理解傅里叶级数

1、第十章第十章 无穷级数无穷级数10.5 10.5 傅里叶级数傅里叶级数*10.5.610.5.6 小结小结10.5.1 10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性三角级数与三角函数系的正交性 10.5.2 10.5.2 以以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 10.5.3 10.5.3 区间区间 上函数的傅里叶级数上函数的傅里叶级数 2, 10.5.4 10.5.4 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 10.5.5 10.5.5 以以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 l 210.5.1 10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性三角级数与三角函数系的正交性

2、函数项级数 )sincos(210nxbnxaannn称为三角级数，三角级数， 其中 ), 2 , 1(,0nbaann是常数 称函数族 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx为三角函数系三角函数系 三角函数系的正交性是指： 三角函数系中 任何两个不同的函数的乘积在区间 , 上 的积分等于零 即 0cosnxdx1,2,n 0sinnxdx1,2,n 0cossinnxdxkx,1,2,k n 0sinsinnxdxkx,1,2,k n kn0coscosnxdxkx,1,2,k n kn,212dxnxdx2cos1,2,n nxdx2sin1,2,.n

3、10.5.2 10.5.2 以以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 2通常，由下述公式确定的 ), 2 , 1(,0nbaann称为函数 )(xf的傅里叶系数傅里叶系数 ,)(10dxxfa,cos)(1nxdxxfan1,2,n ,sin)(1nxdxxfbn1,2,.n 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf将傅里叶系数值代入 展开式的右端 )(xf得到的三角级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa称为函数 )(xf的傅里叶级数傅里叶级数 定理定理1 1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设 )(xf是周期为 2的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有

4、限个第一类间断 点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则 )(xf的傅里叶级数收敛 并且： (1) 当 x是 )(xf的连续点时 级数收敛于 ; )(xf(2) 当 x是 )(xf的间断点时 级数收敛于 .)0()0(21xfxf例例1 1 设 )(xf是周期为 2的周期函数 它在 , ) 上的表达式为 ,0 1 0 1)(xxxf将 )(xf展开成傅里叶级数 解解 所给函数 )(xf满足收敛定理的条件，函数在点 xk(0, 1,2,)k 处不连续 在其它点处连续， 从而由收敛定理知道 )(xf的傅里叶级数收敛，并且当 xk时收敛于 0) 11(21)0()0(21xfxf当 xk时级数收敛于

5、 . )(xf傅里叶系数计算如下 1( )cosnaf xnxdx0011( 1)cos1 cos0nxdxnxdx(0,1,2,)n nxdxxfbnsin)(100sin11sin) 1(1nxdxnxdx00cos1cos1nnxnnx 1coscos1 1nnn2(1 ( 1) )nn 6, 4, 2, 0 , 5 , 3 , 1 4nnn于是 )(xf的傅里叶级数展开式为 ) 12sin(121 3sin31sin4)( xkkxxxf10.5.3 10.5.3 区间区间 上函数的傅里叶级数上函数的傅里叶级数 , 例例2 2 将函数 0, 0,)(xxxxxf展开成 傅里叶级数 解解

6、 将函数 )(xf延拓成以 2为周期的函数 , )(xF易知，函数 )(xF满足收敛定理的条 件，傅里叶系数为 00d2d)(1d)(1xxxxfxxFa2022xdcos)(1dcos)(1xnxxfxnxxFan020cossin2dcos2nnxnnxxxnxx224212(21)(cos 1)02nkknnnk),2,1(k0dsin)(1dsin)(1xnxxfxnxxFbn所以，函数 )(xf的傅里叶级数展开式为 22411( )(coscos3cos5)235f xxxx).(x10.5.4 10.5.4 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 一、正弦级数和余弦级数一、正弦级数和

7、余弦级数 定理定理2 2 对于周期为 2的奇函数 , )(xf其傅里叶 级数为正弦级数，即傅里叶系数为 0 (0,1, 2,),nan,sin)(20nxdxxfbn(1, 2,)n 周期为 2的偶函数 , )(xf其傅里叶级数为 余弦级数，即傅里叶系数为 ,cos)(20nxdxxfan(1, 2,)n 0nb (1, 2,).n 例例3 3 将周期函数 tEtusin)(展开成傅里叶级数，其中 E为正常数 解解 不妨将 )(tu看成是 2为周期的函数， 满足 收敛定理，先计算傅里叶系数 0(1, 2 ,)nbn4dsin2d)(2000EttEttua0d2sin01ttEa00dcoss

8、in2dcos)(2tnttEttntuan0d) 1sin() 1sin(ttntnE242(41)021Enkknk),2,1(k从而函数 )(tu的傅里叶级数是一个余弦级数 122cos14142)(kkxkEEtu)6cos3514cos1512cos3121(4tttE. )(t二、区间二、区间 上的函数的傅里叶级数上的函数的傅里叶级数0, 0, 将一个定义在 上的函数)(xf进行拓展)0 ,(),(0, 0, 0(),()(xxfxxxfxF这样构造的函数 )(xF在 ),(上是一个奇 函数，按这种方式拓展函数定义域的过程称为奇延拓。奇延拓。同理，构造函数 为 )(xF)0 ,()

9、,(, 0),()(xxfxxfxF按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓偶延拓 例例4 4 将函数 )0(1)(xxxf分别展开成 正弦级数和余弦级数 解解 先展开成正弦级数 对函数 )(xf作奇延拓， 再作周期延拓，满足收敛定理的条件 按公式计算傅里叶系数 00dsin) 1(2dsin)(2xnxxxnxxfbn02cossincos2nnxnnxnnxx)coscos1 (2nnn22212112nkknkk),2, 1(k从而可得正弦级数 221(2)sinsin2sin3sin4)234xxxxx )0( x其中在端点 , 0 x处，级数的和为0 再把函数展开成余弦级数 对函数

10、)(xf作奇 延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件 按公式计算傅里叶系数2)2(2d) 1(20200 xxxxa0dcos) 1(2xnxxan02sincossin2nnxnnxnnxx) 1(cos22nn2421(21)02nkknk),2, 1(k从而可得余弦级数 2241111coscos3cos5235xxxx (0)x10.5.5 10.5.5 以以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 l 2定理定理3 3 设周期为 l 2的周期函数 )(xf满足收敛 定理条件，则它的傅里叶级数当 x是 )(xf的连 续点时，有 01( )(cossin)2nnnanxnxf

11、xabll其中 ),2, 1(,dsin)(1),2, 1,0(,dcos)(1nxlxnxflbnxlxnxflallnlln例例5 5 设 )(xf是周期为4的周期函数 它在 2,2)上的表达式为 20 02 0)(x k x xf将 )(xf展开成傅里叶级数，其中 k为非零 常数 解解 这里 2l 02sin2cos212020 xnnkdxxnkankkdxdxa200202102122001sincos222nn xkn xbkdxn 2 1, 3, 5, (1 cos)0 2, 4, 6, knknnnn 于是 ) 25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf(,

12、0, 2, 4,)xx 且在点 0, 2, 4,x 处 )(xf的傅里叶级数 收敛于 .2k例例6 6 将函数 )20()(xxxf展开成 （1）正弦级数； （2）余弦级数 解解 （1）将 )(xf先作奇延拓，再作周期延拓，计算傅里叶系数得 ),2, 1,0(0nanxxnxbnd2sin222022022cossin22nxnxxnn),2, 1() 1(4cos41nnnnn从而可得正弦级数 ,2sin) 1(4)(11xnnxfnn)20( x（2）将 )(xf先作偶延拓，再作周期延拓， 计算傅里叶系数得 2d22200 xxaxxnxand2cos222022022sincos22nxnxxnn 1) 1(422nn12,) 12(82,022knkkn),2, 1(k从而可得余弦级数 )20(2) 12(cos) 12(181