最新人教版八年级数学下册第十六章-二次根式导学案(全章)

1、第十六章二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：a 0(a 0)和(F)2 a(a 0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.难点：综合运用性质 n 0(a 0) ffi(Va)2 a(a 0)。三、学习过程(一)复习回顾：(1) 已知 x2 a ,那么 a是x的;*是2的, 记为, a一定是数。(2) 4的算术平方根为 2,用式子表示为/4 = ；正数a的算术平方根为, 0 的算术平方根为 ;式子va 0(a 0)的意义是。(二)自主学习(1)/6的平方根是

2、；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式h 5t2。如果用含h的式子表示t,则t=;(3)圆的面积为S,则圆的半径是 ;正方形的面积为b 3,则边长为。思考：而，机,J,后方等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义：一般地我们把形如 后(a 0)叫做二次根式，a叫做。J。1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？316 3 45 _a(0) x2 1(a )32、当a为正数时指a的,而0的算术平方根是 ,负数,只有非 负数a才有算术平方根。所以，在二次根式 右中，字母a必须满足，才有意义。3、根据算术平方根

3、意义计算：(1)(的)2(2)(、2(3)(汨)2(4)心2根据计算结果，你能得出结论：(.)2 ，其中a 0,4、由公式(扃 a(a 0),我们可以得到公式a = «a)2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。如(、5)2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=( ,5)2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：60.35(2)在实数范围内因式分解2-72x 74a -11(三)合作探究例：当x是怎样的实数时，/口在实数范围内有意义？解：由x 2 0 ,得x 2当x 2时，5rx""2在实数范围内有意义。练习：1、x取

4、何值时，下列各二次根式有意义？ J3x 4 J2 2 x J，32 x2、(1)若ja一a有意义，则a的值为:(2)若 厂x在实数范围内有意义，则*为()。A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数1 2x3、(1)在式子二中，x的取值范围是1 x(2)已知 Vx2 4 + 2xy = 0,贝U x y .(3)已知 y 43x2 ,则 yx=0(四)达标测试(一)填空题：1、2、若 <2x 1 y 1 0 ,刃B么 x=, y=。3、当x=时，代数式;4TW有最小值，其最小值是 o4、在实数范围内因式分解：(1)x29 x2 ( )2=(x+ ) (y-)(2)x2 3x2( )2=(

5、x)(y-)(二)选择题：1、一个数的算术平方根是a,比这个数大3的数为()A、a3 B、jM3 C> Va 3 D、a232、二次根式中，字母a的取值范围是()A、 a< l B 、a< 1 C 、a>1 D 、a>12、已知0则x的值为A x>-3 B 、x<-3 C 、x=-3 D、x 的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 ()。2A 3= (V3)2 B、 0.5= (V0.5)2 C、7060.6 D、(547)2 35课后记：二次根式(2)、学习目标1、掌握二次根式的基本性质： Ja2 a 2 、能利用上述性质对二次根式进行化简、学习重点

6、、难点重点：二次根式的性质va7 a.难点：综合运用性质 后 | a进行化简和计算三、学习过程(一)复习引入：(1)什么是二次根式，它有哪些性质？(2)二次根式J-2有意义,则x。:x 5(3)在实数范围内因式分解：x2 6 x2 ( ) 2= (x+ ) (y-)(二)自主学习1、计算：/42而2y(327202 5 观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当 a 0时，2、计算： 式 4)2 J( 0.2)2小 |)2 J( 20)2观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当 a 0时,Ja2 3、计算：0Q2 当 a 0时，Va_2_ (三)合作交流1、归纳总结将上面做题过程中得到的

7、结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a a 0二-2-vaa 0 0a a 02、化简下列各式：(1)、d谖 (2)、J( 0.5)2 (3)、v；(6)2 (4)> v 2a 2 =(a 0)3、请大家思考、讨论二次根式的性质(点)2 a(a 0)与J7 |a有什么区别与联系。(四)巩固练习化简下列各式(1) <4x2 (x 0)(2)&(3) % (a 3)2 (a 3)(4) 2 2x 3 2 (x<-2) 注：利J用J/ a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行 化简的关键是准确确定“ a”的取值。(五)达标测试：A

8、组1、填空：(1)、&2x 1) 21 2 x f 4 - , (x -)4 x. x-(j2x 3)2(x 2)=. (2)、7(4)?= (3) a、b、c为三角形的三条边，则 J(a b c)2 |b a c .2、已知2Vx<3,化简：加2)2 |x 3313已知0<x<1,化简：'( B组4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为 a的正方形方孔.若沿图中虚线锯开，可以拼成 3一个新的正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.、一15、把2爪口的根号外的2 x适当变形后移入根号内，得()A <2 x B、v'x 2 C、<2 x

9、 D、 Jx 2 6、若二次根式q 2x 6有意义,化简I x-4 | - | 7-x |课后记:二次根式的乘除法二次根式的乘法、学习目标理解卢弗=4a (a>0, b> 0), Oab=Oa 耶(a>0, b>0),并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程(一)复习引入1.填空：(1) >/4x/=, y/49=；(2) 炳 xV25=, J16 25=；VT6 x V25 木6 25(3)廊0 义质=, J100 3

10、6 =7100 X V36_J100 36(1)75x 77例2、化简(1) .9 16巩固练习(1)计算：屈X或5V5 X2v;15 12a3(2)化简: 20；.18;.24 ;54 ;12a* 2b2(二)、探索新知1 、学生交流活动总结规律.2 、一般地，对二次根式的乘法规定为ya . yb = yan.(a>0, b>0 反过来：jab=ja 内(a>0, b>0)（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(1) ,( 4) ( 9) C。(2)1412 X 应5=4X .12 X 255 =4j12 X 725=4/

11、2=873 25': 25 25(四)展示反馈展示学习成果后，请大家讨论：对于 展x工眨7的运算中不必把它变成 V243后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。（2）分解后把能开尽方的开出来。（五）达标测试：A组1、选择题（1）等式?成立的条件是（）A . x>1 B . x>-1 C . -1 <x<1 D . x>1 或 x"（2）下列各等式成立的是（）.A. 4<5 X

12、 2/5 =875B . 5 <3 X42 =2075C. 4<"3 X3V2 =7<5 D . 573 X42 =2076（3）二次根式；（2）2 6的计算结果是（）A . 2而 B , -2 66C .6 D . 122、化简：(1) 7360;(2) J32x4 ；3、计算:1、选择题(1)若 a 2 b2 4b 4 Jc2 c 1 0 ,则 jb2 ?4£? A =()A. 4 B , 2 C . -2 D.1(2)下列各式的计算中，不正确的是()A .忒 4) ( 6) C 口= (-2) X (-4) =8B .<14a4J4Va442

13、，(a2)22a2C .<32 42J9 16 255D.1321 22.(131 2)(13 1 2)13 1 21 3 1 225 12、计算：(1) 6V8 X (-2 J6);(2) 780b J氤；3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。(1) -33(2)课后记:二次根式的除法、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程（一）复习回顾1、写出二

14、次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算:(1) 3 乖乂 (-4 乔)(2) J12ab,6ab33、填空:般地，对二次根式的除法规定:反过来,卜面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.（二）、巩固练习).注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式（三）拓展延伸阅读下列运算过程：1 _3_ 直 _2_ _215_ 2.5君於a 3,非 V5V55数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。利用上述方法化简：(1) 工 (2) 3=

15、 三二( 4)邛=63,2122,5（四）达标测试:1、选择题（1）计算后行旧的结果是（A. 2 # B .2 C.7277（2）化简里!的结果是（）,27A.q B .一宝 C .-2、计算：（D2（2） 率48, 8x用两种方法计算:(2)(1)专课后记:最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式.3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算 三、学习过程（一）复习回顾1、化简(1) .96x4 =(2) 3= =2733 248(3) =(4) -=

16、=-5.272a2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么?(二)自主学习 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1 .被开方数不含分母；2 .被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.2、化简： 352(2)Jx2y4 x4y2(3)国7(4) 半(三)合作交流2、比较下列数的大小(1)必与同(2)7也与 677注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理 化。2、判断是否为最简二次根式的两条标准：(1)被开方数不含分母；

17、(2)被开方数中所有因数或因式的幕的指数都小于 2.(四)拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1 (、,2 1).2 1.2 1( . 2 1)(、2 1)2 1<2 1,1 (,3 .2)(.3 .2)( . 32)同理可得：= 2 33 ,2,.3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+.2009, 2008)(20099 1)的值.（五）达标测试:1、选择题(D如果（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）.r.三(y>0) B .弧(y>0) C.为（y>0） D .以上都不对 y(2)化简二次根式a,a 2、-

18、.a 22、填空:(1)化简. x4 x2y2,(x>0)一，1.(2)已知x y,贝U x.5 23、计算:512533b4、计算:Jab ?( 7a b) 3J ( a>0, b>0)b21. a5、若 x、y 为实数，且 y= x2 44 x21,求 j7"?；M 的值 x 2'课后记:二次根式的加减学案（1）学习内容：同类二次根式二次根式的加减学习目标：1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式2、理解和掌握二次根式加减的方法.3 、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结 经验，用它来指导根式的计算和化简

19、.学习重点、难点1、重点：二次根式化简为最简根式.2、难点：会判定是否是最简二次根式.学习过程-、 自主学习（一）、复习引入计算.(1) 2x 3x; (2) 2x2 3x2 5x2 ; (3) x 2x 3y; (4) 3a2 2a2 a2（二）、探索新知学生活动：计算下列各式.(1) 2 版+3 版=(2) 2乖-3乖+5册=(3) "+2"+3>/9"7 =(4) 3>/3-2 73+72 =由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2V2与通表面上看是不相同的,但它们可以合并吗？也可以.（与整数中同类项的意义相类似我们把 3/3与2/3

20、, 3jW、 2ja与4指这样的几个二次根式，称为同类二次根式）3.2 + ,8=3,2+2<2 =5,23,3+ 27 =3.3+3,3 =6.3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，？再将同类二次根式进行合并.例1.计算 （1）忠+牺(2) ,T6x + . 64x例 2.计算(1) 3748-9 /1+3V12(2)(V48+V20 ) + (VT2-V5)归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步，将相同的最简二次根式进行合并.、巩固练习12('3 S)( .4820) ( -125) x:；4y(4)6x x)、学生小组交流解疑，教师

21、点拨、拓展例 3.已知 4x2 3+y2-4x-6y+10=0 ,求(？x而+y2)-(x23 y-5x I-)的值.四、课堂检测（一）、选择题.以下二次根式： 疯；万；J|；商中，与73是同类二次根式的是（）.A .和 B .和 C .和 D .和2.下列各式：3代+3=673;-"=1；/|+而=78=27l ；W|4=2VI,其中错误7. 3的有（）.A .3个 B.2个 C.1个 D.0个3 .在下列各组根式中，是同类二次根式的是 （）(A) 73 和瓦 (B) J3 和，-(C) Va2b 和 v/ab2 (D) 和4 .下列各式的计算中，成立的是（(A) 2,5 2 -

22、5(B) 4 5 3,51 (C)x2 y2x y (D) . 45. 20. 55 .若 a -J-, b2 1b）的值为（ a(A)2(B) -2(D) 22、填空题1 .在 5/8、.125、2/37'、3底、 a-2（中，与岛是同类二次根式的4 .若最简二次根式73a b与a痂 是同类二次根式,则a=, b =5 .计算:1) ) -V27a3a2 J33a J- J108a(2) > 32J12Pv75V053a ' 34. 8' 3三、综合提高题先化简，再求值.(6x 丫 3%守)(4xJ-久36xy),其中 x=3 , y=27. x y'

23、y2课后记:二次根式的混合运算、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算、学习重点、难点重点：熟练进行二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用 三、学习过程（一）复习回顾:1、填空(1)整式混合运算的顺序是： (2)二次根式的乘除法法则是：(3)二次根式的加减法法则是： (4)写出已经学过的乘法公式：2、计算：(1)屈居榭(二)合作交流1、探究计算：(1) ( V8 33 ) X 762、探究计算：(1) (、.2 3)(.2 5)(三)展示反馈1巾计算： (1) ( 27 V24 33(3) (3 <2 2 T3)2(2) - J(3

24、) 2 3 8 8 -122. - Y50.41625(2) (4.2 3,6) 2,22(2) (2,3 、2)点 *12(2) (2J3 V5)(v 2 33)(4)(V10-”)(-710-77)注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。(四)拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2,你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如 3= ( 73)2) 5= ( ；5) 2,下面我们观察：(.2 1)2

25、(,2)2 2 12 12 2 2、.2 1 3 2、. 2反之，3 2,2 2 2,2 1 (、.2 1)23 2.2 ( .2 1)23 2.2 =2-1仿上例，求：(1); ,4 2北(2)你会算v'4行2吗?(3)若 x*a 2cb Vm 而，则 m n与a、b的关系是什么？并说明理由.(六)达标测试：1、计算：(1) (<80 90)展A组(2) 24.3.6 2.3(3) (403b 3ab vab") (Vab) (a>0, b>0)(4) (2辰 5商- 2«- 5&)2、已知 a 7二,b,求 v'a2 b2 10

26、 的值.2 1、2 1B组1、计算：(1) (<3箍 1)(<3 姓 1)(2) (3月) 2009(3 炳 2009课后记:二次根式复习、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式的乘除法运算。3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。三、复习过程(一)自主复习1. .若a>0, a的平方根可表示为 a的算术平方根可表示2. 当a 时，J1 2a有意义，当a 时，J3a5没有意义。3. «32 师 2)2 4. V14 V48 ； <72 <18 5. 122 9 ;4V25 <20 (二)合作交流，展示反馈1、式子 三 以4成立的条件是什么？x 5 x 52、计算： 2配14r3 57243.计算：(1)应 5我 3/75(2)(3,2 2、3)2(三)