最大值和最小值定理

1、最大值和最小值定理定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界

2、. .证证,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf二、介值定理二、介值定理定定理理 3 3( (零零点点定定理理) ) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号( (即即0)()( bfaf) ), ,那那末末在在开开区区间间 ba,内内至至少少有有函函数数)(xf的的一一个个零零点点, ,即即至至少少有有一一点点 )(ba ，使使0)( f. .定义定义: :.)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfx

3、xfx .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴轴至至少少有有一一个个交交点点线线弧弧与与则则曲曲轴轴的的不不同同侧侧端端点点位位于于的的两两个个连连续续曲曲线线弧弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf )(

4、)(ba . .xyo)(xfy 几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有

5、有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )

6、()(, 0 .)( f即即三、小结三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点.思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内内连连续续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点.一、一、 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一个正根，并且它不超过少有一个正根，并且它不超过ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上连续，上连续，bxxxan 21 则在则在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxfn)(.)()()(21