下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、体心立方和面心立方的固体物理原胞简立方、体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。胞进行分析。sc晶胞：晶胞：基矢基矢aaibajcak 体积体积3Va原胞：原胞：基矢基矢体积体积123aaiaajaak3Vabcc原子个数原子个数 2晶胞：晶胞：基矢基矢aaibajcak 体积体积3Va原胞：原胞：基矢基矢体积体积123222()()()aaijkaaijkaaijk 31232aVa aa原子个数原子个数 1 由

26、一个顶点向三个体心引基矢。由一个顶点向三个体心引基矢。bcc原胞示意图原胞示意图原子个数原子个数 4晶胞：晶胞：基矢基矢aaibajcak 体积体积3Vafcc原胞：原胞：基矢基矢体积体积123222()()()aaijaajkaaki31234aVa aa原子个数原子个数 1 由一个顶点向三个面心引基矢。由一个顶点向三个面心引基矢。hcp12aa11633.ca两者之间的夹角为两者之间的夹角为1200l 堆积系数堆积系数 晶晶 胞胞 体体 积积晶胞中原子所占的体积晶胞中原子所占的体积fcc结构结构a42Ra每个晶胞有每个晶胞有 8 81/8+61/8+61/2=41/2=4个个原子原子333

27、33442 24423340746.Raaa 原原子子所所占占体体积积致致密密度度晶晶胞胞体体积积一、晶列一、晶列晶列晶列 ：相互平行的直线系。：相互平行的直线系。1.3 晶列和晶面指数晶列和晶面指数晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。晶列的特点晶列的特点 （1 1）一族平行晶列把所有格点包括无遗。）一族平行晶列把所有格点包括无遗。 （2 2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。 （3 3）通过一格点可以有无限）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一多个晶列，其中每一晶列都有一族平

28、行的晶列与之对应。族平行的晶列与之对应。 （4 4 ）有无限多族平行晶列。）有无限多族平行晶列。 二、晶向二、晶向原子沿晶向到最近邻为原子沿晶向到最近邻为 ( 、 、 为互质整数） 1 12233Rl al al a1l2l3l晶向记为晶向记为 称为晶列指数。称为晶列指数。123lll， ，123lll， ，三、晶面三、晶面晶面晶面 晶体内三个非共线结点组成的平面。晶体内三个非共线结点组成的平面。 在一晶面外过其它格点作一系列与原晶面平行的在一晶面外过其它格点作一系列与原晶面平行的晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的分布晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上结点的分布情况是相同的。这组等距

29、的晶面的称为一族晶面。情况是相同的。这组等距的晶面的称为一族晶面。面间距面间距同族晶面中，相邻两晶面的距离。同族晶面中，相邻两晶面的距离。（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶体。） 通常用通常用密勒指数密勒指数来标记不同的晶面。来标记不同的晶面。确定密勒指数的步骤：确定密勒指数的步骤：1）选任一结点为原点，作 、 、 的轴线。abc2）求出晶面族中离原点最近的第一个晶面在 、 、 轴上的截距 、 、 。 abcahbkcl3）将 、 、 取倒数并化为互质整数 、 、 ，则 即为密勒指数。 h k lhkl），（lkh例：立方晶系的几个晶面1.4 倒格子倒格子 为了以后计算上的方便，

30、我们引入一个新的为了以后计算上的方便，我们引入一个新的概念概念倒格子。倒格子。 倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法，它在分析与晶体周期性有关的各种问题理方法，它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作用。中起着重要作用。一、倒格子的定义一、倒格子的定义 假设晶格的原胞基矢为假设晶格的原胞基矢为 、 、 ，原胞体积为原胞体积为 ，建立一个实的空，建立一个实的空间，其基矢为间，其基矢为1a2a3a)(321aaa213132321222aabaabaab 由这组基矢构成的格子称为对应于以由这组基矢构成的格子称为对应于以 、 、为基矢的正格子的倒易

31、格子为基矢的正格子的倒易格子(简称倒格子），简称倒格子）， 、 、 称为倒格子基矢。称为倒格子基矢。 1a2a3a1b2b3b 从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间。对应的傅里叶空间。倒易空间的格矢量：倒易空间的格矢量： 332211bhbhbhKh例例1：简立方格子的倒格子。：简立方格子的倒格子。例例2：二维四方格子，其基矢为 。i aa1j aa22此时可假设一个垂直于平面的单位矢量此时可假设一个垂直于平面的单位矢量ka3再计算再计算 、 。1b2b二、倒格子基矢的性质二、倒格子基矢的性质1、正倒格子基矢的关系、正倒格子基矢的关系ij

32、jiab23*)2( 为倒格子原胞体积。）3*)2(2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2)3 倍倍。)(321*bbb3、倒格矢、倒格矢 是晶面指数为是晶面指数为 所对应的所对应的 晶面族的法线。晶面族的法线。hK），（321hhh4、倒格矢、倒格矢 与晶面间距与晶面间距 关系为关系为hK321hhhd1232h h hhdK 5、正格矢、正格矢 与倒格矢与倒格矢 的关系的关系hKlRmKRhl2（m为整数）推论：推论：1、如果有一矢量与正格矢点乘后等于、如果有一矢量与正格矢点乘后等于2的整数的整数 倍，这个矢量一定是倒格矢。倍，这个矢量一定是倒格

33、矢。2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲 的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。倒格矢的性质：倒格矢的性质：1） 是密勒指数为是密勒指数为 所对应的晶面族的法线所对应的晶面族的法线。hklG），（lkh2）条件：不包括体心和面心的一切晶胞。条件：不包括体心和面心的一切晶胞。 hklhkldG23）mGRhkll2其中其中 c lbnamRl所以倒格矢所以倒格矢 可以代表可以代表 晶面。晶面。 hklG），（lkh简单三斜简单单斜底心单斜底心正交简单正交面心正交体心正交简单菱方简单六方简单四方体心四方简单

34、立方体心立方面心立方返回返回周期结构的数学描述周期结构的数学描述晶体的几何晶体的几何：几何学之于物理的重要性，怎么：几何学之于物理的重要性，怎么强调都不为过。强调都不为过。DAlambert云：云：“几何是我几何是我妻妻”。达朗贝尔原理：动力学一般方程、虚功。达朗贝尔原理：动力学一般方程、虚功原理原理u经典物理：经典物理：Kepler行星运动三定律完全是行星运动三定律完全是几何，欧几里德、牛顿力学也是几何，物几何，欧几里德、牛顿力学也是几何，物理几何化精确描述微积分几何学理几何化精确描述微积分几何学u广义相对论：空间几何学、非欧几何学广义相对论：空间几何学、非欧几何学u量子力学：量子力学：qu

35、antum-拉丁语，拉丁语，how much量、额量、额多少多少几何：贵庚几何，曹操几何：贵庚几何，曹操短歌行短歌行对酒对酒当歌人生几何当歌人生几何u斯宾诺莎（斯宾诺莎（Baruch de Spinoza）伦理学伦理学伦理学伦理学一书是用一书是用“几何学的方法几何学的方法”写的。写的。斯宾诺莎与笛卡尔一样，认为只有像几何斯宾诺莎与笛卡尔一样，认为只有像几何学一样，凭理性的能力从最初几个由直观学一样，凭理性的能力从最初几个由直观获得的定义和公理，推论出来的知识，才获得的定义和公理，推论出来的知识，才是最可靠的知识。他写是最可靠的知识。他写伦理学伦理学时，把时，把人的思想、情感、欲望等等当作几何上

36、的人的思想、情感、欲望等等当作几何上的点、线、面一样来研究。先提出定义、公点、线、面一样来研究。先提出定义、公理，然后加以证明，进而做出绎理。理，然后加以证明，进而做出绎理。几何学为自然科学、哲学、数学等研究几何学为自然科学、哲学、数学等研究提供了一种有条件的逻辑推理模式。提供了一种有条件的逻辑推理模式。晶体中原子的规则排列晶体中原子的规则排列晶格晶格结构结构基元基元晶体的结构晶体的结构u简单晶格简单晶格基元中只有一个基元中只有一个原子：原子：SC、BCC、FCCu复试晶格复试晶格基元中不只一个基元中不只一个原子：原子：HCP、金刚石、金刚石、NaCl、CsCl、ZnS、ABO3一、晶体的结构

37、和基元一、晶体的结构和基元二、结构和点阵二、结构和点阵晶格的数学抽象晶格的数学抽象1、抽象抽象=+2、点阵的数学表达、点阵的数学表达基矢：基矢：123,a a a 平移矢量：平移矢量：1 12233liiiRl al al al a( )()lllRrrR点点阵阵：矢矢量量端端点点的的集集合合u点阵是结构的数学抽象，它完全反映晶格的点阵是结构的数学抽象，它完全反映晶格的平移对称性平移对称性u晶格的平移对称性是破缺的晶格的平移对称性是破缺的抽象抽象3、元胞、元胞初基元胞初基元胞123aaa， ，123() aaa只包含一个结点只包含一个结点单胞单胞abc， ，()abc 可不止可不止一个结点一个

38、结点W-S元元胞胞初基初基三、晶向和晶面三、晶向和晶面1、晶向、晶向1 12233lRl al al a123123 , , , ,l l ll l l2、晶面、晶面123123( ,),( , , ), ,h h ha a ah k la b c 晶晶面面指指数数以以为为坐坐标标系系密密勒勒指指数数以以为为坐坐标标系系四、倒点阵四、倒点阵1、点阵的傅立叶变换、点阵的傅立叶变换晶格对应的波矢（动量）空间性质晶格对应的波矢（动量）空间性质1 1223 3233112123 ( )( )()2,2,2lnik Rik rlnllKhiii FrkrR edrekKKhbh bh bhbaaaaaa

39、bbb( )( )rk正正点点阵阵晶晶格格倒倒点点阵阵( )( )rCk平平移移不不变变空空间间( )()()nlnKrrRkK晶晶体体（平平移移对对称称性性破破缺缺）0nnkkkKkK均均匀匀空空间间（平平移移不不变变）（动动量量守守恒恒）晶晶体体空空间间( )k( )kkkO2112KK O KK0knkkkK2、倒点阵的性质、倒点阵的性质1 2 31 2 3*322(2)(2 )(3)2,2(4)( )()()hhijijhlh h hh h hhklhkliKrlhKa bKRndKdKV rV rRV Ke (1)(1) 正正交交关关系系，倒点阵元胞倒点阵元胞*123*bbb 布布初

40、初基基（）布布区区，倒倒点点阵阵的的W W- -S S元元胞胞，初初基基五、晶体的对称性五、晶体的对称性u韩诗外传韩诗外传西汉前西汉前200年：年：“凡草本多五凡草本多五出，雪花独六出出，雪花独六出”u六角雪花论六角雪花论1611 Kepler：“雪花六角雪花六角对称是其内部周期结构的体现对称是其内部周期结构的体现”u1952 Hermman （数学家）：（数学家）：“五重对称在五重对称在生物界相当常见，但在晶体这一非生物界生物界相当常见，但在晶体这一非生物界却从未发现却从未发现”对称性一直为人们着迷对称性一直为人们着迷11,2,3,4,6, ,4lRi m平平移移对对称称性性 破破缺缺、晶晶

41、体体宏宏观观对对称称性性 破破缺缺2、晶体按对称性分类、晶体按对称性分类u生物按特征分类生物按特征分类 门门纲纲目目科科粗粗细细鱼鱼 纲纲雁雁 形形 目目雉雉 鸡鸡 科科脊脊 椎椎 门门鸟鸟 纲纲鸡鸡 形形 目目松松 鸡鸡 科科鹤鹤 形形 目目哺哺 乳乳 纲纲u晶体按对称性分类晶体按对称性分类数学严格，群理论数学严格，群理论对称操作群对称操作群12 ,GE q q |0 | | AA tA t点点群群空空间间群群 点阵（球对称结点）点阵（球对称结点）结构（任意对称基元）结构（任意对称基元）点群数点群数7 32空间群空间群数数14230|0A|0A|lA R| A t3、对称性与宏观物性、对称性

42、与宏观物性六、晶体的六、晶体的X射线衍射射线衍射（运动学）（运动学）1、Bragg公式和公式和Laue方程方程Bragg2 sinLauehdnkkK公公式式方方程程（坐坐标标表表象象）（动动量量表表象象）,222( )( )(),()0,()0hnkknnhkk KKnnnnuk V r kk cn r kCn KkkKCn KkkKc nKkkKIukkK 2、原子散射因子与几何结构因子原子散射因子与几何结构因子()( )hiKrhVn Kn r edr（1）点散射模型）点散射模型222,( )(), -0, - hhllhkk KKhn rrRCNkkKuCNIuC NkkK （2）原子

43、散射因子原子散射因子22,( )()(), ()()0, ()( )ehhhllhhhhkk KKhiKrhn rrRCNf K kkKuCNf KIC N f KkkKf Krdr （3）几何结构因子几何结构因子112233222,2()( )()() ()()0 ()()ihhiiiililrhhhhkk KKhi h xh xh xhihin rrRrCNF KkkKuCNF KIC N FKkkKF Kf Ke 3、衍射消光、衍射消光Laue()0,0,hhkkKF KI当当满满足足方方程程时时，如如果果消消光光u一般复式晶格可能消光一般复式晶格可能消光u但结晶学中，通常采用单胞，简单

44、晶格但结晶学中，通常采用单胞，简单晶格也可能消光也可能消光1232()()()0iiii hxkxlxhkliiF Kf e七、准晶体七、准晶体1984年，年，D. Shechtman在快速冷却的在快速冷却的Al4Mn合金中合金中，发现具有二十面体点群对称的物质发现具有二十面体点群对称的物质新相，电子衍射斑具有新相，电子衍射斑具有5次对称性。次对称性。明锐的明锐的5次对称衍射斑次对称衍射斑倒空间倒空间5次对称次对称正空间正空间5次对称次对称平移对称不相容平移对称不相容除非有明确的倒点阵除非有明确的倒点阵准晶完全有序，但没有平移对称性，只有长程准晶完全有序，但没有平移对称性，只有长程取向序，可具

45、有晶体不允许的宏观对称性。取向序，可具有晶体不允许的宏观对称性。瑞典科学院瑞典科学院Aminof奖，诺贝尔安慰奖，奖，诺贝尔安慰奖，2012年年诺贝尔化学奖。诺贝尔化学奖。1、1-D Fibonacci点阵点阵2 , ,10111115101012L STTLLS TSLLLSTSL定定义义元元素素几几何何和和映映射射012311,limFibonaccinnnnnnnLCT LCSCLCLSCLSLCLSLLSCC C 定定 义义 标标 准准 的的点点 阵阵2、投影方法，、投影方法，1-D Fibonacci点阵的数表示点阵的数表示( )()nnnnnSLS 3、倒点阵（衍射谱）、倒点阵（衍

46、射谱）,1,2( )( ) =() ()2()iqmn mn mn mn mqedCqqqpSkkqDnmSDL 正点阵正点阵傅立叶傅立叶变换变换4、推广、推广 1-D k组元的组元的Fibonacci点阵点阵1211112111(,),T, limFibonacci10011000( )100101255kkkkiinnnnkkkk kkA AATAA ATAATAATAACT ACkTpkkk 定定义义 个个元元素素的的集集合合映映射射令令定定义义 组组元元的的点点阵阵周周期期性性点点阵阵准准周周期期点点阵阵介介于于准准周周期期与与无无序序之之间间的的点点阵阵5、应用、应用22323周期结

47、构中波的传播周期结构中波的传播一、基本方程一、基本方程1、简谐近似下，格波的、简谐近似下，格波的Newton方程方程21121D)()(2jljjjlllllll jl jM uRR ud uMuuudt 矢矢量量波波只只考考虑虑最最近近邻邻相相互互作作用用，单单原原子子链链2、单电子近似下，、单电子近似下，de Broglie波的波的Schrodinger方程方程2221101( )( ) ( )2( ) ( )( )1-D( )( )( )2(lllllatslsC tdCiAC tBCtBCtirV rrtdtAEJBJmV rrErm 含含时时标标量量波波定定态态紧紧束束缚缚近近似似下

48、下， 单单原原子子晶晶体体， 格格点点 电电子子的的几几率率幅幅满满足足的的方方程程变系数（周期函数）的二阶常微分方程问题变系数（周期函数）的二阶常微分方程问题二、二、BlochBloch定理和定理和BlochBloch波波求解上述方程可以得到系统的本征态和本征求解上述方程可以得到系统的本征态和本征值，从而可以讨论系统的基态和激发态问题值，从而可以讨论系统的基态和激发态问题()()( )Bloch( )( )( , )( ,()( )lllik Rnnlkkik Rnnkkinnlkq RtlkjjrRerreuruq surRuAq s er 调调幅幅平平面面波波( ),()( , )nkj

49、u rqk sn jrAq s对对于于电电子子，是是一一个个元元胞胞中中的的连连续续函函数数对对于于声声子子，由由于于格格波波的的振振幅幅只只在在元元胞胞中中诸诸格格点点原原子子上上定定义义，仅仅是是元元胞胞中中的的分分立立数数组组三、三、Bloch波能谱特征波能谱特征1,( ),( ),1,2,.,2,( )(),( )( )3hnnknnnnhkkKkE krnnE kE kKrr、对对于于一一个个确确定定的的、对对于于一一个个确确定定的的、能能谱谱成成带带结结构构低低通通带带通通电磁振荡电磁振荡格波格波有限带有限带电子电子原则上无限带原则上无限带四、能带计算四、能带计算1、PW方法方法2

50、2,( )( )1()( )()deBlochPWt( )02hhhhhhnik rnkkiKrnnlhkkkKhhkhhhKKKKreururRuraKeNa kKkKkKE kV KKm波波按按正正交交完完备备扩扩展展的的展展开开严严格格，收收敛敛差差2、NFE近似近似22,|()( )1( )2PWNFEhhhhhVV KKkKV kKa kKa kE kkm小小量量小小量量，小小量量，BZ非非简简并并微微扰扰自自由由电电子子能能谱谱在在界界面面割割裂裂成成能能带带简简并并微微扰扰BZ、能隙、能带、禁带、能、能隙、能带、禁带、能隙成因、能区图示、简约波隙成因、能区图示、简约波矢矢3、TBA近似近似（1）Wannier函数函数()1( )( )()()()lnlik RnnnlkkKlikrRnnllkkrra rR eNa rReurR Bloch波按一组正交完波按一组正交完备的局域函数展开备的局域函数展