2021中考数学专题复习：二次函数综合优生提升训练题1(附答案详解)

1、2021中考数学专题复习：二次函数综合优生提升训练题1 （附答案详解）2in441 .如图，抛物线丁 = 一/+bx + c经过点6（5,0）, C（0,）,直线/:y = n + Q交 ）'轴于点E,且与抛物线交于4、。两点.P为抛物线上一动点（不与点A，。重合）. （1）求抛物线的解析式；当点。在直线/上方时，过点P作尸加x轴交/于点M，PN/y轴交I于点、N , 4求PM+MN的最大值；（3）设厂为直线，上的点，以E，C, P,尸为顶点的四边形能否构成平行四边形？ 若能，请直接写出点尸的坐标：若不能，请说明理由.2 .如图，抛物线y=：x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交

2、于点C,点B坐标为 （4, 0）,点C坐标为（0, 4）,点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E, 连接BD.（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）点F是抛物线上的动点，当NFBA=2NBDE时，求点F的坐标；（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBGH,随着点P的运动, 正方形的大小、位置也随着改变，当顶点G或H恰好落在y轴上时，请直接写出点P 的横坐标.备用图3 .如图，在平而直角坐标系中，抛物线y = *x2+bx + c经过点A （1, 0）和点B （1. 2垃）,与x轴的另一个交点为C.（1）求抛物线的函数表达式：（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物

3、线上，且NBDA=NDAC,求点D的坐标:（3 ）在（2）的条件下，连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.判断四边形OAEB的形状，并说明理由：点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当 NBMF=NMFO时，请直接写出线段BM的长.点，若A43C的而积8c.=6,（1）求抛物线的对称轴及解析式.图1（2）若尸为对称轴上一点，且0<<3,以C、。为顶点作正方形应（C、P、。、E1顺时针排列），若正方形CP0E有两个顶点在抛物线上，求的值.图2（3）如图，C、。两点关于对称轴对称，一次函数¥ 过。点，且与抛物线只有唯一一个公共点，平移直线、=心+

4、。交抛物线于M、N两点（M点在N点上方）, 请你猜想NMCQ与NNCQ的数量关系并加以证明.5 .如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A （1, 4）,与坐标轴交于B、C、D三点， 且B点的坐标为（-1, 0）.（1）求二次函数的解析式：（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧，过 M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长 的最大值：（3 ）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使APNC的而9积是矩形MNHG而积的7T ?若存在，求出该点的横坐标：若不存在，请说明理由.1O6 .己知抛物线X =x2+x

5、+l, y2 =x2+2x + 1, y3 =x2 +3x+i,，尤=x2 +nx + I（1）如图1,过点A作y轴垂线，分别交抛物线乃，力，力，先于点R，P?，匕（?和点A不重合）.求的长.求A/o2O的长.(2)如图2,点P从点A出发，沿y轴向上运动，过点P作y轴的垂线，交抛物线乃于 点G，交抛物线为于点g, D2,交抛物线为于点2,，交抛物线工 于点C“，。”(C“在第二象限).求PG PA的值求 PC2020 P2。20 的值(3)过x轴上的点Q (原点除外)，作x轴的垂线分别交抛物线X，%, 为，V, 于点耳，Ent是否存在线段6%(i, j为正整数)，使流 =2020, 若存在，求

6、出i+j的最小值：若不存在，说明理由.7 .如图，抛物线)，=&/+公+ 3的图象与x轴交于A(1,0)、8(4,0)两点，与轴 交于点C,连接8C,二次函数的对称轴与工轴的交于点E，作射线CE.(1)抛物线'="V +bx + 3的解析式为:点E坐标为=；(2)求证：射线CE是N0C3的角平分线；(3)如图，点。(，,0)是x的正半轴上一点，过点。作轴的平行线，与直线8c交 于点M,与抛物线交于点N,连结CN,将ACWN沿CN翻折，M的对应点为 M'.在图中探究；是否存在点。，使褥恰好落在'轴的正半轴上?若存在，请38 .如图，在平而直角坐标系中，已

7、知抛物线Ci： y= - x?+6x+2的顶点为M,与y轴相 2交于点N,先将抛物线Ci沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2,直线1： y=kx+b经过M, N两点.3（1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式一x?+6x+2Vkx+b的解集； 2（2）若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C?的解析式：（3）若抛物线Ci与x轴的交点为E、F,试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说 明其理由.9 .如图，在直角坐标系中，抛物线y= /+2x + c与丫轴交于点D （0. 3）.（1）直接写出c的值：（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），顶点

8、为C点，求直线BC 的解析式：（3）已知点P是直线BC上一个动点，当点P在线段BC上运动时（点P不与B、C重合），过点P作PEJ_y轴，垂足为E, 连结BE.设点P的坐标为（x, y）, aPBE的面积为s,求s与x的函数关系式，写出 自变量x的取值范围，并求出s的最大值；试探索：在直线BC上是否存在着点P,使得以点P为圆心，半径为r的。P,既与抛 物线的对称轴相切，又与以点C为圆心，半径为1的。C相切？如果存在，试求r的值, 并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.10 .如图，已知抛物线y = ar2+Za- + c（aW0）的对称轴为直线x = l,且抛物线经过A（l, 0）, C

9、（0, 3）两点，与“轴交于点艮（1）若直线）' = 优+ 经过团C两点，求直线5c和抛物线的解析式：（2）在抛物线的对称轴x = -1上找一点M,使M4+MC的值最小，求点时的坐标；（3）设P为抛物线的对称轴x = l上的一个动点，求使A8PC为直角三角形的点P 的坐标.11 .如图，抛物线B两点,与y轴交于C点，且 A（-l, 0）, OB=OC=3OA.若抛物线上与抛物线L关于直线x=2对称.（1）求抛物线Li与抛物线Li的解析式；（2）在抛物线心上是否存在一点P,在抛物线心上是否存在一点。，使得以3。为边, 且以仄C、尸、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、。两点的坐

10、标，若 不存在，请说明理由.12 .如图，抛物线y = V 一2工一3与轴交于A、8两点（点A在点8的左边），与）'（1）求3、C、O三点的坐标：（2）连接8C, BD，CD,若点。为抛物线上一动点，设点P的横坐标为加，当 时，求？的值(点夕不与点。重合)；(3)连接AC,将A4OC沿x轴正方向平移，设移动距离为。，当点4和点3重合时, 停止运动，设运动过程中A4OC与08C重叠部分的面积为S,请直接写出S与。之 间的函数关系式，并写出相应自变量。的取值范闱.13 .如图，在平面直角坐标系中的三点A(l, 0), B(-l, 0), P(0, -1),将线段AB沿 y轴向上平移m(m&

11、gt;0)个单位长度，得到线段CD,二次函数y=a(x-h)2+k的图象经猜想a与m的关系，并证明你的猜想；(3)将线段AB沿y轴向上平移n(n>0)个单位长度，得到线段CQi,点Ci，Di分别与点 A, B对应,二次函数y=2a(xh)2+k的图象经过点P, Ci, Di.求n与m之间的关系：当aCODi是直角三角形时，直接写出a的值.14 .如图1,已知抛物线)，=4/+历:+。经过人(一3, 0), B(l, 0), C(0, 一3)三点,其顶点为D,对称轴是直线/, /与x轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式：(2)若点P是该抛物线对称轴/上的一个动点，求4PBC周长的最小值：(

12、3)如图2,若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m, 4ADF的而积为S. 试求5与川的函数关系式：S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.15 .如图，抛物线），=一1/+以+ c过点A （-3, 2）,且与直线y = x+（交于B、 乙乙（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE±x釉交直线BC于点E, 点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值：（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q,使得NAQM=45。？若存在

13、,求 点Q的坐标；若不存在，请说明理由.16 .如图，抛物线"-2经过点A （4, 0）、B （1, 0）两点，点C为抛物线与y（1）求此抛物线的解析式：（2） P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作尸轴，垂足为M,问：是否存在点P,使得以A、P、时为顶点的三角形与Q4C相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3 ）在直线AC上方的抛物线上找一点。，过点。作x轴的垂线，交AC于点E,是否 存在这样的点。，使QE最长，若存在，求出点。的坐标，以及此时QE的长，若不存 在，请说明理由.17 .如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y = 一；（x - ?y+4图

14、象的顶点为A, 与y轴交于点从异于顶点月的点C（1, ）在该函数图象上.（1）当机=5时，求的值.（2）当=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当 ）之2时，自变量x的取值范围.（3）作直线AC与），轴相交于点D当点8在x轴上方，且在线段。上时，求?的取 值范围.18 .已知：二次函数y=x2-2mx-nr4-4ni-2的对称轴为1,抛物线与y轴交于点C,顶点为D.（2）如图1,当m=l时，点P为第一象限内抛物线上一点，且aPCD是以PD为腰的等 腰三角形，求点P的坐标：（3）如图2,直线了 = !状和抛物线交于点A、B两点，与1交于点M,且MO=MB,点Q（x（）, y0）在抛物线上，当m

15、>l时，力+ 124一一6叫时，求h的最大值.19 .如图，在平而直角坐标系中，将一块腰长为衣的等腰直角三角板ABC放在第二 象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（T, 0）,点B在抛物线y=ax?+ax-2 上.（1）点A的坐标为,点B的坐标为；抛物线的解析式为；（2）设抛物线的顶点为D,求ADBC的而积：（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使4ACP仍然是以AC为直角边的等腰 直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由.20 .平面直角坐标系中,抛物线Ck yi=x2-2mx+2m2-l,抛物线C?： y2=x?-2nx+2n，（1）若m=2,

16、过点A（0,7）作直线1垂直于y轴交抛物线Ci于点B、C两点.求BC的长；若抛物线C2与直线1交于点E、F两点，若EF长大于BC的长，直接写出n的范围;（2）若m+n=k（k是常数），若加W ，试说明抛物线Ci与抛物线C2的交点始终在定直线上；求yi+y2的最小值（用含k的代数式表示）.或 1-6,8-47738 + 4近3参考答案1.（ l）y = -犬+gx +当；（2）?； （3）能构成，点尸的坐标是（2,4）或1 + ", 3333【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可:（2）求出。4和0E的长后易证PMNzZME,由相似三角形的性质可得47PM :PN:MN = OA

17、:OE:AE = 3:4:5.于是PM + 二MN可转化为二PN ,只要求出 54PN的最大值即可，可设点P的横坐标为】，则PN的长可用含机的代数式表示，再利用二次函数的性质即可求出PN的最大值，进一步即可求出结果;（3）分情况讨论：当CE为边时，则CE=PF, CE/PF,易得CE=2,再分点。在直线/上方和点夕在直线/下方，设点P的横坐标为?，由PF=2可得关于小的方程，解方程即可求 出机，进而可求得点E的坐标：当CE为对角线时，如图，则CP=EE, CP/EF.设点P的横坐标为机，表示出点P、F坐标后，由平行四边形的性质可得）加-3七=丸一力，从而可 得关于小的方程，解方程即可求出小，进

18、而可求得点尸的坐标.【详解】2解（1） ,抛物线了 = 一一x10 12+x + c经过点8(5,0), C 0, L310c =3-+ 5Z? + c = 031(),解得：，C =3221 n，抛物线的解析式为、=一/+1工+-7： wX4444(2)在直线/: v = x + 中，当x = 0时，y = -. :.OE = - ,33.33当)，=0 时，x = l, .OA = L AE = yJOE2+OA2 =-,PNy轴，PM/小轴，"PNM = NCEM = ZOEA, /PMN = ZOAE，:aPMN “oae，PM: PN: MN = OA : OE: AE =

19、 3:4 :5,3 4，PM = PN , PN = MN, 454 37：,PM+ MN =，PN + PN = PN , 544n(2)810)设 Pnr + m + ,33344,. PNy 轴，/. N+ i 33丁点尸在直线/上方,力浦22 810(44、2) 402/1X28:.PN = - yv =-？ +-/ + 一- -m + =一一厂 +机+ 2 = 一一+一，P .N 333133)3337384714二当? = 1时，PN有最大值，最大值为一，此时PM+ MN的最大值=PN = ：3543（3）由题意得：当CE为边时，若以£, C，P，尸为顶点的四边形能构成平

20、行四边形,则 CE=PF, CE/PF,当点尸在直线/上方时，设尸加，一£/+：? + ¥），则/2,1机+ ：，vC£=T-5 = 2,PF = yP- yF+ -m + 23=_2疗+K+W-&+力=二/333 U 3)3A -in2 + m + 2 = 2 t 解得：j=0 （舍去）或】=2, 33此时点F的坐标是（2, 4）；当点尸在直线/下方时，PF = y,.- yp =一g?-2 ,*, in 2 = 21 解得：？ = 1 + J7 或 ？ = 1 J7 ,此时点F的坐标是'I+".士&或（IJ7,匕电 33当CE

21、为对角线时，如图，若以£, C, P,尸为顶点的四边形能构成平行四边形，则CP=ERCP/EF.此时可设P则由4 =-4可得尸,2）810 10 4 f 44、由）1一）3 =）%_）»得：厂+与机+7一7 =刀_ -t + -，解得：m=0 （舍去）或m=2,此时点尸的坐标是1-2,一：综上所述，以E, C, P,尸为顶点的四边形能构成平行四边形，且点尸的坐标是（2, 4）或卜+ ",|或（13.1 卜卜 2,-"【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上点的坐 标特征、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法

22、、平行四边形的性质以及二次函数 的图象与性质等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与 性质、灵活应用数形结合的思想方法是解题的关键.2.(1) y-'(1一 1)- + , x=l： (2)(匚，)或(一二，-)：(3)点 P 的横坐标为2点 225 25525或0或2或2-2JJ【解析】【分析】(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解：(2)在线段DE上取点M,使MD=MB,此时NEMB=2NBDE,则NFBA=NEMB,即可求解：(3 )分点P在对称轴右侧、点P在对称轴左侧两种情况，利用三角形全等求解即可.【详解】(1)根据题意得xl6 + 4

23、+ c = 0rb = , 1 ,，r+4x + 3 = 0 y = -3广+ 4x + 4 = -(x-1)2 + 229D的坐标(1, 一)即对称轴为x=l2(2)如图，在线段DE上选取点M,使得MD=MB.此时NEMB=2/BDE 设 ME=a,在 RtaBME 中，ME34 当点F在x轴下方时，有-12(4-m)=5 (- 5 m?+m+4),解得n】i=4(舍)，1112=-彳.的+ BE2= BM2.即 /+32=(2一a)?,解得 a=32412AtanZEMB=5过 F作 FNJ_x轴于点 N,设 F(m, m2+m+4),则 FN = I-, nf+m+41 22VZFBA=

24、2ZBDE,:.ZFBA=ZEMB,12二 tanZFB A=tan Z EMB=5VB (4, 0), E (L 0),* l4，BE=3, BN=4 - m, RP tanZFBA= 2'124 一？5114当点F在x轴上方时,有12(4-m)=5 (、mTm+4),解得g=4(舍)，m2= ，F的坐标14 72,)525坐标(648 . 25，F的坐标(,工)或52534648，)525(3)当点P在对称轴右侧时，(I )当点H在y轴上时，如图2,图2: ZMPB+ZCPH=90°, ZCPH+ZCHP=90%，NCHP=NMPB,VZBMP=ZPNH=90°

25、, PH=BP,AABMPAPNH （AAS）,，MB=PC,设点 P（X, y）,贝iJx=y=-gx2+x+4, 解得：x=±2jj （舍去负值），故点P的横坐标为2JJ：（II）当点G在y轴上时，如图3,过点P作PRJ_x轴于点R,同理可得：PRBg/kBOG （AAS）,，PR=OB=4,即 yp=4=- y x?+x+4,解得：x=2；当点p在对称轴左侧时，同理可得：点P的横坐标为0或2-2 JJ：综上，点P的横坐标为2JI或0或2或2-26【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.3.y = lx2-8V2x + .（2） D （4, 2

26、四）.四边形OAEB是平行四边 形.理由如见解析；线段BM的长为!或g.22【解析】【分析】【详解】(1)将A (1, 0)和B (1, 20)代入抛物线解析式丫 = 卓2 + bx + c > 得:延 x2+&c = 05 4 2，解得：<迤+b + c = 2显5，b = -8 理42a 'c =5解析式为：丫 =丝一8岳+燮 5、(2)当NBDA=NDAC 时，BDx 轴,VB (1, 2点)，当y=2时，2丘=喳/一8垃x42>/2+5解得：x=l或x=4,AD (4, 2&)，(3)四边形OAEB是平行四边形理由如下：抛物线的对称轴是x =

27、:253ABE=-1 = -223VA (-, 0)2AOA-BE=- 2VBE/OA工四边形OAEB是平行四边形(2)70 (0, 0), B (1, 2),F为 OB 的中点,.F (；,虎).过点F作FN_L直线BD于点N,则FN=2应-/=/，BN=1 -在RbBNF中，由勾股定理得：BF= VbN2+FN2 =-.2VZBMF=1 ZMFO, ZMFO=ZFBM+ZBMF, 3AZFBM=2ZBMF.（I）当点M位于点B右恻时.3在直线BD上点B左侧取一点G,使BG=BF=，连接FG,则GN=BG - BN=1,2在RSFNG中，由勾股定理得：FG = JgN? +FN?=6BG=B

28、F,AZBGF=ZBFG.又,: ZFBM=ZBGF+ZBFG=2ZBMF,，NBFG=NBMF.又/MGF=NMGF,AAGFBAGMF.旦史即沙邛.GF GB /22ABM=-.2(ID当点M位于点B左侧时，设BD与y轴交于点K,连接FK,则FK为R9KOB斜边上的中线,AKF=-OB=FB=-.2 2:.ZFKB=ZFBM=2ZBMF.又,: ZFKB=ZBMF+ZMFK,ZBMF=ZMFK. ,MK=KF=-.23 5.BM=MK+BK= + 1=.22综上所述，线段BM的长为,或三.224. (1)对称轴是直线 x = l, y = X2+2x + 3： (2) = 1 或4一&am

29、p;：(3) ZMCD = AN CD或NMCQ+NNCD = 180。，证明见解析【解析】【分析】(1)根据对称轴公式可求得对称轴，由面积以及点的坐标可求得抛物线解析式：(2)分情况讨论，设P (1, n),根据旋转的性质可以得到D, E点坐标，代入解析式即可 求得n值；(3)分情况讨论，求出关于D点的切线方程，平移切线与抛物线联立，可得关于交点的坐 标关系式，利用直角三角形性质即可求得角度之间关系.【详解】/?2a(1)解：对称轴为直线工=一 =1，2a 2a.b -la cia a.%=3,即 8(3,0), A8 = 4,由面积Sm8c=6,得,cx4 = 6, 2. C(0,3),A

30、 ' C 代入可得；y = -x2 +2x + 3 ,即抛物线解析式为；y = -x2+2x + 3；(2)解:由题意知尸(L),如左图，过P作PMJ_y轴，PN_Lx轴，设D点坐标为（a, b）,由旋转90。可得CMPgDNP,，CM=DN, PM=PN, 3n = a , 1 = 7?-/?,： a = n-2. b = n->将D点代入y = -x2 +2x + 3 ,.= -5 2）2+2（-2） + 3,解得 =i 或4 （舍）,如图，同理可求得石(- 3,2),代入抛物线解析式,2 = 一( - 3)2 + 2( - 3) + 3 ,解得 =4+0(舍去)或 =4一忘

31、，九=1 或4一点；(3)若C点在MN左侧，jCD = ANCD,理由如下易知D (2,3),过。点的抛物线的切线为y = -2x + 7,设平移后MN的解析式为y = -2x+b9与抛物线联立得：x2-4x + Z?-3 = 0,$+ & = 4, xx2 = Z7 3,tan 4MCD -tan 4NCD =MS RN _y3 3-力CS CR x x2：.ZMCD = ZNCD；若。点在脑V右侧，ZMCZ)+zWCD = 180°>理由如下同理可得NMCS = NNCQ,所以 NMCD+"CD = 180° ,综上所述，ZMCD = ZNCD

32、或 ZMCD+ZNCD = 180。.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，该题用到了待定系数法求抛物线解析式，正方形性质, 直角三角形性质以及二次函数性质，熟练掌握抛物线性质以及一次函数性质是解题的关键.(1 in右 zr / 3 15、t,3 + 3>/2 3 6>/2、/ 3 3/T5. (1 )y= - x-+2x+3 (2) 10 (3)存在：(一，一)或(-,-)或(-,24242-3 + 6式)4【解析】【分析】(1)将抛物线的解析式设为顶点式，然后将点B代入即可求出抛物线的解析式；(2)由四边形MNHG为矩形知MN工轴，YGy轴，故可设出点M坐标，则矩形MNHG

33、 的周长 C=2MN+2GM=2 (2x-2) +2 ( -x2+2x+3) = - 2x2+8x+2,利用二次函数性质即可 求解：(3)由(2)中知，D与N重合，由已知先求出S“PNc值，连接DC,在CD得上下方等距 离处作CD的平行线m、n,过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G,即PH=GH, 过点P作PK_LCD于点K,设出点P坐标，通过推导计算，即可求解出点P的坐标.【详解】(1)二次函数表达式为：y=a (x- 1) 2+4,将点B的坐标代入上式得：0=4a+4,解得：a= - L故函数表达式为：y= - x?+2x+3；(2)设点 M 的坐标为(x, - x2+2x+3),

34、则点 N (2-x, - x2+2x+3),则 MN=x - 2+x=2x - 2, GM= - x2+2x+3t矩形 MNHG 的周长 C=2MN+2GM=2 (2x -2)+2(- x2+2x+3) = - 2x?+8x+2,-2V0,故当x=-=2, C有最大值，最大值为10,2a此时x=2,点N (0, 3)与点D重合：9(3 ) APNC的面积是矩形MNHG面积的一，169927则 Sapnc= XMNXGM= X2X3=，16168连接DC,在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n,过点P作y轴的平行线交CD、 直线n于点H、G,即PH=GH,过点P作PK_LCD于点K,将C (

35、3, 0)、D (0, 3)坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y= - x+3,OC=OD, A ZOCD=ZODC=45° =NPHK, CD=3&,设点 P(x, -x?+2x+3),则点 H (x, 7+3),2711°Sapnc= = - XPKXCD= XPHXsin450 8229 解得：PH=-=HG,9贝ij PH= - x2+2x+3+x - 3=-3 解得：x=-2故点 P（2, ?）, 2493直线n的表达式为：y= - X+3 - 7 = - x+,44碇立并解得： 即点 P'、P"的坐标分别为（3 +3）,

36、 一3-6）、（3-30, -3 + 68）：故点P坐标为：（-,生）或（2旦,上地）或（3-3反 -3 + 6-）.本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，提取有效信息，运用待 定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推导、探究、发现和计算.6. （1）1：2020： （2）1：2020： （3）存在，最小值是2022【解析】【分析】（1）利用函数解析式可得到抛物线的顶点坐标，再根据二次函数的对称性，可得点P1的 横坐标，从而可求出APi的值：求出y2=x?+2x+l的对称轴，利用二次函数的性质，就 可得到点P2的横坐标，即可求出AP2的值，同理可得到A

37、P3的值，根据其规律可得到AP2O2U的值：（2）设点Ci的横坐标为"点Di的横坐标为X2,可得到PG = -X|, PDlxz,从而可 表示出PClPDi，利用二次函数的对称性可得到xi+x2=-1,代入计算可求解：利用同 样的方法求出PC2-PD2的值，根据其规律可得到PC2O2O - PD2O2O的值；（3）设点Q（x, 0）,可得到OQ的长，再利用已知条件及函数解析式，分别求出EiE2=OQ，E1E3=2OQ, EF4=3OQ,根据其规律可得到&En= (n-1) OQ,再由OQ=2020,可求出i和j的值，然后求和即可.【详解】13（1）解：CD X = （* +1

38、 .，抛物线W的顶点坐标为,APx 轴， 点A和点Pi关于对称轴对称， 点Pl的横坐标为一!乂2 = -1, 2（3、 点 Pi 19二，<4,AAPi= 1-1-0 =1：2y2 = x2 + 2x+ 1的对称轴为直线X = 一 = 一1,点Pz的横坐标为一2,2x1AAP2= 1-2-01 =2；同理可知:AP3=3,AP2O2o=2O2O；（2）解：设点Cl的横坐标为xi,点Di的横坐标为X2,A PCi = Xi, PDj=X2,PC 1PDj = -X）X2= - （ X1 + X2 ）I抛物线y=x?+x+1对称轴为直线x= - J ,点Ci和点Di关于对称轴对称,. M+W

39、 _ 1 - 2.Xi+x2= -1,PCi-PDi = - (-1) =1；设点C2的横坐标为Xl,点D2的横坐标为X2,/.PCi = Xi, PDi=X2, /. PC2 -PDz= Xl X2= (X1+X2),抛物线y=x2+2x+l对称轴为直线x=-l,点Cz和点6关于对称轴对称,APC2-PD2=- (-2)=2：PC2020PD2o2o= ( 2020) = 2020；(3)解：设点 Q (X, 0) .OQ=-x,AEiE2=x2+x+1- (x2+2x+1) =-x=OQ,EiE3=x2+x+1 (x24-3x+l) =-2x=2OQ,EiE4=x2+x+1- (x2+4x

40、+1) =-3x=3OQ,EiEn=x2+x+l (x2+nx+l) = (1n) x= (n1) OQ,F FV = 2020, OQ.EiEj=20200Q,j=2020+l=202LAi+j 的最小值为 1+2021=2022.【考点】 此题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax2+bx+c的性质，二次函数的其他 应用，图形规律类的探究，能够根据图形的变化规律得到线段长度的规律是解题的关键.7. (1) ，= 一/+1工 + 3,七；,0)(2)见解析(3)存在，ep0【解析】【分析】(1)根据点A，3的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式：把抛物线的表达 式化成顶点式

41、得到点E的坐标；(2)过点E作EF上CB,垂足为点尸，先计算出OC、BC、BE的长度，再利用三角函数 计算出EF的长度，证得。£ = EF,从而证出射线CE是N0C8的角平分线；(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点。的坐标，由点5, C的坐标利用待定系 数法可求出直线8c的函数表达式，由点。的坐标可得出点M, N的坐标，进而可得出 A/N的长度，结合点C的坐标可得出MC的长度，由菱形的性质可得出MN = MC,进而 可得出关于川的一元二次方程，解之即可得出？的值(取正值)，进而可得出点。的坐标:【详解】3 a =-4b=24解：(1)将A(T,O), 8(4,0)代入丁 =

42、4+以 + 3,得：。一+3=0,解得：16。+ 4 + 3 = 039二二次函数的表达式为y = 一V/ + 3.:.E(2)如图，过点£作石尸1,。3,垂足为点尸.OE = -：.OB = Ar3 5. BE = OB = OE = 4- = -2 2在必ABOC中，BC = yJOB2+OC2 =V42 +32 =5/ sin ZOBC =EF _OCEF 3y=52:.EF = -y 2:.OE = EFOEIOC,EF LCB.C£1是的NOC8角平分线(3)存在如图，由题意，得4M,CN = 4NCB,MNIIOM':.AM'CN = ZCNM.

43、ZMCN = ZMNC:.MN = CM,39当 X = 0 时，)，= - ：/+3 = 3,二点C的坐标为(0,3)设直线BC的解析式为y = " + b.将 8（4,0）,C（0,3）代入3得左=,b = 3 43，直线8c的解析式为广3 ,点Q(7,0)，A/j /h,-/72 + 3+-m + 333)9MQ = 一二阳+ 3,NQ= 二/+ 阳 + 3444点AT落在）'轴的正半轴上 二点N在直线8C上方一二+ 3 )4(39.MN = NQ - MQ = -m2 +-m + 3 44过点M作± OC,垂足为点H,.2d"也MC BCCM5.C

44、M = -in4.$13,=口解得町=0 （舍弃），：【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一 次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、三角形的翻折、平行线的 性质以及三角函数解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出 二次函数解析式；(2)利用三角函数计算EF的长度，从而证得。£ =钎：(3)利用翻折、 平行线的性质，找出关于？的一元二次方程.38. (1) (-2, -4)； -2<x<0 (2) 4； y= - -x2+6x - 2(3)四边形 EMBD 是平行四边2形，理由见

45、解析【解析】【分析】(1)令抛物线Ci的解析式中x=0,求出y值即可得出点N的坐标，再利用配方法将抛物 线Ci的解析式配方，即可得出顶点M的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不 等式的解集：(2)找出点M关于x轴对称的对称点的坐标，找出点M关于原点对称的对称点的坐标， 二者横坐标做差即可得出p的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移 后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C2的解析式：(3)由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形.【详解】3解：(1)令 y=x?+6x+2 中 x=0,则 y=2, 2AN (0, 2)；33Vy=-x2+6x+2=

46、- (x+2) 2 - 4, 22-4).观察函数图象，发现：当-2VXV0时，抛物线C1在宜线1的下方,3，不等式二x?+6x+2Vkx+b的解集为-2<x<0；23(2) y=x2+6x+2 抛物线 Ci：的顶点为 M(-2, -4), 2沿x轴翻折后的对称点坐标为(-2, 4).抛物线C?的顶点与点M关于原点对称，抛物线C2的顶点坐标为(2, 4),p = 2 - ( -2) =4.抛物线C2与Cl开口大小相同，开口方向相反，33，抛物线 Cz的解析式为 y=-二(x-2) 2+4= - -x2+6x-2；2 2(3)令 y=±x2+6x+2=0,则 x=-2

47、77;H, 23即点E、F的坐标分别为(-2-mR, 0)、(-2+至，0),3 3点 M ( -2, -4)；同理点A、B、D的坐标分别为(2-, 0)、(2+打6, 0)、(2, 4), 33由点的对称性知，DM、EB相互平分，故四边形EMBD是平行四边形，经验证该四边形不是矩形、菱形，故四边形EMBD是平行四边形.【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组)，涉及到图形的平移、平行四边形的性质等，具有一定的综合性，难度较大.,3939. (1) c=3； (2) y = -2x + 6 ； (3) (T;S=-x2+3x=-(x-)2+ - (l<x<3)：当乂= 一时，S取

48、242得最大值，最大值为2：存在点pi (巴叵,上正)，或P2(上正,2E),此时 44242r尸匕立：点P3 ( 土正，二5),或P4(三5、上35),此时门=避二1,理由见 442424解析.【解析】【分析】(1)将点D (0, 3)直接代入解析式即可：(2)先求出顶点C坐标为(1, 4),以及与x轴的交点坐标，即令y=0时，得到点B (3,0) 代入一次函数解析式即可求得答案：(3)根据S=?PEQE,利用P点在线段BC上，可表示出PE, OE,得到 2S=-a(-2.v + 6)=-x2+3x,变形为顶点式后求出最大值即可.第小问，根据两圆内切与 2外切进行分类讨论，分别用r表示出CQ

49、, PQ, CP的长度，再利用勾股定理即可求出r长度和P点坐标.【详解】解：(1) ,将D (0, 3)代入解析式.c=3(2)由(1)知抛物线为：y=-x2+2x+3,配方得 y=- (x-1)工+4，顶点C坐标为(1, 4)令 y=0,得 xi=-l, X2=3/. B (3, 0)设直线BC解析式为：y = kx + b (k，0),把B、C两点坐标代入，3k + b = O9得， < 解得k = 2, b = 6.k+b = 4.，直线BC解析式为y = -2x + 6(3);点P (x, y)在y = -2x+6的图象上,:.PE=x, OE=-2x+6：. s= - PEOE

50、=x( - 2x + 6)=-x2 +3x2 2，s = -x2 + 3x(1 < x <3)94943 -符合 I<xv3, 239当x=7时，S取得最大值，最大值为一. 24答：存在.如图，设抛物线的对称轴交x轴于点F,则CF=4, BF=2过 P作 PQJJ2F于 Q,则 RtA CPQsRs CBF.丝二丝，即丝/CF BF 42ACQ=2r当。P与。C外切时，CP=r+lvcq2+pq2=cp2/. (2r) 2+F= (r+1) 2解得r=上无(=匕正舍去) 44此时Pi ( £+>/5 7->5 或p?(匕叵 巴叵)4242当。P与。C内切

51、时，CP=r-l.CQ2+PQVP2工(2r) 2+r2= (r-1) 2解得r=YLl (r=望舍去)44此时p3( 土史 上或)，或P4( 21正 吐卢).4242.当I匕YE,r2=避二1时，OP与。C相切. 44点P的坐标为P”三立，上正)，或P?(三叵,21 ), 4242P3 (5一b,7 + 4),或P,(3 + " 9 鸟 4242【点睛】此题考察二次函数的综合应用，一次函数解析式的求法，根据圆与圆相切时的分类讨论，数 形结合的数学思想方法.此类型题前两间难度都较小，计算不出问题即可得分.最后一问关 键点是当OP与抛物线对称轴相切，Q为切点时，PQ长度即为。P的半径，

52、利用平面直角坐 标系，根据相似三角形性质可得CQ=2r,当OP与0c外切和内切是，CP长度分别为r+1和 r-1,再利用直角三角形勾股定理即可求值.最后一题计算一般较为复杂，注意不要出错.10.尸+3, y = -x2-2x+3； (2) Af( - 1, 2)： (3)尸的坐标为G1, -2)或(-1, 4)或(-1,5)或5匕叵).22【解析】【分析】(1)先把点A, C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b, c的关系式，再根据抛物线的 对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a, b, c的值即可得到 抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出

53、m和n的值即可得到 直线解析式：(2)设直线BC与对称轴x=-l的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-l代入直线 y=x+3得y的值，即可求出点M坐标：(3)设 P(-l, t),又因为 B(-3, 0), C (0, 3),所以可得 BC2=18, PB2= (-1+3) 2+t2=4+t2, PC2= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.【详解】解： 由题意得：<a + b + c = 0ic = 3,解得：a=-l* = -2,c = 3,.抛物线的解析式为：)，=一/一2工+ 3由题意得8(-3, 0)-3? + n = 0.把 8(-3, 0), C(0, 3)代入 > = * +得：n = 3,解得：? = 1,/? = 3,.直线的解析式为y = x + 3(2)设直线8C与对称轴x=-1的交点为则此时M4+MC的值最小.x = -l 代入直线丁 = x + 3 得 y = 2,1, 2),即当点M到点A的距离与到点。的距离之和最小时M的坐标为(-1, 2)：(3)设 P(-l,3(