产销问题的数学建模

1、产销问题的数学模型电子信息工程学系詹宗福 张娜 何怿潍产销问题的数学模型摘要以产销为主的公司对成本的花费和利润的回收是十分重视的，本文则针对这个问题，建立了关于该企业手工产品产销问题的优化模型1，解决了该企业最优产销方案的问题。企业产品产销始于购入物料，经加工制成或经组合装配成为产品，最后通过销售获取利润，所以当成本最小的时候，公司可获得最大利润。在问题一中根据成本的类型，可以分为两类，即产品成本与人力成本。本文先将各成本定义成不同的数学变量，再依据时间与各成本间的关系可得出在计划期内的各成本的花费，最后由公式：得出计划期内的成本总和Q。最后运用多元函数的极值的求解方法并借助LINGO/LIN

2、DO软件来计算，便可求出成本Q的最小值842504，以及获得最大利润SMAX=897496元。促销2是营销者为扩大销售而进行的商业活动，但是如果不合理安排促销的活动及做好适当的成本利润评估，就很容易让营销者在此商业活动中亏损。在问题二中，就在淡季的一月促销产品和在旺季的四月促销产品这两种方案进行了成本和利润的分析。在此问题中，我们依然用问题一的方法，即多元函数的极值的求解法来求出这两种方案的成本和利润。由结果可知，若在淡季的一月促销产品，则在这个计划期内的成本为842214元，利润为875086元；而在旺季的四月促销产品，计划期内的成本为842454元，利润为868306元。由第一问可知，在无

3、促销的计划期内的成本是842504元，利润为897496元。所以，将以上三组数据进行对比，可得出以下结论：降价促销会引起总收入减少，但促销带来的增长会使需求的变化变得平稳引起总成本的下降。一般在淡季进行促销时总成本下降的幅度较大，使需求平稳的同时生产的安排也更加平稳。所以在这三种方案中，计划期内无促销为最佳方案。由于以上的问题都主要考虑的是生产产品的问题，本文建议可再通过对客户需求以及市场波动进行数据处理，也可建立一个价格策略3模型与本模型结合起来，将得到更加精确的产销模型。关键词： 数学规划 多元函数的极值法 LINGO/LINDO软件 最优产销方案1 问题重述某企业主要生产一种手工产品，在

4、现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。表1. 产品需求预测估计值（件）月份1月2月3月4月5月6月预计需求量1000110011501300140013001月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。表2. 产品各项成本费用原材料成本库存成本缺货损失外包成本

5、培训费用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资 100元/人1.6小时/件12元/小时/人18元/小时/人 （1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。2 模型的分析这是企业生产产品前做产销计划欲求产销优化的问题，目标

6、是使得成本低、利润大。现知道，成本为：原材料成本、库存成本、缺货损失成本、外包成本、工人培训费用、工人的正常工资及加班工资、解聘工人的费用。且这些成本为线性函数。约束条件为：聘用和解雇人员的限制，生产能力的限制，库存的限制，加班限制等。结合以上，找出各个变量之间的关系，列出目标函数，把实际问题转化成数学问题进行分析和求解，建立多变量求目标函数最值的非线性规划模型。根据分析，在合理假设条件下，列出各方面因素对利润和成本影响的关系式，借助LINGO/LINDO软件进行问题求解。3 模型的假设与符号说明3.1 模型的假设（1）生产过程是连续的,即每天都生产；（2）每个员工的健康状况、每月的工作时间、

7、工作效率等相同；（3）六月末为零库存，但不缺货；（4）预测的各月的产品需求均为定值。3.2 符号的说明S六个月的总利润（单位：元）；L六个月总的销售额（单位：元）；Q上半年企业生产所需的成本（单位：元）；Di第i个月产品需求预测估计值（单位：件）；Wi第i个月的员工数（W0=10）(单位：人）；Ti第i个月每个员工工作总时间 （单位：小时）；xi第i 个月员工生产量（单位：件）；yi第i个月外包生产量（单位：件）；ai第i个月新聘用的工人数（单位：人）；bi第i个月解聘工人数（单位：人）；hi第i个月库存量（单位：件）；ki第i个月缺货量（单位：件）。4 模型的建立4.1 生产成本与各方面因素

8、的关系如图1所示：库存费缺货量外包量物力成本生产成本Q人力成本当月员工数当月初招聘人数当月末解聘人数当月加班时间当月生产量即为z图1 生产成本与各方面因素的关系示意图4.2 模型建立通过以上的全面分析，此时可以对该问题建立数学模型求产销最优解。模型建立：根据题目已知条件：因为6月末的库存为0（不允许缺货）,说明货物全部卖出；所以L=(1000+1100+1150+1300+1400+1300)*240，即L为定值。当成本Q最低时，企业达到利润最大。根据各变量的关系可列出关于成本Q的式子：MIN：STi=1,2,3,4,5,65 模型的求解模型求解结果：（1）由以上的分析、假设、LINGO/LI

9、NDO程序的运行，同时考虑到模型在实际当中有些的决策变量只能取整数，对得到的计算结果进行必要的取整，可得到该公司的总生产计划如表3所示：表3. 该公司生产计划表时期n雇佣工人数解雇工人数工人人数加班时间库存缺货外包生产数量00010020000010280400084022010805010553101100001155420130650013655001303000136560112160001270结论：总成本为842504元。而产品的销售价格为240元/件，则计划期间的销售收入为：L=1740000元；计划期间的利润为S1= L-Q=897496（元）；因此，若我是公司决策人员，我会选：

10、W1=10，W2=11，W3=13，W4=13，W5=13，W6=12;T1=0，T2=8，T3=0，T4=0，T5=0，T6=16;x1=1055,x2=840,x3=1155,x4=1365,x5=1365,x6=1270;y1=0,y2=0,y3=0,y4=0,y5=0,y6=0;h1=40,h2=0,h3=0,h4=65,h5=30,h6=0;k1=0,k2=5,k3=0,k4=0,k5=0,k6=0;a1=0,a2=2,a3=1,a4=2,a5=0,a6=0;b1=2,b2=0,b3=0,b4=0,b5=0,b6=1.的产销方案来达到成本最低、利润最大。（2）依题意，两种促销方案的预

11、计产品需求量如表4所示：表4. 两种促销方案预计产品需求量表月份123456一月份促销预计需求量113510341081130014001300四月份促销预计需求量100011001150146213161222一月份促销计划结果：利用前面给出的成本最小规划模型，将相关参数值代入该模型进行求解，得到一月份促销方案的结果为：一月份促销方案，总成本为842214元；销售收入为220×1135+240×1034+1081+1300+1400+1300=1717300元；S2=1717300-842214=875086元。四月份促销计划结果：四月份促销方案，总成本为842454元；

12、销售收入为L=220×1462+240×1000+1100+1150+1316+1222=1710760元；利润为S3=1710760-842454=868306元。因此，我们选不促销方案（1）为最优产销规划方案。6 模型的进一步分析与讨论模型的结果分析：S1>MAX(S2,S3)S说明了从利润最大化考虑，无促销方案是最优产销方案，如图所示，第一方案产品的预计需求量比较稳定他的利润最大（如图2）：图2 三种促销方案的曲线图但也说明了一个问题，在总六个月预计需求量为常数情况下，是价格影响了最终的S。本题的目标都是成本最少、利润最大。分析价格的假设：假设中价格是稳定的，显

13、然这是不合理的，实际生活中，价格不是一个常数，而是变量，且它的变化关系不能确定，单对一个产品而言，只有在平均价格水平高于成本时，企业才能获利。价格主要是受它的社会平均成本4的影响（社会平均成本：它是指部门内不同企业生产同种商品或提供同种服务的平均成本，是商品和服务的定价成本，按社会平均成本定价是价值规律的要求），它是由顾客、社会、企业，甚至国家政府共同来完成标价的，影响它的因素大概的可以概括为四个：产品成本、市场需求、竞争需求和其他因素。但它是围绕在它的价值上下波动的。价格的波动影响了公司生产是否积极、产品的预计需求量，最终影响公司的收益。所以，在合理的市场经济条件下并且六个月的总预计需求量为

14、定值，一定存在一个价格（此价格约等于价值）能使得本公司的收益额最多。设第i月价格由240元降为P（P>单位数量的产品的平均收益，P<240，i=1,2,3,4），后两个月就有G%的需求会提前到促销月发生，则由S=L-Q输出最优的价格Pmax和最大利益Smax（这是一个多目标的线性规划问题）。表5. 每月预计需求量表月份1月2月3月4月5月6月预计需求量A1A2A3A4A5A6x1+x2+x3+x4+x5+x6+y1+y2+y3+y4+y5+y6=7250；令D1= A1，D2= A2，D3= A3，D4= A4，D5= A5，D6= A6；P<240，i=1，2，3，4；代入

15、第二题的编程里解出 （其中6%换成G%，220换成P，由于这个设题中参数的不确定，无法求出最终正确的最优解，所以不在这具体求出）假设最终产品的预计需求量为定值，这是不合理的，它只能大概预测一个需求量的范围讨论企业员工的假设：因为是手工生产的，产品必须是有人完成的。员工的假设中不可能每个员工个个条件都是一样的，他们的健康状况不一样、工作效率不一样（即不一定是1.6小时/件），就会造成工作时间的不确定，以至于无法制定生产计划，这是无法用数学方法解出来的。所以题目中我们把时间看成Ti（即它的平均值）。讨论模型中产品需求预测估计值：它也是不确定数，所以6月末的库存为0（不允许缺货）的假设也是不合理的（

16、如表6）：表6. 举例某房产公司销售量情况表某房产公司销售量情况20010年1月份2009年12月份套数预测可卖（套）3009831228新增（套）1115010325销售量（套）1086211850供销比（%）102.65%87.13%7 模型的评价优点：（1）通过对问题进行分析，创造性地把影响产品的产销情况的因素，用数学规划把问题简单化；（2）对模型求解时，分步细求并结合各问题做出了相应的图表，使解题过程简洁易懂，具有很高的可读性；（3）建立产品产销模型，在理论上有一定的基础，在实际操作上有可行性。把抽象的事物具体化、数字化，使我们讨论起来更加简便。缺点：用极值法求解产销问题时，由于一些数

17、据以及条件的理想化，不能与实际完全相同，所以存在一定的误差。但考虑到经理想化的数据和条件的变化波动不大，所以是可以接受的。8 模型的前景对于企业，在生产产品前，制定出一份详尽的产销计划策划：首先体现了该企业事先计划与事中控制的思想，考察市场所需，再结合企业能力，二者相协调，尽量减少不必要的损失。其次体现了该企业对整个供应链资源进行管理的思想，把经营过程中的有关各方如供应商、制造工厂、分销网络、客户等纳入一个紧密的供应链中，才能有效地安排企业的产、供、销活动，满足企业利用全社会一切市场资源快速高效地进行生产经营的需求，以期进一步提高效率和在市场上获得竞争优势。另外，还体现了其精益生产、同步工程和

18、敏捷制造的思想，生产成本计划、物料需求计划、能力计划、采购计划、销售执行计划、利润计划、财务预算和人力资源计划等，不仅会在效率上有好的表现，而且更会使得生产计划有条不紊的进行。综上，我们认为，产品产销模型是企业生产必不可少的环节，而且适用于任何一个企业，具有普遍性，值得大力推广。参考文献：1 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，高等教育出版社，2009年版。2 百度百科，促销，1，2010年5月14日。3 价格策略：影响定价的因素。4 社会平均成本，2010年5月16日。9 附录附录：第一部分，是我们对该企业产销模型求解时运用LINGO/LINDO软件编写的程序及输出的结果；第二部分，在运用LIN

19、GO/LINDO软件时的窗口截屏。（1）使用LINGO软件进行模型求解对第一问用LINDO软件求解的程序如下：min 18W1T1+18W2T2+18W3T3+18W4T4+18W5T5+18W6T6-1008W1-1008W2-1008W3-1008W4-1008W5-1008W6+100x1+100x2+100x3+100x4+100x5+100x6+200y1+200y2+200y3+200y4+200y5+200y6+10h1+10h2+10h3+10h4+10h5+10h6+20k1+20k2+20k3+20k4+20k5+20k6+50a1+50a2+50a3+50a4+50a5+

20、50a6+100b1+100b2+100b3+100b4+100b5+100b6stx1+y1-h1+k1=1000x2+y2+h1-h2-k1-k2=1100x3+y3+h2-h3-k2-k3=1150x4+y4+h3-h4-k3-k4=1300x5+y5+h4-h5-k4-k5=1400x6+y6+h5-h6-k5-k6=130010T1+a1T1-b1T1-1.6x1>010T2+a1T2-b1T2+a2T2-b2T2-1.6x2>010T3+a1T3-b1T3+a2T3-b2T3+a3T3-b3T3-1.6x3>010T4+a1T4-b1T4+a2T4-b2T4+a3

21、T4-b3T4+a4T4-b4T4-1.6x4>010T5+a1T5-b1T5+a2T5-b2T5+a3T5-b3T5+a4T5-b4T5+a5T5-b5T5-1.6x5>010T6+a1T6-b1T6+a2T6-b2T6+a3T6-b3T6+a4T6-b4T6+a5T6-b5T6+a6T6-b6T6-1.6x6>0T1>168T2>168T3>168T4>168T5>168T6>168T1<178T2<178T3<178T4<178T5<178T6<178W1>0W2>0W3>0W4&

22、gt;0W5>0W6>0T1>0T2>0T3>0T4>0T5>0T6>0x1>0x2>0x3>0x4>0x5>0x6>0y1>0y2>0y3>0y4>0y5>0y6>0a1>0a2>0a3>0a4>0a5>0a6>0b1>0b2>0b3>0b4>0b5>0b6>0h1>0h2>0h3>0h4>0h5>0h6>0k1>0k2>0k3>0k4>0k5

23、>0k6>0x1+x2+x3+x4+x5+x6+y1+y2+y3+y4+y5+y6=7250end运行结果为：Variable Value Reduced Cost W1T1 0.000000 18.00000 W2T2 0.000000 18.00000 W3T3 0.000000 18.00000 W4T4 0.000000 18.00000 W5T5 0.000000 18.00000 W6T6 0.000000 18.00000 W1 0.000000 -1008.000 W2 0.000000 -1008.000 W3 0.000000 -1008.000 W4 0.00

24、0000 -1008.000 W5 0.000000 -1008.000 W6 0.000000 -1008.000 X1 1000.000 0.000000 X2 1100.000 0.000000 X3 1150.000 0.000000 X4 1300.000 0.000000 X5 1400.000 0.000000 X6 0.000000 -100.0000 Y1 0.000000 100.0000 Y2 0.000000 100.0000 Y3 0.000000 100.0000 Y4 0.000000 100.0000 Y5 0.000000 100.0000 Y6 1300.0

25、00 0.000000 H1 0.000000 10.00000 H2 0.000000 10.00000 H3 0.000000 10.00000 H4 0.000000 10.00000 H5 0.000000 -90.00000 H6 0.000000 100.0000 K1 0.000000 20.00000 K2 0.000000 0.000000 K3 0.000000 0.000000 K4 0.000000 0.000000 K5 0.000000 100.0000 K6 0.000000 110.0000 A1 0.000000 50.00000 A2 0.000000 50

26、.00000 A3 0.000000 50.00000 A4 0.000000 50.00000 A5 0.000000 50.00000 A6 0.000000 50.00000 B1 0.000000 100.0000 B2 0.000000 100.0000 B3 0.000000 100.0000 B4 0.000000 100.0000 B5 0.000000 100.0000 B6 0.000000 100.0000 T1 168.0000 0.000000 A1T1 0.000000 0.000000 B1T1 0.000000 0.000000 T2 176.0000 0.00

27、0000 A1T2 0.000000 0.000000 B1T2 0.000000 0.000000 A2T2 0.000000 0.000000 B2T2 0.000000 0.000000 T3 178.0000 0.000000 A1T3 0.000000 0.000000 B1T3 0.000000 0.000000 A2T3 0.000000 0.000000 B2T3 0.000000 0.000000 A3T3 60.00000 0.000000 B3T3 0.000000 0.000000 T4 178.0000 0.000000 A1T4 0.000000 0.000000

28、B1T4 0.000000 0.000000 A2T4 0.000000 0.000000 B2T4 0.000000 0.000000 A3T4 0.000000 0.000000 B3T4 0.000000 0.000000 A4T4 300.0000 0.000000 B4T4 0.000000 0.000000 T5 178.0000 0.000000 A1T5 0.000000 0.000000 B1T5 0.000000 0.000000 A2T5 460.0000 0.000000 B2T5 0.000000 0.000000 A3T5 0.000000 0.000000 B3T

29、5 0.000000 0.000000 A4T5 0.000000 0.000000 B4T5 0.000000 0.000000 A5T5 0.000000 0.000000 B5T5 0.000000 0.000000 T6 168.0000 0.000000 A1T6 0.000000 0.000000 B1T6 0.000000 0.000000 A2T6 0.000000 0.000000 B2T6 0.000000 0.000000 A3T6 0.000000 0.000000 B3T6 0.000000 0.000000 A4T6 0.000000 0.000000 B4T6 0

30、.000000 0.000000 A5T6 0.000000 0.000000 B5T6 0.000000 0.000000 A6T6 0.000000 0.000000 B6T6 0.000000 0.000000 K5K6 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 -0.1000000E+31 -1.000000 2 0.000000 10.00000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 10.00000 5 0.000000 10.00000 6 0.000000 10.00000 7 0.00000

31、0 -90.00000 8 80.00000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 1680.000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 8.000000 0.000000 16 10.00000 0.000000 17 10.00000 0.000000 18 10.00000 0.000000 19 0.000000 0.000000 20 10.00000 0.000000 21 2.000000 0.000

32、000 22 0.000000 0.000000 23 0.000000 0.000000 24 0.000000 0.000000 25 10.00000 0.000000 26 0.000000 0.000000 27 0.000000 0.000000 28 0.000000 0.000000 29 0.000000 0.000000 30 0.000000 0.000000 31 0.000000 0.000000 32 168.0000 0.000000 33 176.0000 0.000000 34 178.0000 0.000000 35 178.0000 0.000000 36

33、 178.0000 0.000000 37 168.0000 0.000000 38 1000.000 0.000000 39 1100.000 0.000000 40 1150.000 0.000000 41 1300.000 0.000000 42 1400.000 0.000000 43 0.000000 0.000000 44 0.000000 0.000000 45 0.000000 0.000000 46 0.000000 0.000000 47 0.000000 0.000000 48 0.000000 0.000000 49 1300.000 0.000000 50 0.000000 0.000000 51 0.000000 0.000000 52 0.000000 0.000000 53 0.000000 0.000000 54 0.000000