小学数学易混概念辨析手册

1、小学数学易混概念辨析手册一、整、小数部分【自然数和自然数列】自然数：表示物体个数1、2、3、4、5等叫做自然数。自然数列：从“1”起，顺次加上“1”，就得到1、2、3、4、5这样一列数，叫做自然数列。自然数与自然数列的关系与区别：自然数的单位是“1”，自然数的个数是无限的；自然数列包含了所有的自然数，自然数列是从“1”起由小到大排列的自然数。在自然数列中，每一个自然数的后面都跟着且跟着一个自然数自然数列可以无限制地延续下去，在自然数列中，任何两个数都不相同，排在前面的数较小，排在后面的数较大。注意：新的教材规定，“0”也是自然数。【数字和数】“数字”是用来写数的符号如1、2、30十个数码。“数

2、”是由十个数字中的一个或某几个排列起来，表示事物的次序或多少的。数字与数的关系及区别：“数”是用“数字”表示，“数字”是构成“数”的要素，“数字”只有十个，但构成的数则无穷。同一个数字所占数为不同所标示的数也不同。例如：2015是一个四位数，这个数是由2、0、1、5四个数字构成的。【数位和位数】数位：是指一个数的每个数字所占的位置。如个位、十位、百位位数：一个数中数位的个数，如125是三位数。关于位数，小学数学课本中已做了明确的说明，并给出了整数数位顺序表。又给出了整数和小数的数为顺序表。有这个数为顺序表，我们可以清楚地看出，数位就是在用数字表示数时，各计数单位按一定顺序排列所占据的位置。整数

3、的计数单位是个、十、百、千、万，他们各自占据的数位被形象地称作个位、十位、百位、千位、万位。整数数位是由右向左依次排列的，有了数位，我们就可以用数字记数和读出所记的数了。“位数”一词不是单独出现的，我们常说“几位数”（如两位数、三位数、多位数），说“几位数”是自然数而言。用一个数字记出的数（不是0），叫做一位数（如1、3、6、9）、两位数（如10、99）、三位数（如100、999）。所以，在一个自然数中，数字的个数是几（其最左端数字不为0），这个自然数就是几位数，对于小数，其小数部分占有几个数位，就叫做几位小数，如0.05是两位小数，32.1是一位小数，如1.95保留一位小数，其近似值是2.0

4、。由上可知，数位和位数完全不是一回事。如：在进行加减计算时，我们说要“先把数位对齐”，而不能说“相同位数对齐”，我们可以说“含有4个数位的自然数是四位数”，而不能说“含有4个位数的自然数是四位数。”【数与量】1、 凡是量，都可以用一定的单位来量它，用一定的单位量一个量，就得到一个数，例如：用米为单位来量南京长江大桥的铁路桥就得到6772，等等。2、 量的大小和表示这个量的数值的大小不能混同，量的大小本来是一定的，而数值的大小则随着度量单位的不同而变化，例如亩产小麦400公斤，若以吨为单位，则为0.4吨。3、 数是不能离开量而孤立存在的，例如“5”是从5米布、5公斤米等不同量中抽象出来的相同属性

5、，但离开了布、米等概念，数“5”也就没有意义了。【记数、计数、计量】记数（写数），就是书面写数的意思。计数，就是计算事物的个数，也就是数数，可以一个一个地数，一对一对地数，五个五个地数。计量，就是把一个暂时未知量同另一个作为标准的约定的已知量作比较，这个比较的过程，就叫做计量。如，一段布多长是一个暂时未知量，“米尺”是一个约定的已知量，用“米尺”量这段布，这个过程就叫做计量。【计量与计量单位】把一个量同一个作物标准的同类量进行比较，叫做计量，用来作计量的标准的量，叫做计量单位。如用米尺量布是计量，而米是计量长度的一种单位。【数量、数值和量数】数量：量的多少、大小用数及计量单位来表示，通常称为数

6、量。如“10公斤”是一个数量。数值：一个量用数目表示出来多少，称为这个量的数值，如10公斤的“10”。量数：用一个计量单位去计量某一量，得到这个量所含单位量的倍数，叫做量数，如：用米做计量单位测得黑板边长4米，量数是“4”，数量是“4米”等等。【时与小时】时是指某一确定的时刻，而消失却是时间的一种计算单位，是指经过了多少时间。例如，晚上8时睡觉是指睡觉这一行为发生在一天的这一时刻；而睡了8小时，是指睡觉这一行为经过了8个小时的时间。所以，时和小时的意义是不同的。【时刻与时间】钟表上时针、分针、庙镇所指的每一位置，表示某一特定的时刻；它的单位有时（点）、分、秒。不同日期、不同时刻的间隔叫时间；他

7、们的单位是小时、分、秒。时间可进行计算；而时刻不能直接进行计算。【算法与算理】算法是指计算的方法，视其计算的种类而有种种名称，例如竖式计算法、表内乘除法、求最大公约数的方法、速算法等等。算理是指算法所依据的原理，例如，计算加法所依据有“加法交换律、结合律以及相同单位的数才能直接相加” 等等。例如：23+45=（20+3）+（40+5） 数的分解 =（20+40）+（3+5） 交换律、结合律 = 60+8 相加 =68 数的组成写成竖式：2 3 相同的数位对齐+ 4 5 从个位加起 6 8 个位、十位上的数分别相加这里是用横式说明算理，用竖式说明算法。【式子与算式】式子是算式、代数式、方程式等的

8、总称。算式是用“+、-、×、÷”等符号联结数字而成的横列式子，但式子不一定都是算式，如（7+2）×5=9×5=45就是一个算式，但式子不一定都是算式，如（7+2）×5、式子在没有要求计算时，可以不算，而算式一般都要求算出结果来。例如“用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数编三个算式，一个加法、一个减法、一个乘法，每个数只许用一次”。这道题讲的是编算式，实际上要求出计算结果，答案是：1+7=8，9-4=5，2×3=6。【计算与运算】计算：格局算式中所给的数字和运算符号，求出算式的结果叫做计算。运算：依照加、减、乘、除等法则进行计算

9、称为运算。运算与计算在范围上稍有区别，运算必须依照四则运算法则进行，计算有时可以是运算，有时可以是口算，在简单情况下，可以直接得出结果。【名数与单位名称】所谓名数，就是量的量数后面附有单位名称的数，例如：8米、7公斤等都是名数。相对名数而言，量数是不名数。如8米是名数，“8”是量数，“米”是单位名称。名数和单位名称是两个既有联系又有区别的概念，不能把它们混淆起来。把米、公斤等说成是名数是错误的。【除与除以】24除6，商是多少？题中的“除”是表示“分”的意思，是24去分6，24是要分的份数，是除数，6是被除数。“除”与“除以”在用法上的区别是：先读除数（除数在前）时用“除”，如：24除6，列式为

10、6÷24。先读被除数（被除数在前）时则用“除以”，如：24除以6，列式为24÷6。【包含除法与等分除法】相同点：运算相同不同点：见下表不同点包含除法等分除法意义不同表示求一个数里包含几个另一个数的运算表示把一个数平均凤城几个等份，求那个一份是多少的运算解决问题不同解决求一个数是另一个数的几倍的问题解决求一个数的几份是多少的运算例子有12根筷子，每两根是一双，一共有几双？30个同学参加小排球比赛，平均分成5组，每组几个人？【路程与距离】区别：我们知道汽车从甲地道乙地的路程可以从汽车的计程器上读出，而甲、乙两地间的距离一般不能从计程器上看出。这是因为如果把两地看成两点，那么两点

11、间的距离就是连结这两点的线段的总长度，而路程往往大于这条线段的长度。两点间的距离，可以是这两地的路程，两地的路程不一定是这两地间的距离。【增加到和增加了】增加到：是指原有数与增加部分的和。增加了：只是指增加的部分，不包括原有的数。例如：5公斤增加了10公斤是5+10=15（公斤），结果是15公斤。若5公斤增加到10公斤是5+x=10（公斤），结果就是10公斤。【扩大、扩大了与扩大到】“扩大”、“扩大了”与“扩大到”这三个术语涉及到倍数关系时，都是一个意思。例如：去年种小麦20亩，今年种了60亩，我们可以说，今年小麦种植面积比去年“扩大3倍”，也可以说“扩大了3倍”，也可以说“扩大到”去年的3倍

12、。如不涉及倍数关系时，“扩大”与“扩大了”是一个意思，而“扩大到”又是另一个意思了。例如：某村去年种小麦20亩，今年种小麦比去年扩大了29亩，今年种小麦的面积扩大到多少亩：解：20+29=49（亩）答：今年种小麦的面积扩大到49亩。【减少了与减少到】“减少了”就是“减少”的意思，专指减少的部分。“减少到”是表示将某数减少以后的那个结果。例如：原来种花生50亩，现在“减少了”20亩，就是50-20=30（亩），最后结果是30亩.如果说现在“减少到”20亩，就是50亩-x=20（亩）。【减少与缩小】“减少”与“缩小”这两个术语的共同点，都是把一个数变小。如果不涉及倍数关系，“减少”与“缩小”都是表

13、示把原数减去另一个数。如：去年种花生80亩，今年种花生60亩，我们可以说：“今年花生的面积比去年减少20亩”；也可以说：“今年种植化身的面积比去年缩小20亩”。如去年种花生60亩，今年花生亩数比去年“缩小”了3倍，今年种花生的亩数应是60÷3=20（亩）。【增加与扩大】“增加”与“扩大”的共同点，在于欧式把一个数变大，而他们的区别是：“增加”是在原数的基础上加上另一个数，原数不包括在内。在工农业生产中，常把“增加”这个术语说成“增产”或“增长”。一个数扩大几倍与增加几倍都涉及到倍数关系，两者的含义是不相同的，一个数a扩大几倍，是表示把原数a乘以扩大的倍数n，即na；而一个数增加几倍，

14、是表示原数a加上原数a乘以倍数n的积，即a+na或a×（1+n）。【加、加法、加数、加号、和】例如：21+6=27，21和6是加法中相加的两个已知数，都叫加数，为了区别两个加数，可称“第一个加数”和“第二个加数”，27是21与6相加的结果叫做和，和是加法运算的结果，“加”是运算方法，“加号”是表示各个数相加的符号。【近似商0.53与0.530】小数的基本性质是：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；但是求近似商的时候，小数的末尾数位上的数字“0”不能任意舍去或添上，所以近似商0.53和0.530是不同的，因为0.53是表示精确到0.01的近似商，如果商满足0.5295商&

15、lt;0.5395，凡要求精确到0.01的近似商都用0.53表示。0.530则是表示精确到0.001的近似商，如果满足0.5295商<0.5395，凡要求精确到0.001的近似商都用0.530表示，末尾的“0”不能舍去，如舍去就不能表示是精确到0.001的近似商了，所以在求近似商时，小数末尾数位上的数字“0”不能任意舍去或添上。【准确数与近似数】能准确无误地表示原来实际的数量的数叫做准确数。如：某工厂统计结果共有职工4653人，与该厂实际职工人数相符合，这个4653人就是准确数。能近似地表示原来实际的数量的数叫做近似数。如：某城市人口为7986540人人，这个数接近800万，我们可以说，

16、这个城市约有800万人，这个800万就是近似数。【36.4与36.40】在取小数的近似值时，如果在保留的消数位数里，末一位或末几位是零的，这些零也要保留，不能舍掉。如：计算结果得36.4035，要保留两位小数，就要写作36.40，而不能写作36.4，因为它们表示的精确度不同。36.4表示精确到十分之一（0.1），36.40表示精确到百分之一（0.01），在近似数36.40和36.4中，36.40表示实际的数值在36.395与36.404之间，36.4表示实际的数值在36.35与36.44之间。36.395 36.3536.396 36.3636.397 五入 36.37 五入36.398 36

17、.3836.399 36.3936.400 36.40 36.40 36.436.401 36.4136.402 四舍 36.42 四舍36.403 36.4336.404 36.44【公元、世纪与年代】“公元”是世界各国通用的年号。用公元纪年，是古代的一个东正教僧侣发明的。传说是从耶稣诞生的那一年算起，在耶稣诞生前是“公元前”，如公元前二七五年是在耶稣诞生前二百七十五年；公元一九八一年就是在耶稣诞生后一千九百八十一年。这只是对耶稣降生年代的一种估计，并不是真正的耶稣降生年代。西方国家约在公元一四零零年时普遍使用公元纪年，我国是从一九四九年起采用公元纪年的。“世纪”来自拉丁文，意思是一百年。一

18、百年叫一世纪，从公元1年算起，每经100年就算是一个世纪。如公元1年100年是第一世纪；公元101年200年是第二世纪；公元1901年2000年是第二十世纪。近年来，国外把世纪的开始和结束年份都是提前了一年，比如二十世纪指的是公元19001999年。“年代”实在每一世纪中，以十年为一阶段的称呼，如“五十年代”、“八十年代”等等。二十世纪八十年代是指19801989年。一般一个世纪的最初十年也不用年代来称呼，而称作“最初十年”一般称某世纪的1019年的十年为第二个十年。19二、数的整除部分数的整除部分知识体系约数公约数最大分数约分奇数质数合数质因数互质数偶数倍数公倍数最小分数通分除尽整除分解质因

19、数能被2、3、5整除的数的特征【整除与除尽】“整除”与“除尽”这两个术语有它们的共同点，都是表示除得的结果没有余数。但是，“整除”的意义是一个整数除以一个自然数，除得的商是整数，而没有余数。“除尽”的意义是一个数除以另一个数，也同样没有余数，但所得的商是有限小数或整数。例如：20和19都能被5“除尽”，但是20能被5“整除”，“除尽”包括了“整除”，“整除”是“除尽”的一种特殊情况。从集合的观点看，整除是除尽的真子集。被除数除数商余数例题整除整数自然数整数015÷3=5除尽整数或小数自然数或小数整数或小数015÷3=5 1.5÷3=0.515÷300=0

20、.05 15÷0.3=50【约数与倍数】约数和倍数是一整除为前提，只有当a能被b整除时，a才是b的倍数，b才是a的约数。如15能被3整除，15是3的倍数，3是15的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。找约数和倍数的方法：找约数的方法应从最小的约数起，一直找到它本身，一个数的约数局限是1和它本身。找倍数的方法是从它本身开始。【质数、质因数与互质数】质数，是指一个数。例如：3是质数，6不是质数。质因数，也是指一个数；但是它又是针对另一个数而言的。例如：因为18=3×6，所以3是18的质因数，质

21、因数不能单独地孤立地存在，离开了18而孤立地说3是质因数是不妥当的。质因数具有双重身份：第一，必须是一个质数；第二，必须是另一个数的因数。二者缺一不可。互质数，是指最大公约数是1的两个或两个以上的数，至于这两个或两个以上的数中每个数本身是不是质数，那是无关紧要的。【约数与因数】一个数因它能被另一个数整除而成为另一个数的约数；两个数因其乘积等于另一个数而成为另一个数的因数。因此，约数是相对于被除数的，因数是相对于积说的，虽然在乘法的逆运算中，积可以转化成被除数，但它们各自表达的数量关系的内涵却又是确定的，因此不能混为一谈。【奇数与质数】奇数：不能被2整除的数叫做奇数。如1、3、5、7、9是奇数。

22、质数：除1以外，只能被1和它本身整除的数叫做质数。如2、3、5、7、15是质数。注意：“1”既不是质数，又不是合数，但是奇数。奇数、质数的个数是无穷的，但质数的个数越向后越稀。奇数不一定都是质数，如9、15除“2”外，所有质数都是奇数。最小的奇数是1，最小的质数是2.【偶数与合数】偶数：能被2整除的数叫做偶数，如2、4、6、8“0”也看作偶数，“0”可以被任何自然数整除，当然也能被2整除，因此0也看作偶数。合数：除了能被1和它本身整除外，还能被其它数整除的数叫做合数，如4、9、15注意：偶数也就是双数。偶数一定是合数；合数不一定是偶数，如15是合数但不是偶数。最小的偶数是2，最小的合数是2。【

23、因数、质因数、分解质因数】因数是与积联系着的，不能单独存在，被乘数和乘数都是记得因数，可能是质数也可能是合数。如2×3=6，4×8=32。质因数不同于一般的因数，本身必须是质数叫做质因数。分解质因数是吧一个合数用因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。（分解的过程就是求出这些质因数的过程）分解质因数的方法：1、 先用一个能被整除这个合数的质数（从最小的开始）去除。2、 除得的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式。3、 商如果是合数，就继续除下去，直至商是质数为止。4、 然后把各个除数和最后的商写成连乘积的形式。【求最大公约数和最小公倍数的方法】求最大公约数和最小公倍数的方

24、法，既有联系又有区别。见下表：两个数三个数两个数不是互质又不是倍数两个数互质大数是小数的倍数求最大公约数用短除法分解质因数，把所有除数连乘，如2 28 303 9 153 5最大公约数：2×3=6最大公约数是1，如7和5，最大公约数是1。小数就是它们的最大公约数，如75和25，25就是它们的最大公约数用短除法，若除到三个数没有公约数了，就不能再除了，如：2 12 18 243 6 9 12 2 3 4最大公约数：2×3=6求最小公倍数用短除法分解质因数，把所有除数和最后的商连乘，如2 28 303 9 153 5最小公倍数：2×3×3×5=90

25、最小公倍数是它们的乘积，如7和5，最小公倍数是7×5=35。大数就是他们的最小公倍数，如6和3，6就是它们的最小公倍数。用短除法三个数的公约数找尽后，再用两个数的公约数当除数，如2 12 18 243 6 9 122 2 3 4 1 3 2最小公倍数：2×3×2×3×2=72从表中可以明显看出求最大公约数和求最小公倍数的异同点。相同点：求最大公约数和求最小公倍数都是用短除法分解质因数。不同点：1、 求最大公约数是把所有除数连乘；求最小公倍数是所有除数和商连乘。2、 求三个数的最大公约数时，都除到三个没有公约数就不能再除了；求三个数的最小公倍数时

26、，三个数的公约数找尽后，还可以找两个数的公约数。3、 求两个数的最大公约数和求三个数的最大公约数的方法是一样的，而求三个数的最小公倍数比求两个数的最小公倍数多了一步。三、分数部分【25%与0.25】从数值上看，25%=0.25，这是百分数和小数的互化；但是在具体应用时，这两者的意义不完全一样，不能互相代替。例如：一个数的25%是25，就不能写成一个数的0.25是25，因为百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，而小数0.25一般不表明这个意思。【90/100与90%】相同点：90/100与90%相等，都可以用来表示两个数量的倍比关系。不同点：表现形式不同，百分数通常不写成分数形式，而采用百

27、分号“%”来表示，如百分之九十写成90%。90/100可以表示具体的量，例如90/100米。，90%不能表示具体的量，例如：不能写成90%米。【分数与百分数】分数运算的结果为分数时，不允许在分子中保留小数，如不能写成2.1/100，但在百分数中的分子，可以为小数，如2.1%。【1/2与一半】有的人认为1/2就是一半，看起来是正确的，实质上反映了“对分数意义”的整体“1”的内涵没有指示清楚，对1个单位，平均分成两份，其中一份是半个单位，即一半；若是2个单位的1/2则是1个单位了，若是20个单位，则是10个单位。【单位1和自然数】“1”是自然数中最小的一个，它是自然数的单位。单位“1”不仅可以表示

28、一件东西，还可以表示任意数量的一个整体，所以单位“1”表示事物的数量可以是任意，如单位“1”可以表示一本书、一个班级的学生等等。总之，凡是我们要分的整体都可以用“1”来代表。所以在学习分数时，要正确理解单位“1”，要注意单位“1”和自然数“1”的不同含义，正确理解单位“1”对于学好分数是很重要的。【分数的单位与自然数的单位】自然数的单位是1，它是一个谷底个不变的数，而分数的单位就不能是一个固定的数。分数不同，分数的单位也就不同，因为由于分数的分母可以取自自然数中的任意一个元素，因此分数单位的集合能与自然数的集合建立一一对应的关系。自然数集合A=1、2、3、4，分数单位集合B=1、1/2、1/3

29、、1/4.由此可见，在分数单位的集合中，最大的分数单位是1，这里与自然数的单位相同，但它没有最小的分数单位。【百分数与百分率】百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。半分数通常不写成分数形式。百分数也叫百分率或百分比。百分率：指半分数而言，就是没100份里含有几份的意思。如每100公斤稻谷出72公斤米，则出米率为72%。又如：六年一班有50名学生，今天缺席2名，出席率是多少？（50-2）/50×100%=48/50×100%=96%。【百分率与成数】百分率意义同上。成数：表示一个数是另一个数的十分之几的份数，叫做成数。例如：今年比去年增产二成，就是今年比去年

30、增产十分之二，去年比前年增产一成五，就是去年比前年增产十分之一点五，即15%。【百分率与百分比】百分率意义同上。百分比：1、 如果一个比的后项为100，这样的比叫做百分比，也叫百分率。2、 用百分率表示两个数的关系，叫做百分比，就是一个数占另一个数的百分之几，或者表示部分占整体的百分之几的意思，通常是把两个数的比，化成用100作后项的比，也就是用百分数来表示的。如：4：25=16：100，16：100=16/100.【甲数比乙数多25%，等于乙数比甲数少25%吗】甲数比乙数多百分之几，是指甲数比乙数多的部分占乙数的百分之几，是以乙数为标准的（已当作除数）；而乙数比甲数少百分之几，是指乙数比甲数

31、少的部分占甲数的百分之几，是以甲数为标准的（甲当作除数）。两者的标准数不同，因此答案也不一样。现以下题为例加以说明甲有钱20元，已有钱16元，甲的钱比乙多百分之几？乙的钱比甲少百分之几？甲的钱比乙多百分之几？（20-16）÷16=4÷16=0.25=25%乙的钱比甲少百分之几？（20-16）÷20=4÷20=0.2=20%【求一个数比另一个数多百分之几与求一个数比另一个数少百分之几的应用题】解法的区别甲数>乙数，求甲数比乙数多百分之几？解法一：（甲数-乙数）÷乙数解法二：甲数÷乙数-100%甲数<乙数, 甲数比乙数少百分之

32、几？解法一：（乙数-甲数）÷乙数解法二：100%-甲数÷乙数【一根长3/4米的绳子与一根绳子的3/4】前者带计量单位“米”，是把1米看作整体“1”的数。它的具体长度是75厘米；而后者不带计量单位，是把任意长的绳子看作整体“1”，那么表示这根绳子的3/4可以画成：3/4 一根绳子所以，它的具体长度是不确定的，只能表示这部分长度与这根绳子全长的倍数关系。【55减去1/5与55减去它的1/5】“55减去1/5”，这里的1/5是整数1的1/5，仍是1/5，它是一个确定的具体数，所以它们的差是55-1/5=54 4/5。“55减去它的1/5”，这里的1/5并不是一个具体的量，是55的

33、1/5，即55×1/5=11，这里的1/5代表11，1/5只是表示5与11之间的倍数关系，此题是求55与55的1/5的差，也就是55与11的差。计算公式是55-55×1/5=55-11=44。【和倍问题与差倍问题】甲乙两数和是70，甲数的1/3是乙数的2倍，甲乙两数各是多少？分析：若甲数的1/3是乙数的2倍，则乙数是甲数的1/3÷2=1/6，甲乙的倍数和是1+1/6=7/6，两数和是70，则甲数是70÷7/6=60，乙数是60×1/6=10。甲乙两数和是100，甲数的1/3等于乙数的1/2，则两数各是多少？分析：因为1/3甲=1/2乙，所以2/

34、3甲=乙。甲乙的倍数和是2/3+1=5/3，两数和是100，所以甲：100÷5/3=60；乙：60×2/3=40。此类型基本算法和规律：大数=和÷倍数和，小数=大数×倍数（或两数和-大数）甲的钱数是乙的1/3，而乙比甲多30元，甲、乙各有多少钱？分析：把乙的钱数看作1，则甲有1/3，两人相差的倍数差是1-1/3=2/3，相差的钱数是30元，则乙的钱数是30÷2/3=45（元）；甲的钱数是45×1/3=15（元）。此类型题基本算法或规律：大数=差÷倍数差，小数=大数×倍数四、简易方程部分【等式与方程】等号两边相等的式

35、子叫等式。方程是含有未知数的等式，表示一定的等量关系。【方程的解与解方程】“方程的解”中的“解”是一个名词，它是盐酸的结果，它表示的是一个（或几个）数值，是根据未知数与已知数之间的相互关系来确定的，它是使方程左右两边相等的位置数的值。“解方程”中的“解”是一个动词，它是确定“方程的解”的过程，通俗地说，它是运算的过程。【用算数法与方程法解应用题】用列算数式和列方程解应用题，解题的思路不尽相同。牵着是从已知条件入手，逐步推究到问题的所求（综合法），或从问题的所求入手，追溯到解答这个问题必须的条件（分析法）；而后者是根据题中已知量和未知量之间的数量关系，建立等量关系列出方程再求解。共同点：两种解法

36、都以四则运算和常见的数量关系为基础，都要分析题里一直亮和未知量之间的数量关系。然后根据四则的意义列式解题。不同点：1、 表达方式不同：代数方法是用代数式表示数量关系，通过设x求未知数；用算数方法则用算数式子表达数量关系，求解时不设未知数x。2、 解题思路不同：代数方法是在求解时可把未知数x看作是“已知”的，用x和其它的已给条件一起考虑等量关系，容易直接列出等式求解。用算数法则不然，它不许设x更不能把x当作已知看，而需从已知与已知，已知与未知之间进行多层次的分析、思考复杂的应用题尤其如此，很不容易直接从已知条件得出未知来。3、 解题方法不同：代数方法主要是利用等式的性质进行计算（移加变减，移减变

37、加），但不能连等；算数方法则主要是通过加、减、乘、除四则及其定律进行计算，可以连等。4、 难易程度不同：一般来说，代数方法比较简明、清晰，容易掌握；而算数方法则比较曲折、间接，不太容易掌握。其主要原因在于代数解法中所设的未知数x，可以暂时看作是已知的，这相当于增加了一个已知条件，便于表达数量关系的缘故。5、 解决问题的范围不同：算数方法能解决的问题，代数方法都能解决；而代数方法能解决的问题，用算数方法有的就不容易解决或无法解决。从这些不同点可以看出，代数方法确比算数方法优越。联系：代数方法和算数方法有着密切的联系，算数方法是代数方法的基础；代数方法是算数方法的发展。没有算数方法这个基础，学习代

38、数方法简直是不可能的事情但是如果只停留在此基础上不再前进，数学本身就不能发展，学生的数学能力也不会提高，因此二者不可偏废。代数方法与算数方法虽然思路不同，但其解法之间确存在着内在联系：代数方法中未知数的表达式，恰恰就是算数方法解题中的算式。如：某煤场卖煤，第一次卖出总数的60%，第二次又卖出余下的3/4，还剩800公斤，问这个煤场原有煤多少吨？代数解法：设煤场原有煤为x吨，根据题意得：x-x×60%-（x-x×60%）×3/4=4.8x×1-60%-3/4（1-60%）=4.8x=4.8÷1-60%-3/4（1-60%）x=48（吨）显然，代数

39、解法中的未知数表达式（右端），恰恰是此题算数解法中的算式。当用代数法有多种解法时用算数法也相应的有多种解法，即一题多解。但在将代数解法转化成算数方法时，一般不要合并、化简。因为这样做就不容易找到相应的关系。它告诉我们，可以利用代数解法与算数解法之间的这种关系，以代数法来启发算数法的解题思路。五、比和比例部分比和比例部分的知识体系意义比和分数除法的关系比的应用比例尺性质化简比求未知数意义性质用比例解应用题正比例应用题反比例应用题比例正反比例比意义性质求比值求未知数按比例分配【比与除法】比是表示两个数相除，不一定要求出比值来，而除法则要求出商来。【比与分数】比是表示两个数相除的关系，而分数除了可以

40、表示两个数相除的关系，还可以看作一个独立的数；比是个不名数，而分数可以是不名数，也可以是名数。【比与除法、分数】比与除法、分数之间的关系除法被除数÷（除号）除数商分数分子（分数线）分母分数值比前项：（比号）后项比值比与除法、分数在意义上的区别：比是两个数相除，表示两个数的关系。除法是一种运算。分数是一种数。比、除法、分数在读法上不同：在除法a÷b中，可读作a除以b，也可以读作b除a；但分数a/b只能从分母读起，读作b分之a；a：b也只能从前项读起，读作a比b。【整数比、小数比、分数比、分数、小数混合比】整数比：把比的前项和后项分别除以它们的最大公约数。如：12：18=12/

41、18=（12÷6）/（18÷6）=2/3小数比：把比的前项、后项的小数点向右移动相同的位数化成整数比再化简。如：1：0.75=1/0.75=100/75=4/3分数比：把比的前项和后项都乘以分母的最小公倍数化成整数比再化简。如：7/12：5/18=（7/12×36）/（5/18×36）=21/10分数、小数混合比： 把比的前项和后项都化成小数或分数，然后按上面的方法化简。如：0.24：2/5=0.24：0.4=24：40=24/40=3/52/3：0.75=2/3：3/4=（2/3×12）/（3/4×12）=8/9【比与比值】区别：例

42、如5/8，可以看作5：8，也可以看作5：8的比值为5/8，所以比和比值容易混淆，其区别是：比是表示两个数相除的关系，它有前后两个项；而比值是表示前后两项相除所得的商，结果是一个数。【求比值与化简比】目的方法结果求比值求出前后项相除的结果前项÷后项得到一个数化简比化成最简单的整数比（前后项互质）前后项同时扩大或缩小相同的倍数仍是一个比注意：化简比最后的结果一定要写成比的形式，不能写出整数和小数。例如：1/6：2/9=（1/6×18）/（2/9×18）=3/4，不能写出0.75。化简时，比的前项、后项单位不同时，要化成相同单位，再进行化简。【比和比例】1、从意义上区别

43、比：两个数相除又叫着两个数的比。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。2、从形式和名称上区别比：a：b 比例：a：b=c：d前项 后项 内项 外项3、从基本性质上区别比：比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。4、从应用上区别化简比：根据比的性质可以化简比。即把比的前项和后项化成前项和后项互为质数的整数比，所得结果仍然是一个比。解比例：根据比例的性质求比例中的未知项，即在比例里，已知其中的三项，求出另一个项的数值。求比值：比的前项除以后项所得的商，叫做比值，所得结果是一个数。求比的未知项：根据“前项：后项=比值“这一关系式，已知其比值

44、和比的前项或后项，可求出比的未知项。【成比例的量与不成比例的量】成比例的：比值一定成正比例，积一定成反比例不成比例的：不相关联，积商无意义（如：和一定），积商不一定【正比例与反比例】两个变量不相关联相关联不成比例积商无意义不成比例积商有意义积商不一定积商一定商一定积一定不成比例成正比例成反比例相同点：1、 都有定量2、 同属因积关系3、 都是两个变量不同点：1、 正比例商一定，反比例积一定2、 正比例用除法得出定量，反比例用乘法得出定量3、 正比例是一个量扩大，相关量随着扩大，反比例是一个量扩大，相关量反而缩小判断方法：在初步建立了正反比例概念的基础上，要结合学生已经掌握的有关乘除法的逆运算关

45、系，举一反三，进行判断正、反的基本练习。如：总数÷份数=每份数（商一定，成正比例）总数÷每份数=份数（商一定，成正比例）每份数×份数=总数（积一定，成反比例）根据每份数、份数、总数三者之间的正反比例关系，又可以类推出若干组常用数量中的正、反比例关系。如速度、时间、路程；效率、时间、总工作量等。【用正、反比例解答基本应用题的联系与区别】正比例应用题反比例应用题判断y/x=值（一定）x×y=值（一定）方程形式y1/x1=y2/x2x1×y1=x2×y2特点等号两边是商的形式等号两边是积的形式另外的解法归一法，倍比法归总法解答正、反比例应用

46、题的思路：1、 从分析两种相关联的变量中找出隐蔽的定量。2、 写出乘或除的关系式。3、 依据关系式判断两种变量成什么比例。4、 最后用两种变量的两组对应数的商或积表示定量，并以定量作等量，列方程解答。以上说的是指用正反比例解答基本应用题的一般方法，至于较复杂的正、反比例应用题，无非是由基本题经过变化已知条件或所求问题发展而来的。这种变化反映在解题中有三种情况：第一种是由于变化了已知条件，根据两种量的对应关系，在列方程时必须增加辅助运算以求出未知数x的对应数。如：某农具厂生产一批机器，原计划每天生产75台，20天完成。实际每天生产100台，多少天完成？解：设实际x天完成100x=75×

47、20x=15（天）上题中条件和人问题都变化了，在列方程中和解方程后都要进行辅助运算。【比例与方程】共同点：比例就是方程，它是方程的一种特殊形式。比例和方程的应用题的分析方法相同，都是找等量关系，列出含有x的等式。不同点：组成比例必须有四个数，其中有一个舒适未知数x，这四个数叫做项。解比例应用题找等量关系只限两条：或是比值相等（正），或是积相等（反）。【赛球时说的4：0与比】比的后项不能是0，而赛球的时候说的4：0是表示比赛双方实得的分数，是一种记录比分的形式，和数学中比的意义不同。数学中的比是表示两数之间的倍数关系，因此比的后项不能是0.六、几何部分几何部分的知识体系射线角平行与垂直线段三角形四边形圆长方体圆柱体圆锥体平行四边形梯形扇形正方体长方形正方形直线平面图形立体图形【直线、射线与线段】名称类别直线射线线段定义直线是向两方无限延伸着的直线上某一点一旁的部分直线