第二章投影基础1(2013)

1、第二章第二章 投影基础投影基础21 21 正投影的基本知识正投影的基本知识物体的投影物体的投影假设光线透过物体使假设光线透过物体使其各顶点和各条棱线都在投影面上其各顶点和各条棱线都在投影面上透射出它们的影，形成一个图形。透射出它们的影，形成一个图形。投影法投影法作出物体投影的方法。作出物体投影的方法。 透视图透视图斜轴测图斜轴测图视图视图剖视图剖视图正轴测图正轴测图地形图地形图投影法分类投影法分类完整的设计表达需要采用不同的投影法完整的设计表达需要采用不同的投影法正投影正投影轴测投影轴测投影透视投影透视投影标高投影标高投影中心投影法中心投影法投射线投射线投射中心投射中心物体物体投影面投影面投影

2、投影物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。离对投影的大小有影响。 近大远小，度量性较差。近大远小，度量性较差。中心投影法投影特性中心投影法投影特性平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投射线互相平行投射线互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面投射线互相平行投射线互相平行且倾斜于投影面且倾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法平行投影法投影特性平行投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好度量性较好工程图样工程图样（设

3、计图、施工图）主要采用正投影法绘制。（设计图、施工图）主要采用正投影法绘制。VVH1、物体上与投影面平行的平面的投、物体上与投影面平行的平面的投影反映实形；与投影面平行的线段的影反映实形；与投影面平行的线段的投影反映其实长。投影反映其实长。2、物体上与投影面垂直的平面的投、物体上与投影面垂直的平面的投影成为一直线；与投影面垂直的直线影成为一直线；与投影面垂直的直线的投影成为一点。的投影成为一点。3、物体上倾斜于投影面的平面的投、物体上倾斜于投影面的平面的投影成为缩小的类似形；倾斜于投影面影成为缩小的类似形；倾斜于投影面的直线的投影比实长短。的直线的投影比实长短。单一正投影不能完全确定单一正投影

4、不能完全确定物体的形状和大小物体的形状和大小二个投影二个投影两面正投影也不能唯一确定两面正投影也不能唯一确定物体的形状和大小物体的形状和大小三面正投影能够完全确定三面正投影能够完全确定物体的形状和大小物体的形状和大小HWV三投影面三投影面正立投影面（简称正正立投影面（简称正 面或面或V面）面）水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面或平面或H面）面）侧立投影面（简称侧侧立投影面（简称侧 面或面或W面）面）三投影轴三投影轴oXZOX轴轴 V面与面与H面的交线面的交线OZ轴轴 V面与面与W面的交线面的交线OY轴轴 H面与面与W面的交线面的交线Y三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直VWHxz0yH

5、yW俯视俯视主视主视左视左视YXZO规定规定 : V面保持不动，面保持不动，H面向下向后绕面向下向后绕OX轴旋转轴旋转900，W面向右向后绕面向右向后绕OZ轴旋轴旋转转900。V面投影图面投影图 物体的正立面投影物体的正立面投影H面投影图面投影图 物体的水平投影物体的水平投影W面投影图面投影图 物体的侧立面投影物体的侧立面投影通常不画投影轴通常不画投影轴高高长长宽宽长长高高长长宽宽高高宽宽 V面投影面投影长、高长、高 H H面投影面投影长、宽长、宽 W W面投影面投影高、宽高、宽OXY ZVWH每个投影反每个投影反映两维尺寸映两维尺寸 V、H投影长相等且对正投影长相等且对正V、W投影高相等且平

6、齐投影高相等且平齐H、W投影宽相等且对应投影宽相等且对应 长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐长长高高OXY ZVWH上上下下左左右右后后上上下下前前后后左左右右前前上上下下左左右右前前后后每个投影反映每个投影反映长、宽、高三长、宽、高三方向中的两向方向中的两向V面投影面投影图图H面投影面投影图图W面投影面投影图图上上下下左左右右上上下下左左右右 （1）将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行）将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定或垂直，进而确定V面投影图的投影方向面投影图的投影方向 （2）一般先从）一般先从V面投影图开始画，每一形体的三个视面投影图开始画，每一形体的三

7、个视图要结合起来画，整体和局部都要符合三视图的投影规律图要结合起来画，整体和局部都要符合三视图的投影规律 （3）可见轮廓线用粗实线绘制可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用中不可见的轮廓线用中虚线绘制虚线绘制，当虚线与实线重合时画实线，当虚线与实线重合时画实线 （4）特别应注意）特别应注意 在工程制图中以视线作为互相平行的投影线将物体在工程制图中以视线作为互相平行的投影线将物体向投影面投射所得的图形称为向投影面投射所得的图形称为三投影成为三视图。三投影成为三视图。123表面平齐无线表面平齐无线主视主视例例 由立体图画三视图由立体图画三视图虚线虚线由后向前量宽由后向前量宽22 22 点的投影点

8、的投影 为了提高画图和读图的能力。需要学习为了提高画图和读图的能力。需要学习的理论和方法。的理论和方法。 点、线、面的投影分析点、线、面的投影分析是投影制图的基础。是投影制图的基础。 过空间点过空间点A的投射线与投影面的投射线与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。APa 空间点空间点A在三个投影面上的投影在三个投影面上的投影a 点点A的正面投影的正面投影a点点A的水平投影的水平投影a 点点A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。WHVoXa aa AZYWVH投影面展开投影面展开aaZaa y

9、ayaXYYO azxXYZOVHWAaa a xaazay点的投影规律点的投影规律: a a OX轴轴 a az = aay = XA（A到到W面的距离）面的距离） a a OZ轴轴 a ax =a a y = ZA (A到到H面的距离）面的距离）aax= a az= YA （A到到V面的距离）面的距离）yxzOAVHWaaaXZY画出画出A点投影图和举例点投影图和举例水平投影水平投影 a 反映反映A点点X和和Y的坐标；的坐标；正面投影正面投影 a反映反映A点点X和和Z的坐标；的坐标；侧面投影侧面投影a反映反映A点点Y和和Z的坐标。的坐标。点的坐标点的坐标: :点的投影与直角坐标的关系点的投

10、影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定三个坐标来确定。点的投影就反映了点的坐标值，其。点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。投影与坐标值之间存在着对应关系。 点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即已知一个点的任意两

11、个投影即可求出其第三投影。可求出其第三投影。a aaxa a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa HVOXb bc cCcca bBb Aaa a d d e e f f e f dzxYW YH0 d a a a各种位置点的投影各种位置点的投影 点的点的X X、Y Y、Z Z三个坐标均不为零，其三个三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影都不在投影轴上。 点的某一个坐标为零，其一个投影点的某一个坐标为零，其一个投影与自身重合，另外两个投影分别在投影轴上。与自身重合，另外两个投影分别在投影轴上

12、。 点的两个坐标为零，其两个投影与点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 点的三个坐标为零，三个投影都点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。与原点重合。 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下上下、前后前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之点之前、之右、之前、之右、之下。下。b aa a b bXYHYWZa a aXZYWYHOb b b 9855作法一作法一作法二作法二两点的相对位置

13、两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或离远近（或坐标差的大小坐标差的大小）来确定的。）来确定的。 X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；坐标值大的点在前；Z坐坐标值大的点在上。标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，即使差，即使没有投影轴，也可以确定该点的空间位置并没有投影轴，也可以确定该点的空间位置并作出其三面投影作出其三面投影。不画坐标轴的图称为无轴图。不画坐标轴的图称为无轴图。 空间两点在某一投影空间两点在某一投影面上的投影面上的投影重

14、合为一点重合为一点时，则称此两点为时，则称此两点为该投该投影面影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点被挡住的投被挡住的投影加影加( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a a c c ( )a ccd(c)dCDa(b)abAB重影点及可见性判别重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的投影面的重影点重影点。 从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮

15、住而不可见。另一个点的投影遮住而不可见。 判断重影点的可见性时，判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一需要看重影点在另一投影面上的投影，投影面上的投影，坐标值大的点的投影可见，反之坐标值大的点的投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。不可见，不可见点的投影加括号表示。2.3 2.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。同名投影。ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 a(b)(m)直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长

16、 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabmaa a b b b1、直线投影的基本特性、直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下， 直线的投影仍直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。然为直线，特殊情况为一个点。2 2、直线对投影面的相对位置、直线对投影面的相对位置投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面

17、）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的夹角面的夹角: 与与W面的夹角面的夹角: b a aba b b aa b ba 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的倾角。并反映直线与另两投影面的倾角。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：实长实长实长实长实长实

18、长ba aa b b 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，反映线段实长。且垂直反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。 在其垂直的投影面上，投影有积聚性在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )投影特性：投影特性： 三个投影都缩短。三个投影都缩短。 即即: 都不反映空间都不反映空间线段的实长及与三个投线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。三根投影轴都倾斜。abb a b a |zA-zB |A

19、BABbbaaB1XO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abABbbaaXO|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|A1XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|。ABab|zA-zB|投影分析：投影分析：用直角三角形法求水平投影用直角三角形法求水平投影a XABa45AB30ab|yA-yB|zA-zB|yA-yB|bb。a1|zA-zB|abABab|zA-zB|b Xa bABa2二解二解投影分析：投影分析：用直角三角形法求水平投影用直角三角形法求水平投影AB另一解法另一解法?由由

20、ab和实长求和实长求y|yA-YB |1 1、直线上的点、直线上的点ABbbaaXOccCcabca b c 若点在直线上，则点的若点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上；投影必在直线的同名投影上；并将线段的同名投影分割成与并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：空间相同的比例。即： 若点的投影有一个不在直若点的投影有一个不在直线的同名投影上，或者不成比例线的同名投影上，或者不成比例分割，则该点必不在此直线上。分割，则该点必不在此直线上。判别点是否在直线上判别点是否在直线上AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理点点C不在不在直线直线

21、AB上上例例3：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。abca b c c abca b 点点C在直在直线线AB上上一般位置直线两个投影就可以判断点是否在直线一般位置直线两个投影就可以判断点是否在直线上上例例4：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法?在直线上取点的投影在直线上取点的投影例题例题5 已知直线已知直线AB的投影，在直线上取一点的投影，在直线上取一点K，使，使AK:KB=3:2。bXaabkkbXkaabk3232akkbbb

22、XaaBC例例6 6 已知线段已知线段AB AB 的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段AB AB 的点的点C C 的投的投影，使影，使BCBC 的实长等于已知长度的实长等于已知长度L L。cLABzA-zBcabL2 2、直线的迹点、直线的迹点定义：定义：直线与投影面的交点称为该直线的迹点。它是直线与投影面的交点称为该直线的迹点。它是属于直线上的属于直线上的。ABVHbb a aOXmmMNnnHOXVABM 直线的直线的水平面迹点水平面迹点与其水平投影重合，其它投影在投影轴上。与其水平投影重合，其它投影在投影轴上。 直线的直线的正面迹点正面迹点与其正面投影重合，其它投影在投影轴上。与

23、其正面投影重合，其它投影在投影轴上。 投影面平行线只有两个迹点，投影面垂直线只有一个迹点。投影面平行线只有两个迹点，投影面垂直线只有一个迹点。例例7 求直线求直线AB的迹点的迹点ababnnababnnmm平行平行相交相交交叉交叉垂直相交垂直相交空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉交叉。1、两直线平行、两直线平行投影特性：投影特性： 空间两直线平行，空间两直线平行，则其各则其各同名投影同名投影必相必相互平行。互平行。 空间两直线的各空间两直线的各同名投影同名投影相互平行，相互平行，则空间两直线平行。则空间两直线平行。aVHc bcdABCDb d a a

24、bcdc a b d 对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直线特殊位置直线，只，只有两个同名投影互相平行，有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例9：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 判别方法：判别方法： 若

25、空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点例例10：作直线：作直线KL与已知直线与已知直线AB、CD相交，并与相交，并与直线直线EF平行。平行。abefcdabc (d)l(l)kkefd b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影。判断！判断！123 4

26、 两直线相交吗？两直线相交吗？XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12两直线交叉应判断两直线重影点的可见性两直线交叉应判断两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的可判断重影点的可见性时，见性时，坐标值大的点，坐标值大的点投影可见，反之不可投影可见，反之不可见，不可见点的投影见，不可见点的投影加括号表示。加括号表示。例例11 11 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)例例12 12 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置baacddcb

27、X11d1c1两直线交叉两直线交叉dacboYWYHZXaacddcbb例例13 13 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置两直线交叉两直线交叉直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB, 同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.：证：证：作作ACMNACMN，则，

28、则AC AC AB AB；因；因mn mn acac，则则有有mnmn ab ab。设设 MN MN AB AB直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直ABAB为正平线为正平线, , 正面投影反映直角。正面投影反映直角。d abca b c d.ababX例例15 已知矩形已知矩形ABCD一边一边AB的两投影和另一边的两投影和另一边AD的正面投影的正面投影ad，完成矩形的两投影。，完成矩形的两投影。ababXddccd投影分析投影分析bbcABa b |yA-yB|b c =BCcaa例例16 16 作三角形作三角形ABC， ABC为直角，使直角边为直角，使直角边BC在在MN上，且上，且BC AB =2 3。投影分析：投影分析：MN是正平线，是正平线，abmnbc反映实长，等于反映实长，等于2/3AB。 点与直线的投影特