第二章逻辑代数基础

1、第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 教学要求教学要求第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础 目录目录2.1.1 逻辑常量和逻辑变量逻辑常量和逻辑变量常量常量变量变量（1）用）用字母字母表示或表示或字母加数字字母加数字。 如：如：A、A50 无效无效 低电平低电平 关（断开）关（断开） 灯灭灯灭 无电流无电流1 有效有效 高电平高电平 开（闭合）开（闭合） 灯亮灯亮 有电流有电流Z 高阻态高阻态X 不确定不确定（2）原变量原变量 A 若若A0则则 1 反变量反变量 （ ） 若若A1则则 0 AAA逻辑变量逻辑变量原变量原变量 A、B、Z反变量反变量ZBA

2、、 只有只有0、1两种取值，常两种取值，常常不是数，反映状态。例常不是数，反映状态。例如：电位高低，开关断合如：电位高低，开关断合脉冲有无等。脉冲有无等。2.1.2 基本逻辑和复合逻辑基本逻辑和复合逻辑真值表真值表符号符号图例图例条件条件A无效，无效，则则Y有效有效A或者或者B有效，有效，则则Y有效有效条件条件A、B同时有效，同时有效，则则Y有效有效意义意义Y=Y=A+BY=AB表达式表达式备注备注非非或或与与基本逻辑基本逻辑A基本逻辑（逻辑运算）基本逻辑（逻辑运算）1、与运算（逻辑乘）、与运算（逻辑乘） “ ” or “”（1）概念）概念 只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事只有当决定

3、某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生，这种因果关系称为件才会发生，这种因果关系称为与逻辑与逻辑。（2）真值表）真值表 用用“0”、“1”分别表示不同状态而列出的输入与输出分别表示不同状态而列出的输入与输出关系的表格。关系的表格。A：“ 0”断，断，“1”合合B：“ 0”断，断，“1”合合Y：“ 0”灭，灭，“1”亮亮（3）逻辑函数表达式）逻辑函数表达式 Y=AB=AB=AB（4）运算规则）运算规则00=0，01=0，10=0，11=1。 一般地：一般地：A0=0，A1=A，AA=A。（5）逻辑符号）逻辑符号 GB 旧旧GB 美国美国 2、或运算（逻辑加）、或运算（逻辑加） “+” or

4、“”（1）概念）概念在决定某一事件的各种条件中，只要有一个或一个以在决定某一事件的各种条件中，只要有一个或一个以上条件得到满足，这一事件就会发生，这种因果关系称上条件得到满足，这一事件就会发生，这种因果关系称或或逻辑逻辑。（2）真值表）真值表（3）表达式）表达式 Y=A+B=AB（4）运算规则）运算规则0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1。 一般地：一般地：A+0=A，A+1=1，A+A=A。（5）逻辑符号）逻辑符号 GB 旧旧GB 美国美国 3、非运算（逻辑非）、非运算（逻辑非）（1）概念）概念事件发生的条件具备时，事件不会发生，条件不具备事件发生的条件具备时，事件不会发生，条件不

5、具备时，事件发生，这种因果关系称为时，事件发生，这种因果关系称为逻辑非逻辑非。（2）真值表）真值表（3）表达式）表达式 Y=（4）运算规则）运算规则 一般地：一般地：（5）逻辑符号）逻辑符号 GB 旧旧GB 美国美国 复合逻辑ABY BAY CDABYBABABAYY = A BBAABBA 符号真值表表达式同或异或与或非或非与非复合逻辑运算复合逻辑运算（1）与非运算）与非运算ABY （2）或非运算）或非运算BAY （3）与或非运算）与或非运算CDABY （4）异或和同或运算）异或和同或运算BABABAY Y = A BB AABBA 运算优先顺序：括号运算优先顺序：括号非非与与或。或。 如果

6、一个逻辑变量如果一个逻辑变量Z由其他一个或多个逻辑变量（如：由其他一个或多个逻辑变量（如：A、B、C）的取值所决定，当）的取值所决定，当A、B、C确定后，确定后，Z也就唯也就唯一的确定了，则把一的确定了，则把Z称为称为A、B、C的逻辑函数，表示为的逻辑函数，表示为Z=F(A，B，C，）。）。2.1.3 2.1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法Y=AB在数字电路中，逻辑函数的表示方法有在数字电路中，逻辑函数的表示方法有五种五种： 真值表真值表、函数表达式、卡诺图、逻辑图、波、函数表达式、卡诺图、逻辑图、波形图形图逻辑函数表达式的书写逻辑函数表达式的书写 最小项法最小项法由真值表推导函数表

7、达式的方法有：由真值表推导函数表达式的方法有： 最大项法最大项法2.1.4 逻辑函数的相等逻辑函数的相等 假设假设F(A1，A2， An)为变量为变量A1，A2， An的逻辑函数。的逻辑函数。G（ A1，A2， An)为变量为变量A1，A2， An的另一逻辑函数。的另一逻辑函数。 如果对应于如果对应于A1，A2， An的任意一组状态组的任意一组状态组合，合，F和和G的值都相同。则称的值都相同。则称F和和G是相等的，记作是相等的，记作F=G。亦即：亦即：真值表相同的逻辑函数相等。真值表相同的逻辑函数相等。例：例： 设设F(A,B,C)=A(B+C)， G(A,B,C)=AB+AC。证明：。证明：

8、F=G形式不同形式不同功能相同功能相同2.2 逻辑代数的运算法则逻辑代数的运算法则2.2.1 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式一、常用公式一、常用公式（1）1=0 0=1（2）11=1 0+0=0（3）1 0=0 1=0 0+1=1+0=1（4）0 0=0 1+1=1（5）A0，则，则A=1 A1，则，则 A=0（6）重叠（同一）律重叠（同一）律 A A=AA+A=A（7）反演律（德反演律（德摩根定理）摩根定理） A B=A+B A+B= A B（8）还原律还原律 A=A二、基本定律二、基本定律（1）交换律交换律 AB=BAA+B=B+A（2）结合律结合律 A(BC)=(AB)CA+(B+

9、C)=(A+B)+C（3）分配律分配律 A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)（4）01律律1 A=A0+A=A0 A=01+A=1（5）互补律互补律 A A=0A+A=12.2.2 三个规则（定理）三个规则（定理）1、代入规则代入规则 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方都代之以一个函数，则出现某一变量的地方都代之以一个函数，则等式仍然成立。等式仍然成立。 e.g. 已知已知 A B=A+B，以，以Z=AC代代A，则有：则有： A C B=A C+B=A+B+C扩大了公式的应用范围扩大了公式的应用范围2、反演规则（互补规则）（

10、反演规则（互补规则）（3变变2不变）不变） 对于任意一个逻辑表达式对于任意一个逻辑表达式Y，如果，如果Y中所有的中所有的“”换成换成“+”；“+”换成换成“”；“0”换成换成“1”；“1”换成换成“0”；原变量换成反变量；反变量换成；原变量换成反变量；反变量换成原变量，则得到的表达式就是原变量，则得到的表达式就是Y的的反函数反函数 Y。3变：变： “”换成换成“+”；“+”换成换成“” “0”换成换成“1”；“1”换成换成“0” 原变量换成反变量；反变量换成原变量原变量换成反变量；反变量换成原变量2不变：不变：大非号不变（包含两个或者两个以上的变量的非号）大非号不变（包含两个或者两个以上的变量

11、的非号） 运算的顺序不变运算的顺序不变例：已知例：已知 Y=A B+C D，求，求Y Y=(A+B)(C+D)Y=A+B+C D+E则则Y=A B(C+D E)Y=A B+C D+0则则Y=(A+B)(C+D) 1注意：注意： （1）优先顺序。先括号内，后括号外，先乘后加。）优先顺序。先括号内，后括号外，先乘后加。（2）包含两个变量或以上的非号在变换中不变。）包含两个变量或以上的非号在变换中不变。3、对偶规则（、对偶规则（2变变2不变）不变）对于任意一个逻辑表达式对于任意一个逻辑表达式Y，如果，如果Y中所有的中所有的“”换成换成“+”；“+”换成换成“”；“0”换成换成“1”；“1”换成换成“

12、0”；则得到一新的表达式；则得到一新的表达式Y（或（或Y*），），Y 称为称为Y的的对偶式对偶式。例：例： Y=A(B+C)Y =A+B CY=A+B CY =A(B+C)Y=A+B+CY =A B C练习：练习：Y=A B CY =A+B+C注意：优先顺序和大非号。一般地，注意：优先顺序和大非号。一般地，Y Y推论：若推论：若F(A,B,C)=G(A,B,C)，则，则F=G。2变：变： “”换成换成“+”；“+”换成换成“” “0”换成换成“1”；“1”换成换成“0” 2不变：不变：大非号不变（包含两个或者两个以上的变量的非号）大非号不变（包含两个或者两个以上的变量的非号） 运算的顺序不变运

13、算的顺序不变对偶变化规则：对偶变化规则：2.2.3 常用公式常用公式（1）A+AB=A（消乘积项）（消乘积项）A(A+B)=A证：证：A+AB=A(1+B)=A 有一个乘积项的部分因子是另有一个乘积项的部分因子是另一个乘积项的全部，则该乘积项是多余的一个乘积项的全部，则该乘积项是多余的（2）AB+AB=A （合并公式）（合并公式）(A+B)(A+B)=A证：证：AB+AB=A(B+B)=A 1=A 乘积项有公有因子，不乘积项有公有因子，不同的因子互补，则合并为由公有因子组成的乘积项同的因子互补，则合并为由公有因子组成的乘积项（3）A+AB=A+B消反公式）消反公式）A(A+B)=AB证：证：A

14、+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B分配律分配律: A+BC=(A+B)(A+C)证证2、A+AB=A+AB+AB=A+B 一个乘积项的部分因子恰好是另一个乘积项的补，则该乘积一个乘积项的部分因子恰好是另一个乘积项的补，则该乘积项的这部分因子是多余的。项的这部分因子是多余的。4、AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)证：左证：左= （消第三项的公式）（消第三项的公式）AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=右右推论：推论： AB+AC+BCDE=AB+AC 两个乘积项部分的因子互补，其余的因

15、子都是第三两个乘积项部分的因子互补，其余的因子都是第三项的因子，则第三项是多余的。项的因子，则第三项是多余的。2.2.4 异或运算的公式异或运算的公式（1）交换律交换律A B=B A（2）结合律结合律(A B) C=A (B C)（3）分配律分配律A(B C)=AB AC证：证：A(B C)=A(BC+BC)=ABC+ABC AB AC=ABAC+ABAC =(A+B)AC+AB(A+C)=ABC+ABC（4）常量与变量之间的异或运算（由定义直接推出）常量与变量之间的异或运算（由定义直接推出）A 1=AA 0=AA A=0A A=1（5）因果互换因果互换若若A B=C，则：，则：A C=B，B

16、 C=A证：把证：把A B=C 两边同时异或两边同时异或A，A B A=C A则：则：0 B=A C，A C=B， 同理可证同理可证B C=A（6）多变量异或运算）多变量异或运算在多变量异或运算中，若在多变量异或运算中，若“1”的个数为奇数，的个数为奇数，则结果为则结果为“1”；若；若“1”的个数为偶数，则结果为的个数为偶数，则结果为“0”，与变量为，与变量为“0”的个数无关。的个数无关。2.2.5 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式一、一、 逻辑函数常用表达式逻辑函数常用表达式 逻辑函数的常用表达式包括与或式、与非与非逻辑函数的常用表达式包括与或式、与非与非式、或与式、或非或非式和或非式。式、

17、或与式、或非或非式和或非式。1、与或式、与或式 F=AB+CD2、与非与非式、与非与非式 CDABCDABF3、或与式、或与式 F=(A+B)(C+D)4、或非或非式、或非或非式5、与或非式、与或非式 DCBADCBAF)(CDABF2.2.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、化简的意义和方法一、化简的意义和方法1、意义：、意义：设备简单，成本低。设备简单，成本低。2、方法、方法（1）公式法：）公式法：适于任意多个变量的函数的化简。适于任意多个变量的函数的化简。没有统一的没有统一的步骤，靠灵活熟练，难于判定是否最简。步骤，靠灵活熟练，难于判定是否最简。（2）卡诺图法（图解法）：）卡

18、诺图法（图解法）：适于适于6个以下变量的函数简化。个以下变量的函数简化。直观、简单。直观、简单。（3）系统化简法（）系统化简法（Q-M）：）：适于任意多变量的函数的简化。适于任意多变量的函数的简化。繁琐，但有一定规律可循，适于计算机辅助。繁琐，但有一定规律可循，适于计算机辅助。3、最简与或式的含义、最简与或式的含义 常用五种类型表达式（以常用五种类型表达式（以Y=AB+AC）与或表达式与或表达式 与门和或门 或与表达式或与表达式 或门和与门 与或式对偶-展开-对偶与非与非式与非与非式 与非门 与或式两次取反或非或非式或非或非式 或非门 与或式-或与式-两次取反与或非式与或非式 与或非门 或非或

19、非式-反演律CAAB )BA)(CA( CAAB BACA BACA B)AC)(A)Y(YBAACBCBAACC)AB)(AY ，CAABCAABYBACABACAY)(对于不同类型的表达式，最简的标准不同。对于不同类型的表达式，最简的标准不同。最简与或式：最简与或式：（1）乘积项最少。）乘积项最少。门数少门数少 （2）每一个乘积项中的因子最少。）每一个乘积项中的因子最少。输入端数少输入端数少 针对中小规模门电路。针对中小规模门电路。CPLD与或阵列结构，输入端数不是主要问题。与或阵列结构，输入端数不是主要问题。FPGA常用四输入数据选择器结构。常用四输入数据选择器结构。 以与或式为例。任何

20、以与或式为例。任何F可化为与或式；最简与或式可变可化为与或式；最简与或式可变换为任何其它形式。换为任何其它形式。二、公式化简法（代数法）二、公式化简法（代数法） 公式化简常用的公式化简常用的5个公式：个公式： 分配律：分配律：A+BC=(A+B)(A+C) 反演律：反演律： 常用公式常用公式3：A+AB=A+B 常用公式常用公式4：AB+AC+BC=AB+AC 推论：推论：1、常用方法、常用方法（1）合并项法（并项法）合并项法（并项法） 二合一二合一e.g. ABABAYA(BCB C)A(BCBC) ABCAB CABCABCABABABABABAAB （2）吸收法）吸收法 消去多余项消去多

21、余项e.g. （3）消去法（消因子法）消去法（消因子法） 消去多余因子消去多余因子e.g. （4）配项法）配项法 一拆二，一拆二， 增加增加BCe.g. 另：另： AABA （消项法）（消项法）CAABBCCAAB ()ABABCD EFABABCCDABDABCCDBABAA ABACBC()ABAB CABABCABCAA1 乘乘BCCAABCAAB ABBCBCAB()()ABBCBC AAAB CC ABBCABCA BCABCABCABBCACABBCBCABABBCBCABACABBCAC2、举例、举例e.g.1 （合并和吸收）（合并和吸收） （吸收）（吸收） （消去）（消去）e.

22、g.2 （吸收）（吸收） （消去）（消去） （合并）（合并） （吸收）（吸收）e.g.3 （配项）试探性（配项）试探性 DEFGEFBACEFBDCAABDAADY CBBDABCDBCABDDABCY BCAC B ACBBAY EFBBDACEFCAABA EFBBDCAA EFBBDCA CBBDABCDBC CBBDABBC BDABB B CACBABCACBBACA)CC(BACBBA CACBBA BCACAB ACBBA e.g.4 e.g.5 )GF(ADECBDBDBCBCAABY )GF(ADECBDBDBCBA)GF(ADECBDBDBCBCBA)GF(ADECBDBD

23、BCB)CB(A DCCBDBDBCBA DCCBDBA )FED)(FB)(FECA)(DB)(CA)(BA(AY DEFFBCEFABDCAABAY FBBDCAA FBBDCA )FB)(DB(AC)Y(Y 用对偶公式直接化简用对偶公式直接化简（不熟练；先展开后化简（不熟练；先展开后化简繁琐）繁琐）2.3 卡诺图化简卡诺图化简1、最小项和标准与或表达式、最小项和标准与或表达式（1）最小项定义）最小项定义对于对于n个变量，若个变量，若m为包含为包含n个因子的乘积项，个因子的乘积项，在在m中每一个变量都以原变量或者反变量的形式作中每一个变量都以原变量或者反变量的形式作为一个因子出现且仅出现一

24、次，则称为一个因子出现且仅出现一次，则称m为该组变量为该组变量的一个最小项。的一个最小项。 n个变量一共有个变量一共有2n个最小项个最小项2.3.1 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式不是唯一的不是唯一的CB ABCACABABC)BC(BACABABCCA)CAB(CCAABY （2）最小项的性质）最小项的性质 a. 只有一组变量取值组合使其值为只有一组变量取值组合使其值为“1”。 （等于（等于“1”的机会最小）的机会最小） b. 任意两个最小项之积恒为任意两个最小项之积恒为“0”。 c. 全体最小项之和恒为全体最小项之和恒为“1”。（3）最小项的编

25、号）最小项的编号把使最小项为把使最小项为“1”的那一组变量取值组合当成二进制的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数即为该最小项的编号。数，与其对应的十进制数即为该最小项的编号。（m0，m1，m2，。）。）对于三个变量对于三个变量A、B、C，有：，有：(4)标准与或表达式（最小项表达式，标准积之和）标准与或表达式（最小项表达式，标准积之和）全部由全部由最小项相加最小项相加构成的函数与或表达式。构成的函数与或表达式。 任何逻辑函数都可以表示成标准与或表达式，且是唯一的。任何逻辑函数都可以表示成标准与或表达式，且是唯一的。可由真值表得出，或由表达式变换得到。可由真值表得出，或由表达式变

26、换得到。e.g.1，e.g.2，)7,6,3 , 1( )7,6,3 , 1( )7,6,3 , 1( 7631mimmmmmABCCABBCACBAYii1367 )()( mmmmCBABCACABABCCBBACCABCAABY2、最大项和标准或与表达式、最大项和标准或与表达式(1)最大项定义最大项定义对于对于n个变量，若个变量，若M为为n个变量之和，在个变量之和，在M中每一个变中每一个变量都以原变量或者反变量的形式作为一项出现且仅出现一量都以原变量或者反变量的形式作为一项出现且仅出现一次，则称次，则称M为该组变量的一个最大项。为该组变量的一个最大项。n个变量一共有个变量一共有2n个最大

27、项个最大项对于三个变量对于三个变量A、B、C，有：，有：(2) 最大项的性质最大项的性质 a. 只有一组变量取值组合使其值为只有一组变量取值组合使其值为“0”。 (等于等于“1”的机会最大的机会最大) b. 任意两个最大项之和恒为任意两个最大项之和恒为“1”。 c. 全体最大项之积恒为全体最大项之积恒为“0”。(3) 最大项的编号最大项的编号 把使最大项为把使最大项为“0”的那一组变量取值组合当成二进制的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数即为该最大项的编号。数，与其对应的十进制数即为该最大项的编号。 （M0，M1，M2，。）。）(4) 标准或与表达式（最大项表达式）标准或与表达

28、式（最大项表达式）全部由全部由最大项相乘最大项相乘构成的函数或与表达式。构成的函数或与表达式。任何逻辑函数都可以表示成标准或与表达式，且是唯一的。任何逻辑函数都可以表示成标准或与表达式，且是唯一的。e.g.)5 , 4 , 2 , 0( )5 , 4 , 2 , 0( )()()(5420MMMMMCBACBACBACBAY最小项法：最小项法： 输出为输出为1的输入组合写成的输入组合写成乘积项乘积项的形式，其中的形式，其中取值为取值为1的输入用的输入用原原变量表示，取值为变量表示，取值为0的输入用的输入用反反变量表示，然后把这些乘积项变量表示，然后把这些乘积项相加相加即可。即可。最大项法：最大

29、项法：输出为输出为0的输入组合写成的输入组合写成和项和项的形式，其中取值为的形式，其中取值为0的输入用的输入用原原变量表示，取值为变量表示，取值为1的输入用的输入用反反变量变量表示，然后把这些和项表示，然后把这些和项相乘相乘即可。即可。真值表与表达式真值表与表达式楼梯路灯控制问题楼梯路灯控制问题开关：开关：A、B：上：上“1” ； 下下“0”。灯：灯： Y：亮：亮“1”； 灭灭“0”。或：或：ABB AY )BA)(BA(Y 例题：三人表决器例题：三人表决器用用A、B、C代表三个人：用代表三个人：用1表示同意表示同意 用用0表示反对表示反对用用F表示最后表决结果：用表示最后表决结果：用1表示通

30、过表示通过 用用0表示否决表示否决遵守遵守“少数服从多数少数服从多数”的原则。的原则。11111011110100011110001001000000FCBA写真值表写真值表用最小项写表达式用最小项写表达式 输出为输出为1的输入组合项：的输入组合项：011、101、110、111 输入为输入为1的用原变量表示，输入为的用原变量表示，输入为0的用反变量表示的用反变量表示则有：则有：ABC、ABC、ABC、ABC所以：所以：FABC+ABC+ABC+ABC逻辑图逻辑图（以最小项表达式为例）（以最小项表达式为例）FABC+ABC+ABC+ABC画逻辑图时，应遵守画逻辑图时，应遵守“先括号，然后乘，最

31、后加先括号，然后乘，最后加”的运的运算优先次序算优先次序波形图波形图用最大项写表达式用最大项写表达式 输出为输出为0的输入组合项：的输入组合项：000、001、010、100 输入为输入为0的用原变量表示，输入为的用原变量表示，输入为1的用反变量表示的用反变量表示则有：则有：A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C所以：所以：F(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)例：设计一个奇较验电路（假设输入例：设计一个奇较验电路（假设输入端有端有4位代码）。要求输入用位代码）。要求输入用A、B、C、D表示，输出用表示，输出用F表示。表示。输入端的取值选择只有输入端的取值选择只有0

32、、1两种。两种。输出端用输出端用“0”表示输入有偶数个表示输入有偶数个1； 用用“1”表示输入有奇数个表示输入有奇数个1；ABCDF00000000110010100110010010101001100011111000110010101001011111000110111110111110函数表达式：函数表达式：DABCDCABCDBADCBABCDADCBADCBADCBAF 1最小项表达式最小项表达式 )()()( )()()(1DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAF最大项表达式最大项表达式 练习练习:设计一位全加器，要求写出真值表，最小项表达式，设计一位全加

33、器，要求写出真值表，最小项表达式，最大项表达式，并将最大项表达式，并将S的最小项表达式化简。的最小项表达式化简。 真值表1111101011011011000101110100101010000000SCOBACI最小项表达式：最小项表达式：IIIIS C AB C AB C AB C AB 最大项表达式：最大项表达式：()() ()()IIIISCAB CABCAB CABOIIIICC AB C AB C AB C AB ()() ()()OIIIICCAB CABCAB CAB2.3 2.3 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法一、卡诺图一、卡诺图 由真值表按一定规则画出的方格图

34、。由真值表按一定规则画出的方格图。变量取值：两两相邻，首尾相邻。（按循环码排列）变量取值：两两相邻，首尾相邻。（按循环码排列）特点特点（1）几何相邻）几何相邻逻辑相邻逻辑相邻便于化简便于化简（2）对于变量数）对于变量数n5的逻辑函数，复杂少用。的逻辑函数，复杂少用。二、用卡诺图表示逻辑函数二、用卡诺图表示逻辑函数1、给出真值表、给出真值表在对应变量取值组合的每一个小方格中，函数值为在对应变量取值组合的每一个小方格中，函数值为“1”的填的填“1”，为，为“0”填填“0”。ABCD00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111

35、01111ABCD00000001001100100110011101010100110011011111111010101011100110008421码码循环码循环码e.g.或或2、给出最小项表达式、给出最小项表达式 在对应于函数的每一个最小项的小方格中填在对应于函数的每一个最小项的小方格中填“1”，其它填，其它填“0”。e.g. Y(A,B,C,D)=(0,3,5,6,9,10,12,15)0格可为空格可为空3、给出非标准形式、给出非标准形式（1）配项）配项标准表达式标准表达式填图填图（繁琐）（繁琐）（2）观察法）观察法e.g.CBABY )DC)(BA(Y D CB AABDCBAY

36、4、给出其它形式表达式、给出其它形式表达式 先变换先变换与或式与或式填图填图e.g. 三、卡诺图的性质和运算三、卡诺图的性质和运算1、全、全“0”格对应格对应Y=02、全、全“1”格对应格对应Y=13、卡诺图相加、相乘、异或、卡诺图相加、相乘、异或对应格相加、相乘、异或。对应格相加、相乘、异或。 + =4、卡诺图反演、卡诺图反演“1”格格“0”格格“0”格格“1”格格四、用卡诺图合并最小项的规律四、用卡诺图合并最小项的规律 2个相邻个相邻1格可合并成一个乘积项，消去格可合并成一个乘积项，消去1个有个有01变化的变量，保留无变化的变量；变化的变量，保留无变化的变量； 4个相邻个相邻1格可合并成一

37、个乘积项，消去格可合并成一个乘积项，消去2个有个有01变化的变量，保留无变化的变量；变化的变量，保留无变化的变量； 8个相邻个相邻1格可合并成一个乘积项，消去格可合并成一个乘积项，消去3个有个有01变化的变量，保留无变化的变量；变化的变量，保留无变化的变量； 2i个相邻个相邻1格可合并成一个乘积项，消去格可合并成一个乘积项，消去i个有个有01变化的变量，保留无变化的变量。变化的变量，保留无变化的变量。ABAAB 五、用卡诺图化简逻辑函数五、用卡诺图化简逻辑函数1、简化原则、简化原则（1）圈尽量大；）圈尽量大；变量数少变量数少（2）圈数尽量少；）圈数尽量少；乘积项少乘积项少（3）每一个）每一个“

38、1”格都被圈到，没有格都被圈到，没有“0”格被圈；格被圈；（4）全部是必要项，没有多余项。）全部是必要项，没有多余项。 必要项：对应圈中至少有一个必要项：对应圈中至少有一个“1”格只被圈一次。格只被圈一次。有新有新“1”格格 多余项：对应圈中的每一个多余项：对应圈中的每一个“1”格都被圈格都被圈2次或次或2次以上。次以上。2、化简步骤、化简步骤（1）画卡诺图。）画卡诺图。（2）按简化原则化简函数。）按简化原则化简函数。先圈只有一种圈法的圈先圈只有一种圈法的圈（3）检查是否全部）检查是否全部“1”格被圈，没有格被圈，没有“0”格被圈。格被圈。（4）写出相应的简化式。）写出相应的简化式。e.g.1

39、 Y(A,B,C,D)=(0,2,5,6,7,9,10,14,15)解解第一步：填写第一步：填写卡诺图（为了叙述方便，这里填写最小项的编号，平常卡诺图（为了叙述方便，这里填写最小项的编号，平常应该在对应最小项方格中填应该在对应最小项方格中填1 1） 。第二步：第二步：画画包包围圈。围圈。第三步第三步：化：化简简包围圈。包围圈。F A,B,C,D =CD+BC+ABD+ABD+ABCD000111100001ABCD 11101 11 1 1 1 1 1 1CDBCABDABDABCDEg2. 化简函数：化简函数：1011010010110100ABCD卡诺图为：卡诺图为：11111111用三个

40、圈覆盖：用三个圈覆盖：最简与或式为：最简与或式为：1可重复使用可重复使用要圈两个要圈两个1(1)DCABBADBCDACDCBABADCBAF )()(DABBADCF1011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡诺图如右卡诺图如右;圈黑圈，得：圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈篮圈，得：圈篮圈，得：Y=AB+BC+CAY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111显然，紫圈是多余的。显然，紫圈是多余的。避免画多余圈的方法：避免画多余圈的方法：1.画完圈后注意检查；画完圈后注意检查；2.先

41、圈只有一种方法可圈的先圈只有一种方法可圈的1。(2)(3) 当最简式不唯一时，画圈的方法也不唯一当最简式不唯一时，画圈的方法也不唯一(4)Y=AD+BCD+ABC+ACD+A BD1011010010110100ABCD1011010010110100ABCD1111111111=AB+BC+B DY=ACD+CD+AD+AB+ABC111111111111这种情况可通过这种情况可通过圈圈0求求Y来解决：来解决：Y=ADY=A+D(5)（6）F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+D)F为或与式，可先对为或与式，可先对F求对偶式求对偶式F即即F=ABC

42、D+ABCD+ABCD+ABCD+AD画出画出F的卡诺图的卡诺图1011010010110100ABCD11111111F=AD+ADF=(F)=(A+D)(A+D)=AD+ADe.g.3 DBCADCBAC B AD C BACABD C AY DBACABDBACBAYe.g.4 Y(A,B,C,D)=(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)注：每一项都是必要项构成的函数表达式不一定最简！注：每一项都是必要项构成的函数表达式不一定最简！?),(ge131110875320D)C,B,Y(A, 5 .圈圈“1” 与或式与或式或与式；或与式；反函数圈反函数圈“1” 与或式，再求非

43、与或式，再求非或与式；或与式；直接圈直接圈“0”格格或与式。或与式。最大项概念最大项概念DCACBDABADBYBCBDABADBY)()(CBADCBDBYl对于输入变量的每一组取值组合，逻辑函数都有确定的对于输入变量的每一组取值组合，逻辑函数都有确定的值，则这类逻辑函数称为值，则这类逻辑函数称为完全描述的逻辑函数完全描述的逻辑函数。l 对于输入变量的某些取值组合，逻辑函数值不确定（可对于输入变量的某些取值组合，逻辑函数值不确定（可以为以为1，也可以为，也可以为0），这类逻辑函数称为），这类逻辑函数称为非完全描述的逻非完全描述的逻辑函数辑函数。l 对应输出函数值没有确定值的最小项（最大值）称

44、为对应输出函数值没有确定值的最小项（最大值）称为无无关项，任意项或约束项关项，任意项或约束项。函数值。函数值可以为可以为1，也可以为，也可以为0（记（记为为或或）。六、六、 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简无关项：无关项：在一个逻辑函数中，变量的某些取值组合不会在一个逻辑函数中，变量的某些取值组合不会出现出现（约束项）（约束项）；或者函数在变量的某些取值组合时，；或者函数在变量的某些取值组合时，输出可以是输出可以是“0”，也可以时，也可以时“1”（任意项）。（任意项）。 有些教材不区分约束项和任意项，统称为任意项、约有些教材不区分约束项和任意项，统称为任意项、约束项、随

45、意项。束项、随意项。 含无关项的逻辑函数含无关项的逻辑函数非完全描述的逻辑函数。非完全描述的逻辑函数。 无关项的表示：无关项的表示：d()； ()；AB+AC=0；d=AB+AC。 无关项在化简时取无关项在化简时取“0”还是还是“1”依据对化简是否依据对化简是否有利。有利。（一）无关项（一）无关项无关项是无关项是约束项约束项和和任意项任意项的总称。的总称。 1、约束项、约束项：是最小项，若使该最小项的是最小项，若使该最小项的值为值为1 1的输入变量取值不允许输入，则称的输入变量取值不允许输入，则称该最小项为约束项。该最小项为约束项。 例如，例如，四舍五入函数四舍五入函数用用A,B,C,DA,B

46、,C,D组成的组成的四位二进制数表示四位二进制数表示1 1位十进制数，当该数大于位十进制数，当该数大于4 4时输出为时输出为1 1。 A B C D Y 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 真值表为：真值表为：10101111六个值不允许输入。将六个值不允许输入。将m10m15称为约束项。在真值表和卡诺图中都称为约束项。在真值表和卡诺图中都

47、用用 表示。表示。在函数式中约束项的表示方法：在函数式中约束项的表示方法：m10+m11+m12+m13+m14+m15=0也可用求和符号表示上式：也可用求和符号表示上式： 0)1510(m将将约束项约束项之和等于之和等于0称为称为约束约束条件条件因此四舍五入函数可表示为因此四舍五入函数可表示为(,)(5 9)(10 15)Y A B C Dmd 把这类逻辑函数称为有把这类逻辑函数称为有约束约束的逻辑函数的逻辑函数。1011010010110100ABCD11111 2.任意项任意项：是最小项，若使其值为：是最小项，若使其值为1的变量取值输入时，函的变量取值输入时，函数值可为数值可为0，也可为

48、，也可为1，则称该最小项为任意项。，则称该最小项为任意项。 任意项很少遇到，这里不作讨论。任意项很少遇到，这里不作讨论。（二）约束项在化简中的应用（二）约束项在化简中的应用约束项对应的函数值可为约束项对应的函数值可为0，也，也可为可为1。原则是将函数化到最简。原则是将函数化到最简。1011010010110100ABCD11111 YABDBC解填写卡诺图，画包围圈，化简。解填写卡诺图，画包围圈，化简。化简结果为：化简结果为：FBD AC BD经比较，合理利用任意项，确实能使逻辑函数的表达式进经比较，合理利用任意项，确实能使逻辑函数的表达式进一步化简。一步化简。00011110(a) 不利用任意项不利用任意项1100011