数列求通项高考真题分析

1、数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行 较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。 一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1、等差数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列

2、an满足a2=0, a6+a8=-10（I）求数列an的通项公式；ai d = 0, 解：（I）设等差数列an的公差为d,由已知条件可得12ai 12d =-10,4=1,解得 ,d = -1.故数列an的通项公式为an = 2 n.2、等比数列公式例2. （2011重庆理）设an是公比为正数的等比数列，a=2, a3 = az+4。（I）求an的通项公式解：I）设q为等比数列an的公比，则由a1 = 2, % = a2 + 4得2q2 = 2q + 4 ,即q2 -q - 2 = 0,解得q = 2或q = -1 （舍去），因此q = 2.所以an的通项为an =2 2n/=2n（n w N

3、*）.3、通用公式若已知数列的前n项和Sn的表达式，求数列an的通项an可用公式Snn=1茜a-I、人an =3求解。一般先求出 a1=S1,若计算出的an中当n=1适合时可以Sn-Sn/"n>2合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3、已知数列an的前n项和sn = n2 1,求 an的通项公式。解：a = & = 0 ,当n之2时,22an = sn sn=(n -'D -I( n -'D -'1 = 2n 0(n = 1)由于ai不适合于此等式。 an =3an和an-i的关系时我们可以根2n1 (n 之 2)二.当题中告诉了数列

4、任何前一项和后一项的递推关系即: 据具体情况采用下列方法1、叠加法一般地，对于型如an* =an + f (n)类的通项公式，且f (1)+ f(2) + f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。即：an =(an an)+(anan/)+|1| +(a2 - ai) +a1 (n 2 2)；例4、(2011四川理8)数列an的首项为3,0)为等差数列且bn=an书an(n三N*)若则 b3 = 2, b10 =12，则 a8 =A. 0B. 3C. 8D. 11解：由已知知bn =2n8,an由an =2n8,由叠加法(a2 -a1)(a3 -a2)HI(a8-a7)-6-4-20

5、 2 4 6 =0=a8- a1=31 1例5、 已知数列an满足a1 = ,an由=an十二,求数列an的通项公式。2 n2 n1111斛：(1)由题知： an +1 an =-=n n n(n 1) n n 1, an = (an - an)+(an-an 2) + +(a2- a1) +a1十=3 -1一2 n2、叠乘法一般地对于形如“已知 a1,且曳± =f (n) (f (n)为可求积的数列)”的形式可通过叠an乘法求数列的通项公式。即：an =' '况 才II a2 a1 (n> 2)；anT an Ia1例6、在数列 an中，a1 =1,(n+1)

6、 - an + =n - an,求 an 的表达式。解：由（n+1） an + =n , an得an 1 n,1所以an = nan _ a2 a3a4an _ 1 2 3. . n 11- - =一a1a1a2a3an J 2 3 4 n n3、构造法当数列前一项和后一项即an和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法、一般地对于 % =kSn-1 +m（k、m为常数）型，可化为的形式an +入=k（ an-1 +入）.重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通

7、过化简用待定系数法求入，然后再求an。例7、（2011广东理）设b>0,数列an满足a产b, an-nban（n之2）an2n -2（1）求数列4的通项公式;解:an _ ban 4nan 4 - 2(n -1)n an 4 2(n -1) 1 2 - r-anban 4 b bn -1an -1n21设一=bn,则 bn = bn/十一(n A 2), anbb(i)当b=2时，bn是以1为首项，1为公差的等差数列，22_111即 bn = _+(n _1)父_ =_n ,an =222 2222(ii)当 b#2时，设 bn +儿=2 -(bn+Q ,则 bn =2 bn + (-1

8、), bbb,211令 K(1 -1)=-,得儿=b b2 -b121'.,bnVr2 (bnb)(ne1 1121知bn + 是等比数列，:bn + =(b1 +)()，又b1 = _ ,2-b2-b 2-b bb,12n 112n -bnnbn(2 - b)n - 2 -b(b)2 -b- 2 -b bn? ' an_ 2n -bn'、对于an+=pan + f （n）（其中p为常数）这种形式，一般我们讨论两种情况:i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为an平=Aan +Bn+C型，可化为an4+ A1n +九2 = A an+£1 (n 1)十

9、九2的形式来求通项。例8.设数列an中，a1 =1,an+=3an+2n+1,求an的通项公式。解：设 an .1 A(n - 1) B =3(an An B),an i =3an 2An 2B -A与原式比较系数得:2A = 2 A = 12B-A=1 B=1即 an 1 (n 1) 1 = 3(an n 1)令 bn =an +n +1,贝1Jbn+1=3bn且ba+1+1=3,bn是b1 =的首项,公比q=3的等比数列.bn =3 4、3 即：an =3n -n 1C为常数，)然后再求an),ii、当f(n)为指数哥时，即数列递推关系为an=Aan+B Cn (A、日型，可化为an+十九

10、Cn+=A(an十九Cn)的形式.构造出一个新的等比数列,例9. (2003年全国高考题)设 a0为常数，且an=3n,-2an(nN*一 .、1证明：卞:寸任意 n>1, an = 3n +(1)，2n +(-1)n 2n -a0 5解：证明：设an -t-3n =2(an-t 3n)一八1用an =32an代入可得t =一5an - 是公比为-2,首项为a1 -3的等比数列,55QnQ,一33n 4*、an -=(12a°-一)(-2)(n=N ),553n (1)n4 2n即：an =3- (-1)n 2n a0 5当然对于an+=Aan +B Cn这种形式递推关系求an

11、时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn+1,重新构造数列，来求 an °例 10、(2007天津理)在数列 QJ中，ai =2, an =?£n + 九n*+(2?._)2n(nw N),其 中九0.(i)求数列Q的通项公式；解：由 an¥ = ?"an + 九 n+(2 K)2n(n W n"),九 >0,nn所以n-'- J I为等差数列，其公差为1,首项为0,故曳-2) =n1 ,所以数列an nI九J%l九，的通项公式为an =(n 1)儿n +2n.(2)、倒数法一般地形如an = an、an，

12、an=an,-an等形式的递推数列可以用倒数法将其kanb变形为我们熟悉的形式来求通项公式。例11.已知数列an满足：a1=1,an= an，求an的通项公式。3an -1 1“,13an -1 11解：原式两边取倒数得：一二一 3 -anan -1an -1、一 1 一设bn =一，贝U bn-bn-1 =3,且b二1an，bn是b1=1为首项，公差d=2的等差数列3. bn =1 ( n -1) 3 =8 -21 即 an =3n-21例12、(北京龙门育才学校 2011届局三上学期第三次月考)在数列 an中，a1 =,并且3对任意n w n *,n ±2都有an &二=

13、an an成立，令bn(n 亡 N ") .an(I )求数列 bn的通项公式；1解：(1)当n=1时，b =一 = 3 ,当n之2时, a111由an，an°=anJan ,等式两边取倒数得： =1,所以bn bn=1an an所以数列bn是首项为3,公差为1的等差数列，所以数列bn的通项公式为bn = n + 2(3)、对数法当数列an和an-1的递推关系涉及到高次时， 形如：anp = ma-1q (其中 m、p、q为常数)等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行 求解。例13、(2006山东)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f

14、(x)=x2+2x的图象上，其中=1, 2, 3,(1) 证明数列 lg(1 + an)是等比数列；解：(1)由已知an书=a2+2an,2- an 1 ,1 =(an 1)a1 = 2,an +1 A1 ,两边取对数得lg(1 +an+)=2lg(1 +an),即 1g(1 an J =2lg(1 - an)，lg(1 +an)是公比为2的等比数列.2例14、右数列 an中，a1 =3且小书=an (n是正整数)，则匕的通项公式是 an=(2002 年上海高考题).解 由题意知an >0,将an书=an2两边取对数得lgan书=2lgan,即1gan* =2,所 lgan以数列lg a

15、n是以lga1=lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan =lga1 2,=lg32j ,nn纭即 an =3.(4)、特征方程法、一般地对于形如已知 a1 =m1,a2 =m2, On+2 =A an+1 +B an (A、B是常数)的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程(i)当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q时，有：an = Ci ,pn +c2 ,qn,其中ci与C2由已知a1 = mn ,a2 = m2,确定。(ii)当方程有唯一的实根p时，有an =(gn +白)pn,其中C1与C2由已知a1=

16、 mi,a2=m2,确定。法二：可构造成 an+2 -xian+i =X2(an+i -xian) ,则 an+-xa 为等比数列，进而 求通项公式，这种方法过程较为繁杂。例15、已知a i =2, a 2=3, an+2 = 2any一an ,求通项公式。解法一：特征方程的根为 1,所以an = (ci n+C2)x in,ci c2 = 2由：得。=C2 = i,所以an = n + i。2ci C2 =3斛法一:设 an +2 Xi an +i = X2 (an 十i Xi an ) ,可信 x i = x 2 = i,于是an+1 an 是 公比为i的等比数列，an+i an = i,

17、所以an = n + i。1n例i6.已知数列an酒足a =2,a2 =3,an_2 =3an平一2an(n w N )，求数列an的通 项an。解：其特征方程为x2=3x-2,解得x1=i,x2=2,令an=Gnan = i 2 一,a1二 J 2c2 2由1 y 2 ，得J a2二 C| 4c2 3例i7、(2009陕西卷文)已知数列an满足,ai=i a2 =2同+2=an- an 1*nAnN .2(I)令bn =an由an,证明：bn是等比数歹U；(n )求Ln的通项公式。解：(1)证明：b1 =a2 -a1 =1,“，”1V-(an - an)- bn,22所以>是以1为首项

18、，-1为公比的等比数列。2一 ,in(2)斛由(1)知 bn =an 由an =(一一),211当 n 之2时,an =ai +(a2 -ai)+(a3 a2)+川 + (an an)=1 +1 +( 一)训 +()22n -41-得产21二12 :1 2”(-2)n -(-2)32当 n=1 时，也2(1尸=1=4。 3 32所以 an = §2(J)ni(n w N )。3 32本题也可以用特征方程来证明，同学们不妨自己试试。、一般地形如： a* =a an +b (a、b、c、d为常数)c an d可得到相应的特征方程：x =,再将其变为cx2 + (d -a)x-b = 0

19、,通过该方程的根cx d的情况来重新构造数列。(i)如果方程 cx2 +(d -a)x -b = 0有两个相异的实根，则有数列!且二p1是以a二R为an - qai -q首项，a -cp为公比的等比数列；a i cq11.(ii)如果万程cx2+(d a)x b =0有两个相同的实根， 则数列«是以为首an - pai - p2c项，为公差的等差数列。a d例18、(2009江西理22)各项均为正数的数列an , a = a, a2 = b ,且对?足m + n = p + q的正整数 m, n, p,q都有am . an_ aP a(1 am)(1 an)(1 ap)(1 aq)1

20、 一 4(1)当a = , b =时，求通项an；25解：(1)由一迎上a二一旦二a一 得 (1 am)(1 an)(1 ap)(1 aq)a . an(1ai)(1 an)_ a2 . an(1 a2)(1an 工).将a114，一,a2 =一代入化简得25ax bo构造方程 x=(a=2,b=1,c=1,d=2)化简彳导:x =1解得x=1和-1.所以数列上an为等比数歹U, 1 an从而:an1 -an1 an1 1 an43 1 an J3n -13n 13 _1 .一可验证，an =31满足题设条件. 31例19已知数列烝满足& =2,烝=an(n之2),求数列a0的通项a0

21、.2an1解：其特征方程为x=2±2,化简得2x2-2=0,解得X1=1,X2 = -1 ,令2x 1an 11- an 1=C -an 1 1an 14 1由 a1=2，行 a2=,可行 c = 一一， 53二数列曳二！卜是以亘二1为首项，以为公比的等比数列， § +1a1 +1 33.an -1 =1 1_1 . a = 3n (-1)n一言-3 t-31n-3n+(-1)n三、当题中给出的是 Sn和an的关系时，我们一般通过作差法结合 an= Sn- Sn 1这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到an和an + 1的递推关系，或消掉 an得到Sn和Sn-1的递推关

22、系，然后重新构造数列求通项公式。例20、(2007湖北理19)已知数列an的前n项和为Sn ,且满足：a1=a (a#0), an+1 = rSn_*一 f一, 、(n u N , r = R,r ¥ -1).(I)求数列an的通项公式；解：(I)由已知 小书=rSn,可得anH2 =rSn-两式相减可得an 史 an 由=( 64一 S = ra,即 an 2 =(，1)an 1,又 a2 = ra1 = ra ,所以 r=0 时，数列an为：a, 0,，0,；当 r #0,r # T时，由已知 a #0,所以 an # 0 ( n = N ),于是由第七=(r +1)an + ,

23、可得包法=r +1(n亡N),an 1二a2,a3,|,an +川成等比数列,当 n 22 时，an =r(r +1)n_2a.ann = 1,综上，数列an的通项公式为an =n 2r (r 1) a,n , 2例21： (2007重庆理)已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn>1,且6Sn =(an 1)(an 2),n N(1)求 an的通项公式；1 .斛：由 a1 = S = (a +1)(a +2) 斛倚 a1= 1 或 a1 = 2,由假设 a = S > 1,因此 a = 2。 61 1 ,又由 an+1 = Sn+1- Sn= 一(an由 +1)(an+ +2

24、) =一 (an +1)(an +2), 66得 an+1- an-3= 0 或 an+1 = -an因an>0,故an+1= -an不成JlL,舍去。因此an+1- an-3=0o从而 an是公差为3,首项为2的等差数列，故 an的通项为an = 3n-2。例22. (2009全国卷n理)设数列an的前n项和为Sn,已知a1 =1, Sn书=4an+2(I )设bn =an+ 2% ,证明数列bn是等比数列(II )求数列an的通项公式。解：(I)由a1=1，及 Sn+=4an+2 ,有 a1七2= a4 + 2a2=31 +2=5二庆 生 2街 3由Sn+ =4an +2,. . 则当n22时，有Sn =4an+ 2一得an 1 =4第一4第an 1 - 2an =2(an 一2第4)又'；bn =an+-2an,二bn =2必二>是首项6 =3 ,公比为2的等比数列.(II )由(I )可得