第五章频域分析法

1、第五章第五章 根轨迹法根轨迹法掌握根轨迹的定义、根轨迹方程、幅值条掌握根轨迹的定义、根轨迹方程、幅值条件和相角条件件和相角条件掌握根轨迹的绘制法则，熟练绘制根轨迹掌握根轨迹的绘制法则，熟练绘制根轨迹能根据根轨迹定性分析系统性能随参数变能根据根轨迹定性分析系统性能随参数变化的规律化的规律重重点点掌握根轨迹的绘制掌握根轨迹的绘制增加开环零点、极点对根轨迹和系统性能的影响增加开环零点、极点对根轨迹和系统性能的影响利用根轨迹分析系统性能的方法利用根轨迹分析系统性能的方法难难点点为了达到系统的期待性能，如何改变根轨轨迹为了达到系统的期待性能，如何改变根轨轨迹利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能基

2、基本本要要求求第六章第六章 频域分析法频域分析法 时域分析法是一种解析法，它实际上就是用数时域分析法是一种解析法，它实际上就是用数学的方法去求解描述系统的微分方程，微分方程的学的方法去求解描述系统的微分方程，微分方程的解就是系统的响应。这种方法具有准确、直观的优解就是系统的响应。这种方法具有准确、直观的优点，但这种方法比较麻烦，而且只能用于分析系统点，但这种方法比较麻烦，而且只能用于分析系统的性能，当计算出的系统性能不能满足要求时，不的性能，当计算出的系统性能不能满足要求时，不容易看出问题出在那里，也不知道如何调整系统来容易看出问题出在那里，也不知道如何调整系统来满足技术要求。满足技术要求。

3、根轨迹法是一种图解求根方法，这种方法不根轨迹法是一种图解求根方法，这种方法不仅能分析系统的性能，而且能指出改进系统性能仅能分析系统的性能，而且能指出改进系统性能的措施，但对不知开环传递函数的系统来说，它的措施，但对不知开环传递函数的系统来说，它就无能为力了。就无能为力了。 频域分析法就是根据系统的频率特性间接地频域分析法就是根据系统的频率特性间接地揭示系统的性能，并指明改进系统性能措施方向的揭示系统的性能，并指明改进系统性能措施方向的方法。方法。 频域分析方法易于对系统进行实验研究，它可频域分析方法易于对系统进行实验研究，它可以不需要事先知道系统的数学模型，而只是通过系以不需要事先知道系统的数

4、学模型，而只是通过系统的响应来分析研究问题，甚至还可以利用响应特统的响应来分析研究问题，甚至还可以利用响应特性反推出系统的数学模型，这对于难以用微分方程性反推出系统的数学模型，这对于难以用微分方程描述的系统来说尤其重要。描述的系统来说尤其重要。第六章第六章 频域分析法频域分析法6-1 频率特性频率特性 一频率响应一频率响应线性系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应线性系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应 二频率特性二频率特性1.频率特性：频率特性：线性系统在正弦输入信号作用下线性系统在正弦输入信号作用下,稳态输稳态输出随正弦输入频率出随正弦输入频率 变化的规律变化的规律,称为系统的频率特

5、性称为系统的频率特性. 2表达式表达式 )()(22jsjsAsAsR)()()()()(jsjssAsRssCjsKjsKssKssKssKsCnnnn212211.)(系统输出系统输出tjntjnnitsieKeKeKtci211)(稳态输出稳态输出tjntjnseKeKtc21)()(sin(|)(|)(jtjAtcs)(sin(|)(|)(jtjAtcs频率特性频率特性:系统稳态输系统稳态输(响应响应)与输入信号频率与输入信号频率(正弦函数正弦函数)的关系的关系 可以不断地改变输入信号的频率来研究其响应的幅值和相角可以不断地改变输入信号的频率来研究其响应的幅值和相角的变化规律的变化规律

6、 相频特性相频特性: 系统的稳态输出对正弦输入信号的相位移系统的稳态输出对正弦输入信号的相位移 描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生的相角迟后（或相角超前）的特性。产生的相角迟后（或相角超前）的特性。 描述系统对不同频率的正弦输入信号，在稳态情况下的衰减描述系统对不同频率的正弦输入信号，在稳态情况下的衰减（或放大）特性。（或放大）特性。 正弦输入信号的振幅系统稳态输出的振幅| )(|j幅频特性幅频特性 :正正弦弦输输入入的的相相角角稳稳态态输输出出的的相相角角( (j j ) )( ( ) )（4）频率特性也是一种稳态响应，但

7、动态过程的）频率特性也是一种稳态响应，但动态过程的规律性也全寓于其中，所以它也是一种数学规律性也全寓于其中，所以它也是一种数学模型。模型。3说明说明（1）频率特性不仅是对系统而言，其概念和定义对）频率特性不仅是对系统而言，其概念和定义对控制元件、部件也都适用。控制元件、部件也都适用。（2）频率特性的概念和定义只适用于线性定常系）频率特性的概念和定义只适用于线性定常系统。统。（3）频率特性也适用于不稳定系统。）频率特性也适用于不稳定系统。也是一种数学模型也是一种数学模型 1根据定义直接求取频率特性根据定义直接求取频率特性三频率特性的求取方法三频率特性的求取方法2根据传递函数直接求频率特性根据传递

8、函数直接求频率特性 3用实验法求取频率特性用实验法求取频率特性 一个系统可以用微分方程或一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以用传递函数来描述，也可以用频率特性来描述，它们之间频率特性来描述，它们之间的关系如图所示。的关系如图所示。 用传递函数求频率特性方法比较简单用传递函数求频率特性方法比较简单频率特性是在频率特性是在 （限定在虚轴上变化）特定情况（限定在虚轴上变化）特定情况下的传递函数，它也取决于系统本身的结构参数，下的传递函数，它也取决于系统本身的结构参数，表明系统的固有特性。表明系统的固有特性。js 6-2 频率特性表示方法频率特性表示方法 图尔斯对数幅相图：又称尼柯图伯德（对

9、数频率特性图：又称）图极坐标图或乃氏（幅相频率特性图：又称)()NicholsBodeNyguist常用的常用的频率特性频率特性图示方法图示方法 幅相特性曲线幅相特性曲线，简称幅相曲线，又称，简称幅相曲线，又称Nyguist图，是频率特图，是频率特性法常见的一种曲线，它是以频率性法常见的一种曲线，它是以频率 为参变量，将频率特性的幅为参变量，将频率特性的幅频和相频同时表示在复数平面上。一般只需绘制频和相频同时表示在复数平面上。一般只需绘制 从零到无穷的从零到无穷的幅相曲线。这种画有幅相曲线的图形幅相曲线。这种画有幅相曲线的图形又称向量图或极坐标图。又称向量图或极坐标图。一幅相频率特性图一幅相频

10、率特性图例例6-1 试绘出惯性环节试绘出惯性环节的幅相频率特性图的幅相频率特性图解：解： 11)(TssG222211111)(TTjTjTjG实频特性实频特性 2211)(TU虚频特性虚频特性 221)(TTV222222222)21(12111)(21)(TTTVU 幅相特性为以幅相特性为以(0，1/2)为为圆心，圆心，1/2为半径的圆为半径的圆 二对数频率特性图二对数频率特性图1对数频率特性曲线对数频率特性曲线：又称伯德曲线，包括对数幅频和对数相：又称伯德曲线，包括对数幅频和对数相频特性，通常称为对数坐标图或伯德图。频特性，通常称为对数坐标图或伯德图。 对数频率特性曲线的横坐标是频率对数

11、频率特性曲线的横坐标是频率 ，采用对数分度，单位，采用对数分度，单位是（是（rad/s）。对数幅频特性图中的纵坐标为）。对数幅频特性图中的纵坐标为 单位是分单位是分贝贝(dB)，采用线性分度。相频特性的图中的纵坐标表示频率特，采用线性分度。相频特性的图中的纵坐标表示频率特性的相角，以度（）为单位，采用线性分度性的相角，以度（）为单位，采用线性分度。| )(|lg20sG（2）可以将幅值的乘除化为加减，因而简化了计算与作图过程。）可以将幅值的乘除化为加减，因而简化了计算与作图过程。2对数分度的优点对数分度的优点（1）由于采用了对数坐标，可以在很宽的频率范围内研究控制）由于采用了对数坐标，可以在很

12、宽的频率范围内研究控制系统或元部件，使我们研究系统的低频和高频特性范围拓宽。系统或元部件，使我们研究系统的低频和高频特性范围拓宽。（3）可用近似方法作图，先分段用直线作出对数幅频特性的渐）可用近似方法作图，先分段用直线作出对数幅频特性的渐进线，在对渐进线进行修正，就可得到较准确的对数幅频特性进线，在对渐进线进行修正，就可得到较准确的对数幅频特性图，给作图带来很大的方便。图，给作图带来很大的方便。（4）可分别作出各环节的伯德图，然后用迭加方法得到系统的）可分别作出各环节的伯德图，然后用迭加方法得到系统的伯德图，并由此可以看出个环节对系统总特性的影响。伯德图，并由此可以看出个环节对系统总特性的影响

13、。 （5）将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲线，能较）将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲线，能较简便地确定系统（或元部件）的传递函数。简便地确定系统（或元部件）的传递函数。3对数分度的对数分度的2个概念个概念一个十倍频程（一个十倍频程（decade、dec）：）：频率变化十倍的区间。频率变化十倍的区间。二倍频程（二倍频程（octave、oct）：）：频率变化至二倍的区间。频率变化至二倍的区间。 例例 6-2 试绘出惯性环节的对数频率特性图试绘出惯性环节的对数频率特性图 频率特性频率特性 )(22|11111)11()(TtgjjseTjTTSjG对数幅频特性对数幅频特性 222

14、21lg2011lg20| )(|lg20)(TTjGL相频特性相频特性 Ttgj1)()(对数幅相曲线，又称尼柯尔斯（对数幅相曲线，又称尼柯尔斯（Nichols）曲线，）曲线，其纵坐标和横其纵坐标和横坐标都是均匀分度，横坐标表示相角，纵坐标表示对数幅频特性坐标都是均匀分度，横坐标表示相角，纵坐标表示对数幅频特性的分贝数，频率的分贝数，频率 为参变量。为参变量。三对数幅相图三对数幅相图例例 6-3 试绘出惯性环节的对数幅相图试绘出惯性环节的对数幅相图 频率特性频率特性 )(22|11111)11()(TtgjjseTjTTSjG对数对数幅频幅频特性特性 22221lg2011lg20|)(|l

15、g20)(TTjGL相频特性相频特性 Ttgj1)()(频率响应频率响应线性系统对正弦输入信号的稳态响应线性系统对正弦输入信号的稳态响应 频率特性频率特性线性系统在正弦输入信号作用下，稳态输出随正弦线性系统在正弦输入信号作用下，稳态输出随正弦输入频率输入频率 变化的规律，称为系统的频率特性。变化的规律，称为系统的频率特性。 正正弦弦输输入入信信号号的的振振幅幅系系统统稳稳态态输输出出的的振振幅幅| |( (j j ) )| |幅幅频频特特性性正正弦弦输输入入的的相相角角稳稳态态输输出出的的相相角角( (j j ) )( ( ) )相相频频特特性性( (j j ) )e e| |( (j j )

16、 )| |正正弦弦输输入入信信号号的的复复数数系系统统稳稳态态输输出出的的复复数数频频率率特特性性归纳归纳:一一. 几个基本概念几个基本概念二二. 频率特性表示方法频率特性表示方法 频率特性频率特性 是复数，它既可用实部、虚部来表示，是复数，它既可用实部、虚部来表示，也可用幅值（模）和相角来表示。也可用幅值（模）和相角来表示。)(jG)(| )(|)()()()(Im)(Re)(jGjejGjGjVUjGjjGjG实频特性实频特性 )(Re)(jGU)(Im(jGV虚频特性虚频特性 )()(| )(|22VUjG幅频特性幅频特性 )()()(1VUtgjG相频特性相频特性对数幅频特性对数幅频特

17、性 )()(lg2| )(|lg20)(22VUjGL1根据定义直接求取频率特性根据定义直接求取频率特性三三. 频率特性的求取方法频率特性的求取方法2根据传递函数直接求频率特性根据传递函数直接求频率特性 3用实验法求取频率特性用实验法求取频率特性 一个系统可以用微分方一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，程或传递函数来描述，也可以用频率特性来描也可以用频率特性来描述，它们之间的关系如述，它们之间的关系如图所示。图所示。 四四. 常用的三种频率特性图示方法常用的三种频率特性图示方法 分度分度纵轴：虚频特性。线性纵轴：虚频特性。线性分度分度横轴：实频特性。线性横轴：实频特性。线性（Nyquist

18、图）（Nyquist图）幅相频率特性图幅相频率特性图）（ 1相相频频特特性性图图对对数数幅幅频频特特性性图图（B Bo od de e图图）对对数数频频率率特特性性图图）（2线线性性分分度度（d dB B）纵纵轴轴：对对数数幅幅频频特特性性。）分分度度（横横轴轴：相相频频特特性性。线线性性（N Ni ic ch ho ol ls s图图）对对数数幅幅相相图图（3 3）0 0线线性性分分度度（d dB B）纵纵轴轴：对对数数幅幅频频特特性性。度度（r ra ad d横横轴轴：角角频频率率。对对数数分分对对数数幅幅频频特特性性图图）分分度度（纵纵轴轴：相相频频特特性性，线线性性度度（r ra ad

19、 d/ /s se ec c）横横轴轴：角角频频率率。对对数数分分相相频频特特性性图图0 06-3 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 一比例（放大）环节一比例（放大）环节KsRsCsG)()()(KjG)(KLlg20)(0lg20)(KL1K10K，0lg20)(KL 1K，0lg20)(KL0)(时域关系时域关系 )()(tKrtc传递函数传递函数 频率特性频率特性 对数幅频特性对数幅频特性 相频特性相频特性 二积分环节二积分环节090)(时域关系时域关系 传递函数传递函数 频率特性频率特性 对数幅频特性对数幅频特性 相频特性相频特性 dttrtc)()(ssG1)(jjG1)(lg2

20、01lg20)(L每增加每增加10倍，倍，L()下降下降20dB，即积分环节的对数幅，即积分环节的对数幅频特性是一条斜率为每十倍频频特性是一条斜率为每十倍频程程-20dB（-20dB/dec）的直线。）的直线。穿越频率穿越频率 ：穿过：穿过零分贝线处的频率零分贝线处的频率 c0)(1Lc时，三微分环节三微分环节)()(trtcdtd传递函数传递函数 ssG)( 频率特性频率特性 090)(ejjG对数幅频特性对数幅频特性 lg20lg20)(L相频特性相频特性 o90)(微分环节与积分环节以微分环节与积分环节以轴互为镜像。轴互为镜像。时域关系时域关系 -505101520Magnitude (

21、dB)1001018989.59090.591Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)()()(trtcdttdcT四惯性环节四惯性环节传递函数传递函数 11)(TssG频率特性频率特性 jTjG11)(对数幅频特性对数幅频特性 22)(1lg20)(11lg20)(TTL相频特性相频特性 )()(1Ttg01lg20)(,1LT时当00)(TLTlg20)(,1时当o90)(时当T1o45)(时域关系时域关系 惯性环节的对数幅频特性可近似成两段直线，惯性环节的对数幅频特性可近似成两段直线，时T/1取取0dB水平线（低通滤波器）水平线（低通滤波器）时

22、T/ 1为斜率是为斜率是-20dB/dec的直线，的直线，TT1为转折频率为转折频率相频特性以相频特性以 为奇对称性。为奇对称性。o45decdBTTTT/2010lg20)lg20(10lg20用折线代替曲线，作图方便，在转折点出误差最大，最大误差值用折线代替曲线，作图方便，在转折点出误差最大，最大误差值为：为：dBTTTT31lg202lg20)lg20()(1lg20112max)()()(trdttdrtc五一阶微分环节五一阶微分环节传递函数传递函数 1)( ssG频率特性频率特性 jTjG1)(对数幅频特性对数幅频特性 2)(1lg20)(TL相频特性相频特性 )()(1Ttg可以看

23、出：一阶微分环节与惯可以看出：一阶微分环节与惯性环节的对数幅值频率特性和性环节的对数幅值频率特性和相频特性以相频特性以 轴互为镜像。轴互为镜像。 TT1为转折频率为转折频率 时域关系时域关系 01lg20)(,1LT时当00)(TLTlg20)(,1时当o90)(时当T1o45)(频率特性频率特性 TjTjTjTjG2)1 (11)(2)(1)(2222对数幅频特性对数幅频特性 2222)2()1 (lg20)(TTL相频特性相频特性 22112)(TTtg六振荡环节六振荡环节)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT传递函数传递函数 222222121)(nnnssTssTsG

24、时域关系时域关系 12122sTsTRC)()(2)()(222trdttdrdttrdtc七二阶微分环节七二阶微分环节传递函数传递函数 12)(22sssG频率特性频率特性 1)(2)()(22jjjG对数幅频特性对数幅频特性 2222)2()1 (lg20)(L相频特性相频特性 22112)(tg可以看出：二阶微分可以看出：二阶微分环节与振荡环节的环节与振荡环节的对数幅值频率特性对数幅值频率特性和相频特性以和相频特性以轴互为镜像。轴互为镜像。时域关系时域关系 )()(trtc八延迟环节八延迟环节输出量毫不失真地输出量毫不失真地复现输入量的变化，复现输入量的变化，但在时间上存在恒定但在时间上

25、存在恒定延迟的环节。延迟的环节。传递函数：传递函数： sesG)(频率特性频率特性 jejG)(对数幅频特性对数幅频特性 01lg20)(L相频特性相频特性 )(3 .570）（时域关系：时域关系： 当横轴为线性分度时，相频特性为直线；当横轴为线性分度时，相频特性为直线；当横轴为对数分度时，相频特性为对数曲线。当横轴为对数分度时，相频特性为对数曲线。)()()(trtcdttdcT九一阶不稳定环节九一阶不稳定环节时域关系：时域关系： 传递函数：传递函数： 11)(TssG频率特性频率特性 jTjG11)(对数幅频特性对数幅频特性 22)(1lg20)(11lg20)(TTL 对数相频特性对数相

26、频特性 )(180)(10Ttg一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节完全相同，但是相一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节完全相同，但是相频特性大不一样。惯性环节：当频特性大不一样。惯性环节：当由由0时，相角由时，相角由00900 一阶不稳定系统：当一阶不稳定系统：当由由0时时,相角由相角由0090180相位角的绝对值小，相位角的绝对值小， 称最小相位环节。称最小相位环节。的绝对值大的绝对值大,称非最小相位环节。称非最小相位环节。,相位角相位角 一般而言：传递函数中有右极点、右零点的环一般而言：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统）节（或系统）, ,称称非最小相位环节（或系统）非最小相位

27、环节（或系统）。 传递函数中没有右极点、右零点的环节（或系传递函数中没有右极点、右零点的环节（或系统），称统），称最小相位环节（或系统）。最小相位环节（或系统）。 只包含比例、积分、微分、惯性、只包含比例、积分、微分、惯性、 振荡、一振荡、一阶微分和二阶微分环节的系统，一定是阶微分和二阶微分环节的系统，一定是最小相（最小相（位）角系统；位）角系统； 包含不稳定环节、延迟环节的系统则包含不稳定环节、延迟环节的系统则属于属于非最非最小相（位）角系统。小相（位）角系统。小结：从对数幅值特性曲线看小结：从对数幅值特性曲线看（1）比例环节的对数幅值曲线是平行于横轴的水平线，与横轴）比例环节的对数幅值曲线

28、是平行于横轴的水平线，与横轴距离随比例系数的不同而不同。距离随比例系数的不同而不同。（2）无论一阶或二阶环节，其低频渐进线都是）无论一阶或二阶环节，其低频渐进线都是0 dB，而高频，而高频渐进线则与阶数有关，阶数每增加渐进线则与阶数有关，阶数每增加1，其斜率每十倍频程增加，其斜率每十倍频程增加20 dB，符号取决于该环节是处于传递函授的分子还是分母，符号取决于该环节是处于传递函授的分子还是分母，在分子中取正号，在分母中取负号。在分子中取正号，在分母中取负号。（3）积分环节和理想微分环节均过（）积分环节和理想微分环节均过（1，0）点，并以）点，并以20 dB/dec的斜率下降或上翘。的斜率下降或

29、上翘。（4）延时环节的对数幅频特性曲线就是）延时环节的对数幅频特性曲线就是0 dB线。线。从相频特性曲线看从相频特性曲线看（1）比例环节的相频特性始终是）比例环节的相频特性始终是0 （ （2）一）一阶环节阶环节在在090之之间间，二，二阶环节阶环节在在0180之之间间随随频频率增率增加而加而变变化。相角前的符号取决于化。相角前的符号取决于该环节该环节是是处处于于传递传递函授的位置，函授的位置，在分子中取正号，在分母中取在分子中取正号，在分母中取负负号。号。（ （3） ）积积分分环节环节和理想微分和理想微分环节环节始始终终是是+90或或-90。6-4 系统开环频率特性系统开环频率特性 设单位反馈

30、控制系统由设单位反馈控制系统由n个典型环节组成，即个典型环节组成，即niisGsG1)()(则开环频率特性则开环频率特性 niijniijniiniiejGejGjGjG1)(1)(11| )(| )(|)()(开环对数特性开环对数特性 | )(|lg20)(lg20)(1niijGjGL开环相频特性开环相频特性 niijG1)()()(可见：系统开环对数频率特性等于各环节的对数幅频特性之和；可见：系统开环对数频率特性等于各环节的对数幅频特性之和；系统开环相频特性等于各环节相频特性之和。系统开环相频特性等于各环节相频特性之和。一系统开环对数频率特性的绘制一系统开环对数频率特性的绘制例例1 某单

31、位反馈系统，其开环传递函数为某单位反馈系统，其开环传递函数为) 1()(TssKsG式中式中K=7，T=0.087。要求绘制近似对数幅频曲线和对数相频。要求绘制近似对数幅频曲线和对数相频曲线，并修正近似对数幅频曲线。曲线，并修正近似对数幅频曲线。解：系统由比例、积分和惯性解：系统由比例、积分和惯性3个典型环节组成：个典型环节组成：7)(1sG902.16)(lg20)(11jGL0)(1积分环节：积分环节：ssG1)(2lg20)(lg20)(22jGL0290)(穿越频率穿越频率惯性环节惯性环节1087. 01)(3ssG233)087.0(1lg20)(lg20)(jGL)087. 0()

32、(13tg转折频率转折频率sec/4943.111radTTsec/1radc 将以上将以上3个环节的对数幅频特性和个环节的对数幅频特性和相频特性图分别相加，得到系统的相频特性图分别相加，得到系统的开环对数幅频特性和相频特性图。开环对数幅频特性和相频特性图。比例环节：比例环节：) 1()(TssKsG例例2 设某反馈系统的开环传递函数为设某反馈系统的开环传递函数为) 5)(2(100)(ssssGk试绘制其波德图。试绘制其波德图。解：将开环转递函数化为典型环节的标准形式：解：将开环转递函数化为典型环节的标准形式：) 151)(121(10) 5)(2(100)(sssssssGk 系统由比例、

33、积分和惯系统由比例、积分和惯性性4个典型环节组成。个典型环节组成。比例环节：比例环节：10)(1sG20)(lg20)(11jGL0)(1积分环节：积分环节：ssG1)(2lg20)(lg20)(22jGL0290)(穿越频率穿越频率sec/1radc惯性环节惯性环节15 . 01)(3ssG233)5 . 0 (1lg20)(lg20)(jGL)5 . 0()(13 tg转折频率转折频率sec/21radTT惯性环节惯性环节12 . 01)(4ssG243)2 . 0(1lg20)(lg20)(jGL)2 .0()(14tg转折频率转折频率sec/51radTT系统的开环波德图的绘制步骤系统

34、的开环波德图的绘制步骤（1） 把系统开环传递函数化为典型环节（时间常数形式）组把系统开环传递函数化为典型环节（时间常数形式）组成形式。成形式。（2） 选定各坐标轴的比例尺。选定各坐标轴的比例尺。（3） 确定转折（交接）频率并沿频率轴由小到大标出。确定转折（交接）频率并沿频率轴由小到大标出。（4） 计算比例环节的对数幅值：计算比例环节的对数幅值：20lgK(dB)。（5）找到）找到=1及及 幅值为幅值为20lgK的一点，通过该点作斜率为的一点，通过该点作斜率为-20dB/dec的直线（的直线（为积分环节的个数）。如不存在积分为积分环节的个数）。如不存在积分环节，则作一条幅值为环节，则作一条幅值为

35、20lgK的水平线。的水平线。（8）写出相频特性表达式，计算）写出相频特性表达式，计算=0、及转折（交接）频率及转折（交接）频率处的相角，描点可得相频特性曲线。注意相频特性的奇对称性。处的相角，描点可得相频特性曲线。注意相频特性的奇对称性。（6）在每个转折（交接）频率处，改变渐进线的斜率。对于）在每个转折（交接）频率处，改变渐进线的斜率。对于分母一、二阶系统，斜率分别为分母一、二阶系统，斜率分别为-20dB/dec和和-40dB/dec；对；对于分子一、二阶系统，斜率分别为于分子一、二阶系统，斜率分别为20dB/dec和和40dB/dec。（7） 修正近似的对数幅频曲线，得较精确的对幅频特性。

36、修正近似的对数幅频曲线，得较精确的对幅频特性。（2）一般来说，控制系统的开环对数幅频特性的渐近线）一般来说，控制系统的开环对数幅频特性的渐近线是单调下降的。这是因为实际系统中多数环节是对数幅是单调下降的。这是因为实际系统中多数环节是对数幅频特性斜率为负的积分因子、惯性因子和振荡因子等，频特性斜率为负的积分因子、惯性因子和振荡因子等，只有少数特性是正斜率的微分因子。所以系统的对数幅只有少数特性是正斜率的微分因子。所以系统的对数幅频特性的渐近线，当频特性的渐近线，当由低变高时，其总的变化趋势是由低变高时，其总的变化趋势是下降的，也说明控制系统具有低通性能、抗干扰能力。下降的，也说明控制系统具有低通

37、性能、抗干扰能力。从绘制系统开环对数频率特性曲线的过程中看到从绘制系统开环对数频率特性曲线的过程中看到（1）对数幅频特性和相频特性各段之间有对应关系。）对数幅频特性和相频特性各段之间有对应关系。从从Bode图上可以看出，斜率为图上可以看出，斜率为-20dB/dec的频段，相的频段，相频特性接近于频特性接近于-90；斜率为；斜率为-40dB/dec的频段，相频的频段，相频特性接近于特性接近于-180。二、系统开环幅相特性图的绘制二、系统开环幅相特性图的绘制1系统开环幅相特性图的起点和终点系统开环幅相特性图的起点和终点设系统开环传递函数具有典型环节（时间常数）标准形式：设系统开环传递函数具有典型环

38、节（时间常数）标准形式：njijmiisTssKsG11) 1() 1()(njijmiijTjjKjG11) 1()() 1()(式中式中：n为分母的阶数为分母的阶数,m为分子的阶数为分子的阶数,为积分环节的个数。为积分环节的个数。mn（1）起始点（）起始点（0）a0型系统：型系统：KjGA| )0(|)0(00)0()0(jG b型系统：型系统：)0(A090)0(c型系统及其以上的系统：型系统及其以上的系统：)0(A090)0( 幅相频率特性曲线的起点完全由开环系统幅相频率特性曲线的起点完全由开环系统K和积分环和积分环节的个数（系统的型次）节的个数（系统的型次）决定。决定。（2）终止点（

39、）终止点（）幅值幅值 0| )(|)(jGAmn)90)()()(0mnjG相角相角 miinjjtgTtg11110)90()(时当)90)()90()90)()90()(0000mnmn 幅相频率特性曲线的终点以幅相频率特性曲线的终点以 角度终止于原点。角度终止于原点。)90)(0mn（3）与实轴或虚轴的交点）与实轴或虚轴的交点)Im()Re()(jjG与实部交点与虚部交点0)Im(0)Re(将开环幅相频率特性写成代数（实部和虚部）形式，令虚部等将开环幅相频率特性写成代数（实部和虚部）形式，令虚部等于零，求得与实部交点；令实部等于零，求得与虚部的交点。于零，求得与实部交点；令实部等于零，求

40、得与虚部的交点。 例：绘制例：绘制) 1() 1()()(2TsssKsHsG （T）的幅相频率特性的大致图形。）的幅相频率特性的大致图形。 解：解： ) 1()() 1(11) 1()() 1()()(222222222211TTjKTKeTKjTjjKjHjGTtgtg型系统型系统)0(A00018090290)0(起点起点终点终点 0)(A000180)90)(13()90)()(mn)()(1111tgTtgTtgtg时，由当0)(A由负无穷大趋近于零，由负无穷大趋近于零，由)(变到变到与实轴的交点与实轴的交点:0) 1()(222TTK即在原点。即在原点。同理与虚轴的交点同理与虚轴的

41、交点2系统奈氏曲线的作图步骤：系统奈氏曲线的作图步骤：1）将频率特性写成）将频率特性写成)()()(jeAjG代数形式代数形式)Im()Re()(jjG2）分别求出）分别求出)()(、A的起点和终点、的起点和终点、与实轴的交点或与虚轴的交点。与实轴的交点或与虚轴的交点。3) 补充必要的几点补充必要的几点根据根据 的变化趋势，画奈氏曲的变化趋势，画奈氏曲线的大致形状。线的大致形状。)()(、A复指数形式复指数形式例例6-4 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数)5)(1(10)()(ssssHsG试大致绘出开环幅相图并求出与实轴的交点频率与交点值。试大致绘出开环幅相图并求出与实轴的交点频率与

42、交点值。，解：系统开环频率特性为解：系统开环频率特性为)5()6(10)5)(1(10)()(22jjjjjHjG 开环传递函数中有开环传递函数中有1个积分环节，个积分环节，型系统。型系统。 幅频特性曲线起点在相角为幅频特性曲线起点在相角为-90，幅值为无穷大处。，幅值为无穷大处。3mn又 幅频特性终点是以幅频特性终点是以-270进入原点。进入原点。052sec/5radg 将将5g代入频率特性，求得与实轴的交点值。代入频率特性，求得与实轴的交点值。33. 0|)5()6(10| )()(|5225jjHjG令开环频率特性虚部为零，即令开环频率特性虚部为零，即6-5 奈奎斯特（奈奎斯特（H.N

43、yquist）稳定判据）稳定判据两种频率稳定判据：奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据两种频率稳定判据：奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据 奈奎斯特稳定判据（简称奈氏判据）是利用系统的开环频奈奎斯特稳定判据（简称奈氏判据）是利用系统的开环频率曲线去判断其闭环系统稳定性的一种准则。与劳斯判据相比，率曲线去判断其闭环系统稳定性的一种准则。与劳斯判据相比，奈斯判据不仅能判明系统是否稳定，还可判知系统稳定或不稳奈斯判据不仅能判明系统是否稳定，还可判知系统稳定或不稳定的程度，并能看出开环增益定的程度，并能看出开环增益K或其它系统参数对系统稳定性或其它系统参数对系统稳定性的影响，便于对系统稳定性进行定性与定

44、量的研究。此外，对的影响，便于对系统稳定性进行定性与定量的研究。此外，对含有延时环节的系统，劳斯判据无法使用，而奈斯判据仍然可含有延时环节的系统，劳斯判据无法使用，而奈斯判据仍然可以判别其稳定性。以判别其稳定性。 对数频率稳定判据与奈奎斯特判据本质上是一样的，是对数频率稳定判据与奈奎斯特判据本质上是一样的，是根据开环系统的对数频率特性曲线判断闭环系统的稳定性。根据开环系统的对数频率特性曲线判断闭环系统的稳定性。频率稳定判据的特点：频率稳定判据的特点：（1）应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性；）应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性；（3）容易研究包含延迟环节系统的稳定性；）容易研究包含延迟环节系统

45、的稳定性；（4）奈氏判据稍加推广还可以用来分析某些非线性系统的稳定性。）奈氏判据稍加推广还可以用来分析某些非线性系统的稳定性。 （2）便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响；）便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响；一系统开环频率特性和闭环特征式的关系一系统开环频率特性和闭环特征式的关系设设)()()()(sNsMsHsG 则则)()(1)()()(1)()(sNsMsGsHsGsGs辅助函数辅助函数)(sF)()()()()()()()()(1)()(1)(2121nnpspspssssssssNsMsNsNsMsHsGsF nss ，1为为0)()(sMsN的根，即闭环特征根；的根，即

46、闭环特征根；npp ，1为为0)(sN的根，即开环特征根。的根，即开环特征根。 开环频率特性与闭环特征时的关系：开环频率特性与闭环特征时的关系： )()()()()()(1)(2121nnpjpjpjsjsjsjjHjGjF F（s）的特点：）的特点：（1）其零点和极点分别是闭环和开环系统的特征根；）其零点和极点分别是闭环和开环系统的特征根；（2）零点和极点个数相同；）零点和极点个数相同；（3）F（s）和）和G（s）H（s）只差常数）只差常数1。 二奈奎斯特稳定判据二奈奎斯特稳定判据 若开环系统不稳定，有若开环系统不稳定，有P个虚轴右侧根，欲使闭环系统稳定个虚轴右侧根，欲使闭环系统稳定的充要条

47、件：当的充要条件：当 从从0变化到变化到+ 时，向量时，向量1+G(j) H(j) 的幅角的幅角变化为变化为 p，即向量，即向量1+G(j) H(j)绕原点的转角为绕原点的转角为p。 又又 1+G(j) H(j)绕原点的转角等于绕原点的转角等于G(j) H(j)绕（绕（-1，j0）点的转角）点的转角 系统开环有系统开环有P个特征根在个特征根在S平面虚轴的右侧，当平面虚轴的右侧，当 由零变由零变到无穷大时，若开环幅相频率到无穷大时，若开环幅相频率特性特性G(j) H(j)逆时针绕（逆时针绕（-1，j0）的转角为）的转角为p ，则系统在，则系统在闭环状态下是稳定的。反之，闭环状态下是稳定的。反之，

48、系统闭环后是不稳定的系统闭环后是不稳定的1开环传递函数中不含有积分环节时奈氏判据的应用开环传递函数中不含有积分环节时奈氏判据的应用特例特例：如果系统开环是稳定的（：如果系统开环是稳定的（P=0），当频率），当频率 由零变到无穷由零变到无穷大时，若开环幅相频率特性大时，若开环幅相频率特性)()(jHjG的转角为零，则系统在闭环状态下是稳定的。反之，系统在闭环的转角为零，则系统在闭环状态下是稳定的。反之，系统在闭环状态下是不稳定的。状态下是不稳定的。逆时针绕（逆时针绕（-1，j0） 如下图，开环系统都是稳定的，但闭环系统图（如下图，开环系统都是稳定的，但闭环系统图（a）稳）稳定，图定，图(b)不稳

49、定，图（不稳定，图（c）临界稳定。）临界稳定。例例6-5 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数) 3)(2)(1(100)()(ssssHsG试用奈氏判据判断系统闭环状态的稳定性。试用奈氏判据判断系统闭环状态的稳定性。解：解： 开环特征根开环特征根11p21p31p开环稳定，即开环稳定，即P=0。开环幅相特性图。开环幅相特性图:0型系统，型系统，3n0mmn三个特征根均在虚轴左侧，三个特征根均在虚轴左侧，起点：起点：667.16| )0(|)0(KjGA00)0()0(jG，在实轴上。，在实轴上。终点：终点：0| )(|)(jGA00270)90)()()(mnjG，进入原点。，进入原点。

50、与虚轴的交点：与虚轴的交点：)11()66 (100) 3)(2)(1(100)()(32jjjjjHjG0)11(3令令 11667. 1666100| )()(|jHjG)()(jHjG逆时针绕（逆时针绕（-1，j0）的的转转角不角不为为零，零，为为-360 系统闭环状态是不稳定的。系统闭环状态是不稳定的。三开环传递函数中含有积分环节时奈氏判据的应用三开环传递函数中含有积分环节时奈氏判据的应用对于最小相角系统，如果开环传递函数包含积分环节，且假定对于最小相角系统，如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为个数为,则绘制开环幅相曲线则绘制开环幅相曲线)()(jHjG点开始，反时针方向补画点开

51、始，反时针方向补画42n）个半径为无穷大的圆终止在）个半径为无穷大的圆终止在后，应从频率后，应从频率0+对应的对应的实轴上，然后按用奈氏判据判断系统闭环状态的稳定性。实轴上，然后按用奈氏判据判断系统闭环状态的稳定性。 图（图（a）、（）、（b）、（）、（c）稳定、图（）稳定、图（d）不稳定。）不稳定。（四利用开环对数频率判断闭环系统的稳定性四利用开环对数频率判断闭环系统的稳定性1、正负穿越定义、正负穿越定义穿越穿越：指在幅相曲线中，曲线穿过实轴区间（指在幅相曲线中，曲线穿过实轴区间（- - ，-1-1）。）。 在对数频率特性中，是指当在对数频率特性中，是指当L(L( )0)0时，相频特性曲线时

52、，相频特性曲线 （ ）穿过）穿过-180-180线。线。正穿越：正穿越： 对幅相曲线：对幅相曲线： 负负穿越穿越 ： ： 增大时，相角增加的穿越为正穿越（从增大时，相角增加的穿越为正穿越（从-180线开始的正线开始的正穿越穿越 为为半次正穿越）。半次正穿越）。 增大时，相角减小的穿越为负穿越（从增大时，相角减小的穿越为负穿越（从-180线开始的线开始的负穿越负穿越 为半次负穿越）。为半次负穿越）。 )()(jHjG曲线由上向下穿过实轴区间（曲线由上向下穿过实轴区间（- ，-1）段，）段，)()(jHjG曲线由下向上穿过实轴区间（曲线由下向上穿过实轴区间（- ，-1）段，）段，为正穿越为正穿越.

53、为负穿越。为负穿越。四利用开环对数频率判断闭环系统的稳定性四利用开环对数频率判断闭环系统的稳定性1、正负穿越定义、正负穿越定义穿越穿越：指在幅相曲线中，曲线穿过实轴区间（指在幅相曲线中，曲线穿过实轴区间（- - ，-1-1）。在对数）。在对数频率特性中，是指当频率特性中，是指当L(L( )0)0时，相频特性曲线时，相频特性曲线 （ ）穿过）穿过-180-180线。线。正穿越：正穿越： 对幅相曲线：对幅相曲线： 负负穿越穿越 ： ： 增大时，相角增加的穿越为正穿越（从增大时，相角增加的穿越为正穿越（从-180线开始的正线开始的正穿越穿越 为为半次正穿越）。半次正穿越）。 增大时，相角减小的穿越为

54、负穿越（从增大时，相角减小的穿越为负穿越（从-180线开始的线开始的负穿越负穿越 为半次负穿越）。为半次负穿越）。 )()(jHjG曲线由上向下穿过实轴区间（曲线由上向下穿过实轴区间（- ，-1）段，）段，)()(jHjG曲线由下向上穿过实轴区间（曲线由下向上穿过实轴区间（- ，-1）段，）段，为正穿越为正穿越.为负穿越。为负穿越。对对对对数数频频率特性：率特性： 相相频频特性曲特性曲线线 （ （ ） ）从下向上穿从下向上穿过过-180 线线， ，为为正穿越正穿越 相相频频特性曲特性曲线线 （ （ ）从上向下穿）从上向下穿过过-180 线线， ，为负为负穿穿越。越。2)()(jHjG的幅相特性

55、图与对数频率特性图之间的对应关系的幅相特性图与对数频率特性图之间的对应关系的圆的圆对数特性图对数特性图（1）幅相特性图上）幅相特性图上1R0）（LdB线；线；1R的圆的圆对数特性图对数特性图0）（LdB；1R的圆的圆对数特性图对数特性图0）（LdB。（2）相频特性图上的负实轴）相频特性图上的负实轴对数特性图上对数特性图上 （ ）=-180线。线。3对数频率稳定判据对数频率稳定判据闭环闭环系系统稳统稳定的充要条件：定的充要条件： 在开环对数幅频特性在开环对数幅频特性0）（L频段内，对数相频特性频段内，对数相频特性）（与与 dB所有所有-180线的正穿越与负穿越次数线的正穿越与负穿越次数之差之差为

56、为P/2。 。这这里里P是开是开环传递环传递函数中函数中处处于虚于虚轴轴右右侧侧的极点数目。若的极点数目。若 P=0（开环稳定）时，则上述正负穿越次数之差等于零，即正负（开环稳定）时，则上述正负穿越次数之差等于零，即正负穿越次数相等。穿越次数相等。图图6-24（b）中，正负穿）中，正负穿越次数各越次数各1次，若次，若P=0，则闭环系统稳定。则闭环系统稳定。4应用对数频率应用对数频率稳定判据判断多稳定判据判断多环系统稳定性环系统稳定性) 102. 0)(12 . 0(100)()(ssssHsG例例6-6 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数试用对数频率特性判断该系统是否稳定。试用对数频率特性判断该系统是否稳定。解：开环传递函数的解：开环传递函数的Bode图如图图如图6-25所示。所示