吉林大学工程流体力学第2章流体静力学

1、第第2 2章章 流体静力学流体静力学n研究研究平衡流体平衡流体的力学规律及其应用的科学。的力学规律及其应用的科学。什么是平衡？什么是平衡？平衡包括两种：平衡包括两种： 1、绝对平衡：重力场中的流体平衡、绝对平衡：重力场中的流体平衡 流体对地球无相对运动；流体对地球无相对运动； 2、流体的相对平衡、流体的相对平衡 流体对运动容器无相对运动。流体对运动容器无相对运动。 0dydV 定义：作用在流体质点上，大小与定义：作用在流体质点上，大小与流体质点质流体质点质量成正比量成正比的力，它是非接触力，有些教材也称的力，它是非接触力，有些教材也称为超常力。为超常力。重力：重力：惯性力：动力学问题按静力惯性

2、力：动力学问题按静力 学求解时虚拟的力学求解时虚拟的力质量力：质量力：2.1.1 质量力质量力 另：除了和质量有关的重力和惯性力，流体还可另：除了和质量有关的重力和惯性力，流体还可能受到其他一些能受到其他一些非接触力非接触力，如电场力和磁场力，如电场力和磁场力，这些力虽然与流体质量无直接关系，在静力学分这些力虽然与流体质量无直接关系，在静力学分析中，仍把它们称为质量力。析中，仍把它们称为质量力。在流体力学中，常用到单位质量力的概念。在流体力学中，常用到单位质量力的概念。单位质量流体所受的质量力称单位质量力。单位质量流体所受的质量力称单位质量力。mmmamammFfzyxfff、单位质量力单位质

3、量力作用在流体质点上的质量力作用在流体质点上的质量力其中：其中：)(kfjfifdmadmFdzyxmm是单位质量力在是单位质量力在x、y、z轴上的投影轴上的投影简称单位质量分力。简称单位质量分力。 定义：作用在流体表面上，且与表面积大小定义：作用在流体表面上，且与表面积大小成正比成正比 的力。的力。 表面力分为两种：一种是沿着表面表面力分为两种：一种是沿着表面内法线方内法线方向向的的压力压力，一种是沿着，一种是沿着表面切向表面切向的摩擦力。的摩擦力。 法向力（流体静压力）法向力（流体静压力）dydVAFA0lim2.1.2 表面力表面力切向力（平衡流体切向力（平衡流体 =0） npdAFA2

4、.1.3 流体静压力和流体静压强流体静压力和流体静压强作用在平衡流体上的表面力只有沿作用在平衡流体上的表面力只有沿受压表面内法线方受压表面内法线方向向的流体静压力。的流体静压力。一般来说，受压表面各点流体静压力的强度并不一定一般来说，受压表面各点流体静压力的强度并不一定相等，某点流体静压力的强弱用该点的压强来表示。相等，某点流体静压力的强弱用该点的压强来表示。一点的流体静压强为一点的流体静压强为 ：0limAFdFpAdA 作用在某个有限表面的静压力为：作用在某个有限表面的静压力为：n ：微元面积外法线方向的单位矢量。：微元面积外法线方向的单位矢量。流流体静压强具有等值性：静止流体内部任意一点

5、的流体静压体静压强具有等值性：静止流体内部任意一点的流体静压强在各方向等值，即强在各方向等值，即 故故流体静压力的方向沿作用面的内法线方向。流体静压力的方向沿作用面的内法线方向。n流体静压力是作用在受压面上的总作用力矢量（具有大小、流体静压力是作用在受压面上的总作用力矢量（具有大小、方向、作用点），单位符号是方向、作用点），单位符号是N，用大写字母，用大写字母 来表示。它来表示。它的大小和方向均与受压面有关，的大小和方向均与受压面有关，方向是沿受压面内法线方向。方向是沿受压面内法线方向。F流体的压强则是一点上静压力的强度，单位符号流体的压强则是一点上静压力的强度，单位符号Pa,用小写字用小写字

6、母母p来表示。它是一个标量，只有大小没有方向。来表示。它是一个标量，只有大小没有方向。流体静压力和流体静压强区别流体静压力和流体静压强区别xyzpppp流体静压强两个重要特性流体静压强两个重要特性),(zyxpp 2.2流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式2.2.1 流体平衡微分方程式的导出流体平衡微分方程式的导出 从静止流体中取出一个边长为从静止流体中取出一个边长为dx、dy、dz的微元平行六的微元平行六面体，对其进行受力分析。面体，对其进行受力分析。流体平衡微分方程导出示意图流体平衡微分方程导出示意图 由于微元六面体处于平衡状态，故在由于微元六面体处于平衡状态，故在X X方向有：方向有：化

7、简，得化简，得同理可求得同理可求得y y、z z方向的平衡方程。方向的平衡方程。11()()022xpppdx dydzpdx dydzfdxdydzxx10 xpfx流体平衡微分方程式（流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程式欧拉平衡方程式 ）矢量形式：矢量形式：方程物理意义：在静止流体中，作用在单位质量方程物理意义：在静止流体中，作用在单位质量流体上的流体上的 质量力与作用在该流体表面上的表面力相互质量力与作用在该流体表面上的表面力相互平衡。平衡。 010101zpfypfxpfzyx欧拉平衡方程是平衡流体中普遍适用欧拉平衡方程是平衡流体中普遍适用的一个基本公式，因为在推导过程中，的一个基本公式

8、，因为在推导过程中，质量力是空间任意方向，故它既适应质量力是空间任意方向，故它既适应于绝对静止，也适于相对静止。同时于绝对静止，也适于相对静止。同时推导过程中也不涉及流体的密度是否推导过程中也不涉及流体的密度是否发生变化，故它不仅适应于不可压缩发生变化，故它不仅适应于不可压缩流体，也适于可压缩流体。流体，也适于可压缩流体。流体静力学的一切其它计算公式都是流体静力学的一切其它计算公式都是以它为基础面推导出来的。以它为基础面推导出来的。10fgradpdiscussion 微元流体的质量力与该方向上表面力的合力应微元流体的质量力与该方向上表面力的合力应该大小相等、方向相反。该大小相等、方向相反。

9、平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压强沿该方向上必然发生变化；反之，如果哪个强沿该方向上必然发生变化；反之，如果哪个方向没有质量力分力，则流体静压强在该方向方向没有质量力分力，则流体静压强在该方向上保持不变。上保持不变。 假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体静压强必然处处相等，这正是在简化处理流体静压强必然处处相等，这正是在简化处理机械或仪器中气体平衡问题时所遇到的情况。机械或仪器中气体平衡问题时所遇到的情况。2.2.2 欧拉平衡方程式的综合形式欧拉平衡方程式的综合形式010101zpfypfxpfzy

10、x由由010101dzzpdzfdyypdyfdxxpdxfzyx相加，移项得：相加，移项得：dpdzfdyfdxfdzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx1)(1 质量力的势函数质量力的势函数xWfx yWfy zWfz 若有函数若有函数( , , )WW x y z能满足下述关系能满足下述关系()()xyzWWWf dxf dyf dzdxdydWxyz 有有()xyzdpf dxf dyf dz1()0 xyzpppf dxf dyf dzdxdyxyz由由结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩流体才能处结论：只有在有势的质量力作用下，不可压缩流体才能处 于平衡状态。于平

11、衡状态。2.2.3 等压面等压面1、流体中压强相等的点组成的面叫等压面。、流体中压强相等的点组成的面叫等压面。方程：方程：0dzfdyfdxfzyx2、等压面的选取、等压面的选取 （1）同种流体；）同种流体； （2）静止；）静止； （3）连续。）连续。例例1 1：1 1、2 2、3 3、4 4各点是否处在一个等压面各点是否处在一个等压面上？各点压强的大小关系如何。上？各点压强的大小关系如何。 2.3.1 不可压缩流体的静压强基本公式不可压缩流体的静压强基本公式综合方程：综合方程：现现故有：故有：积分有：积分有：即：即： ( (静压强基本公式静压强基本公式) )dpdzfdyfdxfzyx1gf

12、ffCzyx, 0,dpgdz1CpgzCgpz2.3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体Z Z：单位重力流体的位置势能：单位重力流体的位置势能 ：单位重力流体压强势能：单位重力流体压强势能 物理意义：平衡流体中任意点的总势能物理意义：平衡流体中任意点的总势能（包括位置势能和压强势能）保持不变。（包括位置势能和压强势能）保持不变。使用条件：重力场、不可压缩流体使用条件：重力场、不可压缩流体gp（1 1）静压强基本方程的物理意义）静压强基本方程的物理意义1.1.从量纲上分析；从量纲上分析；2.2.一定的流体静压强代一定的流体静压强代表使液柱上升一定高度表使液柱上升一定高度的势能。的势能。根据静

13、压强基本方程有：根据静压强基本方程有：可见可以用液柱高度表示单位重可见可以用液柱高度表示单位重力流体所具有的能量。力流体所具有的能量。重力流体的压强势能重力流体的压强势能C C点的总势能：点的总势能：A A点的总势能点的总势能：；0 hz；gPz根据静压强基本方程有：根据静压强基本方程有：gph 单位重力流体所具有的能量也可以用液单位重力流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，并称水头。柱高度来表示，并称水头。 Z Z ：位置水头：位置水头 ：压强水头：压强水头gp （2 2）静压强基本方程的几何意义）静压强基本方程的几何意义 流体的静水头线和计示水头线流体的静水头线和计示水头线流体静力学基本

14、方程几何意义：在重力作用下的连续均质不流体静力学基本方程几何意义：在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。可压缩静止流体中，静水头线和计示静水头线均为水平线。 （3）静压强分布规律）静压强分布规律静压强基本公式中的积分常数静压强基本公式中的积分常数C用平衡液体自由表用平衡液体自由表面上的边界条件：面上的边界条件：z=z0，p=p0来确定。于是有来确定。于是有gpzgpz00C（边界条件）（边界条件）h（ghpzzgpp000)(淹入系数，淹入系数，0)hzz移相，整理得：移相，整理得：hh上式就是自由表面的不可压缩重力流体中压强分布规上式就是自由表面的不可压

15、缩重力流体中压强分布规律的数学表达式，也是静力学基本方程的形式之一，式律的数学表达式，也是静力学基本方程的形式之一，式中中为距自由表面的深度。从该式中可以看出：为距自由表面的深度。从该式中可以看出：1.1.在重力作用下，液体内部的压强随深度在重力作用下，液体内部的压强随深度 线性增加；线性增加；在重力作用下的液体中，深度相同的各点静压强在重力作用下的液体中，深度相同的各点静压强亦相同。因此等压面是一水平面。亦相同。因此等压面是一水平面。2.3.2 2.3.2 可压缩流体的静压强分布公式（略）可压缩流体的静压强分布公式（略）静水力学基本方程演示静水力学基本方程演示1 1、2 2两点同种液体、静止

16、、连续，且在同一高度，是同一等两点同种液体、静止、连续，且在同一高度，是同一等压面；（重力场中等压面是水平面）压面；（重力场中等压面是水平面）2 2、3 3两点不满足连续条件，压强不一定相等；两点不满足连续条件，压强不一定相等；3 3、4 4两点不满足同种液体条件，压强不一定相等；两点不满足同种液体条件，压强不一定相等；事实上，事实上，4332PPPP，2.4 2.4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量2.4.1 静压强的计算单位静压强的计算单位 流体静压强的国际法定应力单位是流体静压强的国际法定应力单位是Pa(1 Pa Pa(1 Pa =1N/m=1N/m2 2 ) )，1bar=101b

17、ar=105 5 Pa Pa 。应力单位多用于理论。应力单位多用于理论计算。计算。 工程中习惯上用如下两种换算单位工程中习惯上用如下两种换算单位: :1)1)液柱高单位液柱高单位 液柱高液柱高 液柱高度位有米水柱液柱高度位有米水柱(mH(mH2 2O)O)、毫米汞柱、毫米汞柱(mmHg)(mmHg)等等, , 多用于实验室计量多用于实验室计量 。2 )2 )大气压单位大气压单位 1 1标准大气压标准大气压(atm)=101325Pa=760mmHg(atm)=101325Pa=760mmHg大气压单位多用于机械或航天行业大气压单位多用于机械或航天行业 。phg(1)(1)绝对压强：以绝对真空为

18、起点计算压强大绝对压强：以绝对真空为起点计算压强大小。小。(2)(2)计示压强：以计示压强：以当地大气压当地大气压为零计算的压强，为零计算的压强，比当地大气压大多少的压强，叫做计示压比当地大气压大多少的压强，叫做计示压强或表压强。强或表压强。(3)(3)真空度：某点压强低于当地大气压，其低真空度：某点压强低于当地大气压，其低于当地大气压的数值叫真空度。于当地大气压的数值叫真空度。2.4.2 2.4.2 静压强的计算标准静压强的计算标准绝对压强、相对压强与真空度的关系绝对压强、相对压强与真空度的关系绝对压强、相对压强、真空度绝对压强、相对压强、真空度绝对压强是以绝对真绝对压强是以绝对真空为起点，

19、其值恒大空为起点，其值恒大于于0 0；相对压强是以相对压强是以当地大当地大气压气压为起点，其值可为起点，其值可正可负，也可为正可负，也可为0.0.相相对压强又称计示压强；对压强又称计示压强；相对压强小于相对压强小于0 0时，其时，其数值的绝对值又称真数值的绝对值又称真空度。空度。真空度真空度2.4.3 静压强的测量静压强的测量（1 1）测压管（最简单的液柱式测压计）测压管（最简单的液柱式测压计）预测量容器（管道）中某点预测量容器（管道）中某点A压强，压强，在容器（管道）该点处开一个小孔，在容器（管道）该点处开一个小孔，接测压管（管内径一般大于接测压管（管内径一般大于5mm)，液体在压强作用下升

20、高，可测出高度液体在压强作用下升高，可测出高度h ,继而得到继而得到A点的计示压强。点的计示压强。测压管测压计结构简单，测量准确。测压管测压计结构简单，测量准确。但存在限制条件：但存在限制条件：1不能测气体压强；不能测气体压强；2.管内压强要大于当地大气压；管内压强要大于当地大气压；3.测测点点A压强不能过高；压强不能过高；预测量容器中气体的真空度预测量容器中气体的真空度容器中的真空度容器中的真空度 P= gh（2 2）U U形管测压计形管测压计(a) p+1gh1= 2gh2 ，则计示压强则计示压强 p= 2gh2 - 1gh1(b) p+1gh1+ 2gh2=0 ，则真空度则真空度 p=1

21、gh1+ 2gh2 （3 3）差压计）差压计 测量两点压差的仪器叫差压计。测量两点压差的仪器叫差压计。取等压面取等压面1-11-1，列方程：，列方程：p1+1gh1= p2+2gh2 +gh则则 p1 -p2 =2gh2 +gh- 1gh1常用来测量常用来测量两容器的压两容器的压强差或管路强差或管路中两点的压中两点的压强差。强差。（4 4）倾斜式微压计（自己看）倾斜式微压计（自己看）测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。测量较小压强或压强差的仪器叫微压计。实质：应用几何原理测压。实质：应用几何原理测压。例例2. 2. 为了测量高度差为为了测量高度差为z z的两个水管中的微小压强差的两个水管中的微

22、小压强差P PB B-P-PA A, ,用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒U U形管。已知形管。已知A A、B B管中的液体相对密度管中的液体相对密度d d1 1=d=d3 3=1,=1,倒倒U U形管形管中液体相对密度中液体相对密度d d2 2=0.95, h=0.95, h1 1=h=h2 2=0.3m , h=0.3m , h3 3=1m=1m，试求，试求压强差压强差P PB B-P-PA A。解：逐段采用压强公式，可算解：逐段采用压强公式，可算出：出：1122333311224071ABBABApdghdghdghpppdghdghdghp

23、pMpawwwwww 例题例题3 3 如图所示测定装置，活塞直径如图所示测定装置，活塞直径d=35mm，油的相对密度油的相对密度d d油油=0.92,=0.92,水银的相对密度水银的相对密度d d水银水银=13.6=13.6，活塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为活塞与缸壁无泄漏和摩擦。当活塞重为15N时，时，h=700mm，试计算，试计算U形管侧压计的液面高度形管侧压计的液面高度h h值。值。（P35 P35 例题例题2.2)2.2) p15598(Pa)15598例题例题4如下图所示，用双如下图所示，用双U形管测压计测量形管测压计测量A、B两点的压差。两点的压差。已知已知: 300mm,h 2

24、00mm,h 250mm,h 600mm,h4321. /106 .13, /7 .772, /0001 500mm,h33332315mkgmkgmkg2.5.1 作用在平面上的总压力作用在平面上的总压力(水平面、垂直面、斜面水平面、垂直面、斜面)F1F2F3A1hA2A3（1）左侧壁面受力）左侧壁面受力1121AghF（2）右侧壁面受力）右侧壁面受力2221AghF（3）底面受力）底面受力33AghF平面受力计算公式：平面受力计算公式： ：受力面形心点的压强：受力面形心点的压强 ：受力面面积：受力面面积ApFccpA1、总压力、总压力2、积分法求总压力及作用点、积分法求总压力及作用点ghd

25、ApdAdF讨论与水平成讨论与水平成 角的平面角的平面AxxdAAcAAxdAghdAgdFFsinAxdA面积面积A对对y轴的静力矩轴的静力矩cx几何中心点至几何中心点至y轴距离轴距离AghAxgFccsin则则（1）总压力）总压力（2）总压力的作用点）总压力的作用点ADdFxFx各微总压力对各微总压力对y轴的力矩之和，等于其合力对轴的力矩之和，等于其合力对y轴的力矩。轴的力矩。ADcxdAgxAxghsinyAJdAx2ADcdAxgAxgx2sinsinAxJJccyy2AxJxAxJxccyccyDAxJxxccycD惯性矩定义惯性矩定义惯性矩移轴定理惯性矩移轴定理总压力作用点总压力作

26、用点D到到y轴垂直距离轴垂直距离偏距偏距压力中心点总是低于形心点压力中心点总是低于形心点2.5.2 作用在曲面上的总压力作用在曲面上的总压力 ：曲面在受力方向投影面形心点的压强：曲面在受力方向投影面形心点的压强 ：曲面在受力方向曲面在受力方向投影面的面积投影面的面积ApFccpA1、水平方向上的力：、水平方向上的力：2、竖直力：、竖直力：gVFz：压力体（以曲面四周向自由面引投影线，曲：压力体（以曲面四周向自由面引投影线，曲 面、面、自由面、投影线围成的体积）自由面、投影线围成的体积）V方向方向：（1）实压力体（给曲面以力的液体包含与压力体之内）实压力体（给曲面以力的液体包含与压力体之内） 向

27、下向下（2）虚压力体）虚压力体 向上向上 zFzF例题例题5 5：绘出曲面压力体图，并标出垂：绘出曲面压力体图，并标出垂直分力的方向直分力的方向例题例题6 6：如图为一贮水容器，器壁上有三个半球形盖，：如图为一贮水容器，器壁上有三个半球形盖，设设d=0.5md=0.5m，h=2mh=2m，H=2.5mH=2.5m。试求作用在每个球盖上的液。试求作用在每个球盖上的液体总压力。体总压力。解：解：1 1、底盖、底盖 底盖左右两部分曲面在铅垂平面上的投影面积相同，故两部分底盖左右两部分曲面在铅垂平面上的投影面积相同，故两部分水平分力大小相等方向相反而抵消。所以液体总压力，就等于垂水平分力大小相等方向相

28、反而抵消。所以液体总压力，就等于垂直分力：直分力： F F1 1=gV= g=gV= g【dd2 2/4/4 (H+h/2) + d (H+h/2) + d3 3/12/12】 =7063=7063（N N） 由于由于V V为实压力体，故为实压力体，故F F1 1的作用方向垂直向下，且通过压力的作用方向垂直向下，且通过压力体中心。体中心。 2 2、顶盖、顶盖 水平分力为零，总压力等于垂直分力。水平分力为零，总压力等于垂直分力。 F F2 2=gV= g=gV= g【dd2 2/4/4 (H-h/2) - d (H-h/2) - d3 3/12/12】 =2568=2568（N N） 由于由于V

29、 V为虚压力体，故为虚压力体，故F F1 1的作用方向垂直向上，且通过压力的作用方向垂直向上，且通过压力体中心。体中心。 3 3、侧盖、侧盖 液体总压力由垂直分力及水平分力合成，即；液体总压力由垂直分力及水平分力合成，即； F FZ3Z3= g d= g d3 3/12=321/12=321（N N） ( (向下）向下） 由于由于V V为实压力体，故为实压力体，故 F FZ3Z3的方向垂直向下，且通过压力的方向垂直向下，且通过压力体中心。体中心。 F Fy3y3= gHA= gHAy y=4813=4813（N N）（这样即可，要写成合力的形式，则要求进一步求出合力的方向）（这样即可，要写成合

30、力的形式，则要求进一步求出合力的方向） 例例7 7 如图所示一弧形闸门，半径如图所示一弧形闸门，半径R=7.5mR=7.5m，挡着深度，挡着深度h=4.8mh=4.8m的水，其圆心角的水，其圆心角 。旋转轴的位置距底。旋转轴的位置距底43为为H=5.8mH=5.8m，闸门的水平投影，闸门的水平投影CB=a=2.7mCB=a=2.7m，闸门的宽度，闸门的宽度b=6.4mb=6.4m。试求作用在闸门上的总压力的大小。试求作用在闸门上的总压力的大小。 解解 总压力的水平分力为总压力的水平分力为221198074.86.4723050()222xcxhFgh Aghbg h bN总压力的垂直分力为总压

31、力的垂直分力为211(sin)22180zFg bahR2113.149807 6.4 2.7 4.87.5(43 sin43 )22180526950()N pV压力体积压力体积= (三角形面积三角形面积ABK+拱形面积拱形面积AB)*b所以所以例例8 8 如图所示，如图所示，R45的斜壁上有一半径为的斜壁上有一半径为的圆孔，的圆孔，现用一个半球面堵住孔，如图所示。试求现用一个半球面堵住孔，如图所示。试求的大小。的大小。H孔心的深度为孔心的深度为F半球面所受液体压强合力半球面所受液体压强合力解题过程和答案见教材解题过程和答案见教材2.5.3 2.5.3 作用在沉没物体上的总压力作用在沉没物体

32、上的总压力 物体浸在液体中的位置有三种：物体浸在液体中的位置有三种：(1)(1)物体沉到液体底部，此时物体为沉体；物体沉到液体底部，此时物体为沉体；(2)(2)物体潜入液体中的任何位置，此时物体为潜体；物体潜入液体中的任何位置，此时物体为潜体；(3)(3)物体浮在液体上，此时物体为浮体。物体浮在液体上，此时物体为浮体。液体作用在潜体或浮体上的总压力叫浮力，浮力的作用液体作用在潜体或浮体上的总压力叫浮力，浮力的作用点叫浮心。点叫浮心。 设有一任意形状的物体沉没在静止液体中，如图设有一任意形状的物体沉没在静止液体中，如图2.262.26所示所示 1 1、水平力、水平力左半部曲面左半部曲面cadca

33、d与右半部曲面与右半部曲面cbdcbd上上所受到的水平分压力所受到的水平分压力 F Fy1y1= =F Fy2y2, ,因而整个因而整个潜体潜体水平方向的流体静压力为零水平方向的流体静压力为零。2 2、竖直力、竖直力整个潜体沿直方向的流体静压力大小为整个潜体沿直方向的流体静压力大小为 21()zzzadbefacbefFFFg VVgV 综上所述，液体作用在沉没物体（潜体）上的总压力方向综上所述，液体作用在沉没物体（潜体）上的总压力方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开的重量。该力又称作垂直向上，大小等于沉没物体所排开的重量。该力又称作浮力。这就是阿基米德原理。对于浮体，其浮力大小等于浮力。这就是阿基米德原理。对于浮体，其浮力大小等于物体浸没部分所排开液体的重量。物体浸没部分所排开液体的重量。例例9 9 有