高等数学教学中渗透数学史的几点作法

1、高等数学教学中渗透数学史的几点作法 杨万必， 向会立 （湖北民族学院理学院 湖北 恩施 445000） 摘要：数学史是研究数学发展进程与规律的科学，在高等数学教学中渗透 数学史知识，可以使学生了解数学思想的形成过程，加深对数学本身的认 识，可以使抽象的高等数学知识显得生动而易于接受，可以加深学生对高 等数学中概念的认识和掌握，从而提高教学质量，增强教学效果。在高等 数学教学中运用数学史知识时，不能简单地、就事论事地介绍史实，而应 该着重揭示含于历史进程中的数学文化价值，营造数学的文化意境提高 数学的文化品位，本文通过对几个高等数学教学内容片段的详细剖析，具 体给出了的几点作法。 关键词：高等数

2、学；教学；渗透；数学史；教学内容；片段；作法 在高等数学教学中，通过数学曲折的发展历史，适当渗透数学史,可 以促进学生对数学的理解和对数学价值的认识,满足学生的求知欲和好奇 心,构筑数学与人文之间的桥梁。从而使课堂消除枯燥,告别沉闷。数学教 学中融入数学史的必要性,主要体现在五个方面:数学史有助于学生的品 德教养；数学史有助于学生创新素质的养成；数学史有助于激发学生的学 习兴趣,树立学好数学的信心；数学史是一种出色的教育指南；通过数学 史可以彰显数学知识的人文特性，开阔视野,使教学收到好的效果。 通过对数学史作用于数学教学的研究，寻求如何让数学史在数学教学 中发挥更大的作用。数学史对于数学教学

3、的重要意义在国内外引起了广泛 的注意。国际上研究数学史与数学教学关系的主要组织是 HPM。在我国， 数学史的教育教学价值也早已被一些学者所认识。但如何有效地将数学史 与高等数学教学结合起来，是一个值得我们思考探讨的问题。众所周知， 数学史作用于高等数学教学能够为高等数学教学"教什么"和"怎么 教"提供了新的视角：在"教什么"问题上，数学史能帮助我们达到正本 清源的目的；在"怎么教"这个问题上，数学史启示我们返璞归真，回到 数学的本原；而有意识地引用数学史资料，汲取数学史知识，运用数学史 研究成果，有益于高等数学教学

4、成为"最高最好的教学"。教学设计是高 等数学教学的重要环节，数学史作用于高等数学教学，它要求我们在高等 数学教学设计中应尊重数学自身发展的史实、遵循认知规律、注重挖掘数 学的内涵和外延。我们知道，培养学生的数学思维能力，是当代数学教育 改革的核心问题之一。要解决这一问题，必须把数学哲学和数学史的研究 成果运用于数学教育过程中，促进数学的哲学、历史和教育三者的有机结 合。就我国数学教育改革而言，这方面的研究具有特殊重要的意义。本文 结合高等数学的教学内容就数学史如何渗透于高等数学教学进行了初步 69 探讨。同时通过对几个高等数学教学内容片段的详细剖析，具体给出了的 几点作法。

5、 1在极限理论教学中渗透数学史的历史典故和人物，有利于学生理解 极限理论、思想和方法 本人在多年的高等数学教学中,发现学生对这门课程普遍感到学习困 难,特别是对极限理论的理解产生畏难情绪。产生困难的原因很多,但由于 学生对极限理论产生的历史背景和实际应用缺乏了解,对于这门课程的学 习缺乏兴趣,是其中的重要原因之一。"兴趣是最好的老师",怎样提高学 生的兴趣? 怎样解决学生学习这门课中的极限理论难的问题?本人在极限 理论的教学中，尽全力使教学内容丰富多彩,既重难点精析(或疑难解 析) 、例题精解、热身练习,又根据情况有反例欣赏、错解辨析、一题多 解、历史典故、生活浪花、人物简

6、介等。既注意知识的科学性、严谨性, 又注意知识的趣味性。特别是在知识传授的过程中,穿插、渗透数学史中 的历史典故、人物简介,再加上联系实际的生活浪花,起到了教学的画龙点 睛作用,激发了学生的学习兴趣,使他们觉得极限理论不再那么枯燥无味, 难懂难学了,学生学习兴趣和成绩也有了明显的提高。 1.1.以历史典故为红线,贯穿在极限理论发生与发展的全过程 极限理论发生与发展中,有多处涉及了历史典故。在教学中，我们罗列 了五个历史典故，它们像一条红线一样把极限理论发生和发展的历史串连 起来,使学生在学习知识和方法的同时,了解极限理论发生、发展的历史脉 络,得知高等数学是一门既古老而又年轻的科学,还需要不断

7、地发展与完 善,从而激发出他们学习的兴趣与热情。 在引入极限理论前插入了： 历史典故 1 直观的极限思想起源很早。公元前 5 世纪，希腊古代数学家安提丰 （Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内 接正多边形（如正方形或正六边形）出发，把每边所对的圆弧二等分，联 结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤足够多次 时，所得圆内接正多边形面积与圆面积之差将小于任意给定的限度。实际 上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合。稍后，另一位希腊古 代数学家布里松（Bryson）考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤。 这种以直线形逼近曲边形的过程表明，

8、当时的希腊数学家已经产生了初步 的极限思想。 历史典故 2 中国古代成书于春秋末年的庄子·天下中记载了一个命题："一 尺之棰，日取其半，万世不竭。"是说一尺长的一根木棒，每天截取其一 半，则这个过程一万年也不会完结。成书于春秋末年至战国时期的墨经 对上述过程另有一种观点。墨经·经下："非半弗斫则不动，说在端。" 70 墨经·经说下："非，斫半；进前去也，前则中无为半，犹端也；前 后取，则端中也。斫必半，毋与非半，不可斫也。"大意是，对一条有限 长的线段进行无限多次截取其半的操作，最终将得到一个不可再分的点

9、， 这个点在原线段上的位置是由截割的方式确定的。墨家的这条辩论不承认 物质是可以无限分割的，关于这一点，墨家的论点是错误的，其错误在于， 把数学上抽象化了的点和客观存在的点混而为一。在这个问题上也反映了 后期墨家的形而上学的观点，没有认识到物质是无限大和无限小的统一。 历史典故 3 公元 263 年，魏晋间中国古代杰出数学家刘徽创立割圆术以推求圆面 积和弓形面积，使用极限方法计算了开平方、开立方中的不尽根数以及棱 锥的体积。刘徽继承和了发展了惠施等人的极限思想，第一个创造性地将 极限思想应用到数学领域，在为我国古代最早的一部数学名著九章算术 中"方田章"的第三十二题作注时，

10、提出了求圆面积和推算圆周率的科学 方法割圆术，从而应用这种方法解决了一些数学疑难问题。 关于圆面积的计算，在九章算术中提出了如下计算公式："半周 半径相乘得积步。""周径相乘，四而一。" 显然后一公式是前一公式的变 形，而前一公式的意思可以解释为：圆面等于以该圆的半径为宽，半周为 1 长相应矩形的面积，假设圆半径为 r ，圆周长 c ，圆面积为 S ，则 S = cr , 2 这个公式是完全正确的。 由于在我国古代相当长的时期内，认为圆周长与直径长之比是"周三 径一"，即圆周率 =3，又给出两个计算圆面积 的公式："径自相乘

11、，三 之一，四而一。""周自相乘，十二而一。" 这两个公式显然是不正确的， 刘徽认为，按古率 =3 进行计算，其结果是与实际不合的。他在注文里 说："假令圆径 二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径 率一而外周率三也。又按为图，以六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之 一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以 为圆内接正六边形的周长，而不是圆周长。按"周三径一"计算出的结果 不是圆面积的圆内接正十二边形的面积。 因此，刘徽提出科学的计算方法割圆术，并用这个方法证明了圆 面积的重要计算公式（1)。刘徽注云

12、："又按为图，以六觚之一面乘半径， 因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割除之又割，以至 于不可割，则与圆合体，而列所失也。觚面之外，犹有余径，以面乘余径， 则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径，则幂不外出矣。以 一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。" 这段注 文的意思是说，从一已知圆的内接正六边形开始，每次将边数倍增，依次 求得圆的内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边 形、。边数越多，正多边形的周长越接近于圆的周长，正多边形的面 积越接于圆的面积，边数倍增得越多，正多边形的面积与圆的面积之差越 71 小，当边数无

13、限倍增下去，正多边形便与圆重合，其面积便没有误差了。 故圆的面积等于其半周与半径之积。 这就是公式（1）的一段相当严格的 论证。 由此可见，刘徽所用的"割圆术"与近代的极限方法是基本一致 的。因此我们可以说"割圆术"是最早的极限方法， 至少可以说"割圆 术"已构成近代极限方法的雏形。 此外，刘徽在证明了圆面积公式之后， 紧接着指出："此以周径，谓至然之数，非周三径一之率也。"这就是说， 此时所用的圆周率是较精密之率。并非周三径一之"古率"。那么，如何 求出这个较精密的圆周率呢？刘徽仍采用&quo

14、t;割圆术"来计算圆周率。综上 所述，我们看出，在我国古代三世纪起，刘徽在研究圆面积和计算问题时， 指出了"古率"的不精密性，首创了科学工作者的方法割圆术，证明 了圆面积的重要计算圆面积公式，建立了刘徽不等式，求出了较精密的圆 周率值，并且由此看出刘徽在当时就会用上、下限两边逼近的方法来求一 个量（圆周率）的近似值。还应指出，刘徽的"割圆术"思想 后来得到 了祖冲之（公元 429-500 年）父子的发挥，对圆周率值进行了精确推算， 355 得到3.1415926 < < 3.141597 密率： 113 22 约率： 7 ， = 3

15、.1415926"称 为"祖率"，是当时世界最好的结果，并保持了长达 1000 年的世界纪录。 从而使我国古代的数学放出了异彩。 在讲述极限理论时插入了： 历史典故 4 17 世纪中叶以前，原始的极限思想与方法曾在世界上一些不同地区 和不同时代多次出现，特别是在 17 世纪早期，一些杰出的数学家从极限 概念出发，发展了各种高超的技巧，解决了许多关于求瞬时速度、加速度、 切线、极值、复杂的面积与体积等方面的问题。然而，所有这些工作都是 直接依赖直观的、不严密的，与今天所说的极限有很大差别。 最早试图明确定义和处理极限概念的数学家是作为微积分学创始人 之一的牛顿。他在

16、完成于 1667 年的论曲线的求积中使用了"初始比 和终极比"方法，它实际上就是极限方法。他还指出用当时流行的、他本 人也经常使用的不可分量或无穷小量来进行论证,只不过是以终极比（极 限）来作严格数学证明的一种方便的简写法，并不是取代这种严格的证明。 1687 年，牛顿的名著自然哲学的数学原理出版，书中充满了无 穷小思想和极限论证，因而有时被看作是牛顿最早发表的微积分论著。 在 18 世纪，牛顿的上述思想被进一步明确和完善。1735 年，英国数 学家罗宾斯（B.Robins）写道："当一个变量能以任意接近程度逼近一个 最终的量（虽然永远不能绝对等于它），我们定义这

17、个最终的量为极限。" 1750 年，法国著名数学家达朗贝尔（J.leR.D'Alembert）在为法国科学 院出版的百科全书第四版所写的条目"微分"中指出："牛顿从 未认为微分学是研究无穷小量，而认为只是求最初比和最终比，即求出这 72 些比的极限的一种方法。"他对极限的描述是："一个变量趋于一个固定 量，趋近程度小于任意给定量，且变量永远达不到固定量。" 历史典故 5 虽然至迟到 18 世纪中叶极限已成了微分学的基本概念，但在 19 世纪 以前，它仍缺乏精确的表达形式。极限概念和理论的真正严格化是由柯西 开始而由魏

18、尔斯特拉斯完成的。 1821 年，法国数学家柯西（A.L.Cauchy）在分析教程第一编·代 数分析中写道："当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终 与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。" "当同一变量相继取的数值无限减少，以至降到低于任何给定的数，这个 变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量。这类变量以零为其极限。""当 同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是 正变量，则称它以正无穷为其极限，记作 ；如果是负变量，则称它以负 无穷为其极限，记作 "。柯西没有使用 型的

19、极限，他的以零为极 限的变量也不可能适应这个框架，虽然如此，在某些场合他还是给出了一 种 式的证明。 1860-1861 年，德国数学家魏尔斯特拉斯（K.W.T.Weier-strass）对 极限概念给出了纯粹算术的表述。即"如果对于给定的 > 0 ，存在数 > 0，使得当 0 < x a < 时， f (x) L < 成立，则称 lim f (x) = L 。" xa 用这种方式把微积分中出现的各种类型的极限重加表述，分析学的算术化 即告完成，从而使得微积分明确地达到了二十世纪中所阐释的形式。 1.2.以人物简介为花絮,点缀描述极限理论产生与

20、发展曲折而艰辛的 历史 为了介绍数学家、分析学家们在极限理论发展中所作的贡献,弘扬他 们艰苦卓绝的奋斗精神,激励学生们的学习热情,在极限理论的教学过程 中,我们在多处插入了人物简介。现举几个例子说明。 在引入极限理论前插入: 人物简介 1 安提丰（Antiphon,约公元前 430 年），古代希腊诡辩学家。安提丰 提出了一种"穷竭法" 颇有价值，它是近代极限理论的雏形。其方法是 先作圆内接正方形，将边数加倍，得内接八边形，再加倍，得十六边形， 这样继续不断，安提丰深信多边形与圆的"差"必会"穷竭"，于是便可 化圆为方了。虽然结论是错误

21、的，但是却提出了一种求圆面积的近似方法， 成为阿基米德割圆术的先导。 人物简介 2 庄子姓庄名周（约公元前 369公元前 286），蒙县（今河南省商丘 县）人。是我国古代具有数学思想的著名哲学家。庄周及其学生住友庄 子53 篇，现存 33 篇。第 33 篇是天下篇，在学术上有巨大价值其 73 中包含许多数学的道理。庄子很多地方记载了庄周和他的朋友惠施的 辩论。这些辩论的内容说明他们对无穷大与无穷小、物体运动和静止与时 间和位置的关系有比较深刻的认识。天下篇还记录了惠施的"历物" 十事，列举了桓团、公孙龙等辨者提出的论题二十三条，其中有二事和六 条就是数学问题。里面有这样的句

22、子："一尺之棰，日取其半，万世不竭。" 意思就是说，一尺长的棍子，第一天取去一半，第二天取去剩下的一半， 以后每天取去剩下的一半，永远也取不尽。这是数列极限的著名论断和事 例，说明庄周他们具有极限思想。 人物简介 3 墨子（约公元前 480公元前 420），名翟是墨家的创始人，相传他 是春秋战国时期的宋国人，后来长期住在鲁国。他不但是我国古代著名的 思想家和政治家，而且他也是一位卓有贡献的自然科学家。墨家学派著作 的总汇是墨子，原共七十一篇，现存有五十三篇，其中经上、经 下、经说上、经说下等四篇合起来称为墨经。墨经是 一部内容丰富、结构严谨的科学著作，里面包含不少数学方面的

23、知识，特 别是几何学方面的知识，其中提出了"端"、"尺"、"区"、"穴"等 概念，还提出了平、直、同长、中、圆等几何概念，表明我国在战国时期 已产生了理论几何学的萌芽。墨经对研究我国古代几何学具有重要价 值。 人物简介 4 刘徽（约 3 世纪），他是我国魏晋时期一位成就杰出的数学家。公元 263 年前后，他曾经为我国古代数学经典著作九章算术作注，做了许 多创造性的数学理论工作，在世界数学史上占有突出的地位。刘徽的著作 有九章算术注，重差一卷（即流传至今的海岛算经），九 章重差图一卷。九章算术是我国最早的一部数学著作

24、，以问题集的 形式编写而成。它收集了 246 个应用数学问题和各类问题的解法，分为方 田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，内容 丰富多彩，充分体现了我国古代数学来源于生产生活实际、又服务于生产 生活实际的优良传统。其缺点是对这些解法或结论缺乏必要的解释说明和 理论探讨。刘徽在九章算术注中解决了上述缺陷。他不但精辟地阐明 了各种解题方法的道理，提出了简要的证明，论证了这些解法的正确性， 指出了个别解法的错误和一些近似解法的精确程度。同时，还创造性地提 出了许多新理论。其中最主要的是创立了"割圆术"，为计算圆周率建立 了严密的理论和完善的算法。实际上建立

25、了圆内接正多边形面积不等式： S2n < S < S 2n + (S 2n S n ) ，（ S 为圆面积， S 、 S n 为圆内接正多边形的 2n 面积， n 为边数）。他从圆内接正六边形算起，直到正 192 边形的面积， 得出 = 157 50 3.14，接着又继续算出正 3072 边形的面积，得出 74 = 3927 1250 3.1416 。此外，刘徽还运用了"齐同术"、"今有术"、"图 验法"等各种计算方法，它们分别相当于现在的分数加减通分法、各种比 例的解算法、各种平面图形面积公式的以盈补虚证明法和各种立体图

26、形体 积公式的拼凑证明法。 人物简介 5 祖冲之（429500），字文远，祖籍范阳（今河北省涞水县）。他生 活在南北朝时期南朝的宋、齐两个朝代，是一位自学成才的杰出科学家， 他在数学、天文历法、机械制造等方面都有卓越贡献。祖冲之年轻时没有 上过学校，也没有名师指教。他的学术成就全靠自己刻苦勤奋学习前人著 作，勇于实践进行精确的测量和仔细的推算而取得的。他在数学上的突出 成就是对圆周率（ ）的研究。第一，他计算出圆周率在 3.1415926 至 3 .1415927 之间，是世界数学史上首次把圆周率准确计算到小数点后七位 的人，直到一千多年后，十五世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西计算到小数点

27、 后十六位，才打破他的记录；第二，他确定了圆周率的误差范围，指出了 圆周率的上限和下限；第三，他提出约率为 22 7 和密率为 355 113 ，其中密率 是世界上第一次提出，故又称为"祖率"。这一结果，直到一千多年后的 十六世纪才由德国人奥托和荷兰人安托尼兹获得。祖冲之对球体积的计 算、开差幂和开差立（即二次、三次代数方程求解正根）也有深入的研究。 他和儿子祖暅写了一部名叫缀术的著作，里面汇集了他们父子的数学 研究成果，在唐朝被指定为算学学生必读的"十部算经"之一，这部著作 可惜在宋朝中叶以后失传了。 在讲述极限理论时插入： 人物简介 6 牛顿（New

28、ton,16421727），英国大科学家，十七世纪最伟大的数 学家之一。他在数学、物理学、化学等方面都有卓越贡献，他不仅是一位 大数学家，同时也是大物理学家和化学家。1665 年 5 月 20 日，牛顿在他 的手稿里记载了"流数术"的问题，这是微积分的诞生，人们都把这一天 作为微积分诞生的标志。这一年，牛顿还发明了万有引力和光的分析。1667 年牛顿重返他的母校剑桥大学三一学院时，他在学识上已经达到了一个新 的境界。1669 年，牛顿的老师老教授巴鲁坦率承认，牛顿在学识上超 过了自己，他把"路卡斯教授"的职位让给牛顿，这时牛顿年方 26 岁， 这事被后人

29、传为佳话。牛顿一生写下了许多科学著作，其中包括巨著自 然哲学的数学原理，以及原理、普遍的算术、光学等著作。 人物简介 7 莱布尼茨（Leibniz,16461716），德国著名数学家，十七世纪最伟 大的数学家之一。同牛顿并称为微积分的奠基者。莱布尼茨生于莱比锡， 他的智力非凡，15 岁就进入莱比锡大学学习，1666 年，年仅 20 岁莱布尼 75 茨就发表了一篇关于数理逻辑的论文，显示了他的高度数学才能。他在数 学方面的造诣很高。他在 1684 年发表了一种求极大值与极小值和切线 的新方法，它也适合于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计 算，1686 年发表了潜在几何学与分析不可分和无限

30、，在这两本书 中他叙述了微分学的基本原理，他以求函数的无穷小增量的题目为出发 点，指出函数取得了这种增量是自变量无限小变化的结果，他把这个函数 的增量叫微分，并用字母 d 表示，莱布尼茨在积分学上，首创积分符号 " "，一致沿用下来。莱布尼茨是一个多才多艺的科学家，他的学识 包括数学、哲学、历史、语言学、地质学、神学、法律、外交和"发明艺 术"等。 人物简介 8 达朗贝尔（J.leR.D'Alembert，17171783）法国著名数学家，偏 微分方程理论的创立者之一。达朗贝尔的一生都在巴黎渡过，1740 年为 法西兰学院院士。达朗贝尔在微分、积

31、分、力学方面均有较高的造诣，他 和拉普拉斯、拉格朗日等人通过研究弦振动、弹性力学和万有引力创立了 偏微分方程理论。他获得了正项级数收敛性的判别法，收集在他的著作数 学论从中。在积分方面，1739 年他出版了积分学报告。在力学方 面，他著了动力学论，发表了达朗贝尔力学原理，推动了当时动力学 的发展。 人物简介 9 柯西（A.L.Cauchy，1789-1857）法国著名数学家，数学分析公理系 统和复变函数论的创始人，法国科学院院士、皇家学会会员，著名数学家 拉格朗日和拉普拉斯的学生。柯西是历史上可数的大分析学家，对数学分 析的批判、 系统化和严格论证是从他开始的，1821 年他出版了著作分 析教

32、程用极限概念严格定义函数连续、导数和积分，并研究了无穷级数 的收敛性，现在通行的数学分析教科书或参考书里，有许多柯西的定理和 判别法，柯西又是数学分析重要分支复变函数论的奠基人之一，从 1825 年发表复变函数的柯西积分定理开始，经过德国的魏尔斯特拉斯等数学家 的努力，才形成了严谨的理论。柯西在其它方面也有许多建树，他研究过 行列式和特征方程，是行列式理论的先驱者，"行列式"这个术语就是柯 西提出的；把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是柯西首先提出的。 他还给出了行列式的乘积定理，证明了特征方程在直角坐标系的任何变换 下是不变的，几个变数的两个二次型能用一个线性变换表示，

33、"特征方程" 这个术语也是柯西首先提出的，此外，柯西在数论、微分方程等方面也有 贡献。 人物简介 10 魏尔斯特拉斯（K.W.T.Weier-strass,1815-1897），德国著名数学 家，极限理论和复变函数论的主要创建者之一。魏尔斯特拉斯的数学研究 76 成果几乎涉及所有的数学分支。他致力于使数学推理建立在一个牢固的基 础上，有鉴于柯西的理论建立在几何的基础上，他将严格的论证引入分析 学。1856 年，他建立了极限理论中的 方法，确立了一致收敛性概念， 对数学分析的精确化作出了重要贡献。1876 年，他发表了解析函数论， 把复变函数论建立在幂级数的基础上，使复变函数

34、论成为严谨的理论。魏 尔斯特拉斯用递增有界数列来定义无理数，从而形成了实数理论的三大派 之一。1885 年，魏尔斯特拉斯的论文关于所谓任意单实变量函数的可 解析表达性证明连续函数必可表示为一致收敛的多项式级数。从此大家 承认连续函数必定可以解析地展开，连续函数也必定可以用多项式来逼 近，这是函数构造论的开端。此外，他在解析开拓和椭圆函数论方面也有 很重要的贡献。 2.在微积分教学中渗透数学史上的第二次数学危机，有利于提高学生 数学素养，从而达到培养学生的数学思维能力 初学高等数学时，有部分同学会对极限，连续等概念不很理解，甚至 觉得有些"多此一举"，因为很直观的概念，却要用

35、枯燥的 语言 "、"等来定义，真应了鲁迅的那句话"你不说我倒不明白，你越说 我越糊涂。"。这时有必要通过渗透数学史向其解释严格定义的重要性。 事实上，由于没有严格定义，历史上曾由无穷小引出了第二次数学危机。 18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用， 大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但 1734 年，英国哲学 家、大主教贝克莱将矛头指向微积分的基础无穷小的问题，他发表了 分析学家或者向一个不信正教数学家的进言，提出了所谓贝克莱悖论。 其中对牛顿做了违反矛盾律的手续"他认为无穷小 dx 既等于零又不等于 零，召之

36、即来，挥之即去，"的做法提出了质疑。由此而引起了数学界甚 至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18 世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管 基础的可靠。其中特别是：由于没有清楚的无穷小概念，从而导致导数、 微分、积分等概念也不清楚；同时还有无穷大概念不清楚，以及发散级数 求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数 及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 直到 19 世纪 20 年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。 从阿贝尔、柯西、狄里赫利、魏尔斯特拉斯等人的工作开始，到戴德金和 康托的工作结束，中间经历

37、了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分 析奠定了严格的基础。 在教学中讲述一些微积分创立的历史，也更能使学生理解数学来源于 应用的道理。恩格斯说："生活上一旦有技术上的需要，就会比 10 所大 学更能把科学推向前进。"微积分的创立主要是为了处理 17 世纪科技领 域归纳出来的课题，例如，当时科学界重视研究光学和透镜设计，这就需 要研究光线射入透镜的投射角，而投射角是光线与曲线的法线所成的角， 77 由于法线与切线是相互垂直的，进而归结为求曲线的切线的问题。它是引 入微分学三类问题之一(另两类问题分别是求速度,求最大最小值)，由此 勾画出微分学的知识框架，引出了微积分学的蓬

38、勃发展。 3.在级数和常微分方程教学中渗透数学史，有利于学生领略数学中的 和谐美与简单美 在讲到傅立叶级数时，会讲到幂级数的一个重要应用，即复数的三角 形式，它完美地揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系。 在这里，可以通过渗透数学史向学生介绍欧拉公式" "， 这是欧拉在 1748 年得到的。数学家克莱因认为这是整个数学中最卓越的 公式之一。它漂亮简洁地把数学中最重要的数 1、0、e、 、i，联系在 一起。有人称这五个数为"五朵金花"，这是因为，它们在数学中处处盛 开，而欧拉竟能将这五个最常用、最基本、最重要的量和谐地聚集在一起！ 在法国巴黎的发明

39、宫中，有一个数学史陈列室就悬挂着这个公式。 数学的和谐、简单之美随处可见。再如微分方程中将二阶常系数齐次 线形微分方程巧妙地转化为中学生就会解的一元二次方程。使高等数学的 问题转化为一个简单的初等数学问题等。 所谓"教学有法，教无定法"，能成功地上好一门课也是一种艺术。 数学家克莱因曾经说过："数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵 最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人 心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上一切"。 愿我们的高等数学教学课堂也能给予学生以上一切。 4.在高等数学教学中通过渗透数学史，培

40、养学生创新和探究能力 4.1.在高等数学教学中通过渗透数学史，让学生了解数学的最新发展 动态 数学史渗透着数学方法，在教学中充分利用数学史，使我们的高等数 学教学方能充分反映数学的文化底蕴。让学生了解一点最新的数学的发展 情况，了解最新的数学知识，了解数学伟大而广泛的应用，可使学生看到 数学的光明而开阔的前途，树立热爱高等数学的热情和学好高等数学的信 心，也才能培养学生学习高等数学真正的兴趣，因此学生的学习成绩自然 也就会提高。 4.2.在高等数学教学中通过渗透数学史，有助于学生自觉参与研究性 学习 以数学史为载体开展一些高等数学的研究性学习活动，可以让学生体 会到数学与生活通常有完美、和谐的

41、结合。在高等数学教学中渗透数学史 的知识，以数学史为载体，不但能丰富学生的学习内容，增加学生学习的 兴趣，而且能引起学生的主动探究，在合作交流的氛围中增长数学知识， 促进课内的主动学习，让学生从喜欢数学史到喜欢高等数学，从而有效的 提高高等数学成绩。 78 5.对高等数学教学中渗透数学史的作法的启示 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数 学知识发生、发展和应用的历史过程中，如何从数学史中获得一些理性的 思考，使学生真正理解数学思想和方法，而且通过渗透提炼得到升华，学 生在这方面的能力还是相当的薄弱；如何在数学史的学习中获得生命的价 值，这也是我们值得研究的一个重要课题。

42、数学史作为数学文化的重要组 成部分，要使每一个学生在高等数学学习中都能获得文化的提升，应该从 学生刚入大学学习高等数学的时候就开始重视，只有这样才能在高等数学 课堂中培养学生的人文精神，才能全面提高学生的数学素养。 本人通过多年高等数学课程的教学实践,对于在高等数学课程中渗透 数学史的作法有以下的几点建议和看法。 5.1.结合课程,以史为线 在讲高等数学课的同时,介绍一些数学史是非常必要的,这既可以增 加学生的知识面,扩大学生的视野,还可以从这些史实中,了解相关的高等 数学知识与方法产生的历史背景,体会其中的思想、方法和创立一门新学 科的艰辛。要结合课程,以史为线,不必专门为史而史,也不必为重

43、现历史, 而重蹈历史上的曲折。一门课学完之后,学生既要有该门课的知识的线条, 又要有这门学科的历史的线条。两条线既可平行也可相交、重叠。 5.2.史不宜繁,点到为止 由于受高等数学课程教学课时数的限制,不可能用过多的时间去讲相 关的数学史,所以在结合课程渗透数学史的时候,史料不宜过多过繁,应该 简明扼要,点到为止。有时利用课堂时间讲,有时也可布置学生自学。 5.3.结合实际,以史为鉴 高等数学是一门应用十分广泛的学科,与日常生活、科学研究、工农 业生产都有着紧密的联系。但是高等数学中有些内容如极限理论比较抽 象，学生错误地认为看似简单直观的概念被抽象复杂化了。我们要通过数 学史上的三次数学危机

44、，正确地引导学生清楚认识到,如果数学没有严格 的理论基础，数学学科将会遭受灭顶之灾。从而让学生真正感受到数学的 三大特性抽象性、严密性和应用的广泛性。由此引导学生注意到,数学 在人们的生产、生活实践和科学研究中的广泛应用,其前景是十分光明的。 5.4.大学教育,以人为本 本人多年从事大学教育,深知大学教育的重要任务是育人,培养适应 新世纪合格的大学生。这当中数学史的教育、数学家奋斗史的教育对大学 生尤其重要。在高等数学的教学中,我对每一届学生都要讲俄国著名的数 学家和教育家切比雪夫的事迹:"他在大学执教三十五年,功勋卓著,数学 科研成果累累,高徒辈出,桃李满天下;他身有残疾,但矢志不渝,为科学、 教育事业努力奋斗;他终生未娶,为科学、教育事业洒尽了全部心血"。也 给学生讲其他国外古今著名数学家欧几里德、阿基米德、费尔马、牛顿、 莱布尼茨、哥德巴赫、欧拉、拉格朗日、高斯、柯西、魏尔斯特拉斯、康 79 托、希尔伯特、冯·诺伊曼、查德等的故事和成就，同时也讲中国古今著 名数学家刘徽、祖冲之、杨辉、朱世杰、秦九韶、程大位、熊庆来、苏步 青、华罗庚、李国平、陈省身、陈景润等的故事和成就。这些历史人物的 介绍,为学生树立了榜样,学生在学习高等数学知识的同时,又学会了如何 做人。 参考文献: 1美M·克莱因.古今数学思想(中译本)M上海：上海