高中数学解题36个大招

1、数学破题 36 个大招目 录高考数学常考问题-大闯关（36 关）错误！未定义书签。目 录1第 1 关： 极值点偏移问题-对数不等式法错误！未定义书签。第 2 关： 参数范围问题常见解题 6 法7第 3 关： 数列求和问题解题策略 8 法10第 4 关： 绝对值不等式解法问题7 大类型15第 5 关： 三角函数最值问题解题 9 法22第 6 关： 求轨迹方程问题6 大常用方法28第 7 关： 参数方程与极坐标问题“考点”面面看41第 8 关： 均值不等式问题拼凑 8 法48第 9 关： 不等式恒成立问题8 种解法探析54第 10 关： 圆锥曲线最值问题5 大方面60第 11 关： 排列组合应用问

2、题解题 21 法64第 12 关： 几何概型问题5 类重要题型71第 13 关： 直线中的对称问题4 类对称题型74第 14 关： 利用导数证明不等式问题4 大解题技巧76第 15 关： 函数中易混问题11 对82第 16 关： 三项展开式问题破解“四法”88第 17 关： 由递推关系求数列通项问题“不动点”法89第 18 关： 类比推理问题高考命题新亮点93第 19 关： 函数定义域问题知识大盘点99第 20 关： 求函数值域问题7 类题型 16 种方法107第 21 关： 求函数解析式问题7 种求法130第 22 关：解答立体几何问题5 大数学思想方法134第 23 关： 数列通项公式常见

3、 9 种求法140第 24 关：导数应用问题9 种错解剖析152第 25 关：三角函数与平面向量综合问题6 种类型155第 26 关：概率题错解分类剖析7 大类型162第 27 关：抽象函数问题分类解析165第 28 关：三次函数专题全解全析169第 29 关：二次函数在闭区间上的最值问题大盘点181第 30 关：解析几何与向量综合问题知识点大扫描192第 31 关：平面向量与三角形四心知识的交汇193第 32 关：数学解题的“灵魂变奏曲”转化思想197第 33 关：函数零点问题求解策略209第 34 关：求离心率取值范围常见 6 法214第 35 关：高考数学选择题解题策略217第 36 关

4、：高考数学填空题解题策略228以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目 1：（2015 长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是 A.B.C.D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，A 正确. 有两个零点：，即：-得：根据对数平均值不等式：，而，B 正确，C 错误而+得：，即 D 成立.题目 2：（2011 辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，-得：，化简得：而根据对数平均值不等式：等式代换到上

5、述不等式根据：（由得出）式变为：，在函数单减区间中，即：题目 3：(2010 天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，两边取对数-得：根据对数平均值不等式题目 4：（2014 江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：-得：，即：根据对数平均值不等式：，+得：根据均值不等式：函数在单调递减由题于与交于不同两点，易得出则上式简化为:第 2 关： 参数范围问题常见解题 6 法求解参数的取值范围是一类常见题型近年来在各地的模拟试题以及高

6、考试题中更是屡屡出现学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量例 1.对于满足 0的一切实数，不等式 x2+px>4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范围分析：习惯上把 x 当作自变量，记函数 y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p时 y>0 恒成立，求 x 的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的若把 x 与 p 两个量互换一下角色，即 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于 p

7、 的一次函数大于 0 恒成立的问题解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当 x=1 时显然不满足题意由题设知当 0时 f(p)>0 恒成立，f(0)>0,f(4)>0 即 x2-4x+3>0 且 x2-1>0，解得 x>3 或 x<-1x 的取值范围为 x>3 或 x<-1二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。例 2若对于任意角总有成立，求的范围 分析与解：此式是

8、可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立根据边界原理知，必须小于的最小值， 这样问题化归为怎样求的最小值 因为即时，有最小值为 0，故评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：f(x)g(k)f(x)ming(k)f(x)> g(k)g(k) < f(x) minf(x)g(k)f(x) maxg(k)f(x)<g(k)f(x) max < g(k) 三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的例 3设，若不等式恒成立，求 a 的取值范围分析与解：若设函数，则， 其图象为上半圆设函数，其

9、图象为直线 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即 a 的取值范围为四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。例 4当时，不等式恒成立，求 a 的取值范围得解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而解（2）当时，由题设知恒成立，即，而解得a 的取值范围是五、利用判别式当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解例 5不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.解：在 R 上恒成立，R故实数的取值范围是，解得.一般

10、地二次函数 f(x)=ax2+bx+c 恒正，f(x)=ax2+bx+c 恒负.六、构造函数构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的例 6已知不等式对于一切大于 1 的自然数 都成立，求实数的取值范围分析：注意到不等式仅仅左边是与 有关的式子，从函数的观点看，左边是关于 的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手解：设,N是关于N的递增函数，则=.要使不等式成立，只须，解之得.实数的取值范围是以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理第

11、3 关： 数列求和问题解题策略 8 法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。 1、公式法求和若所给数列的通项是关于 n 的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列举如下：等差数列求和公式：，等比数列求和公式：自然数的方幂和： k3=13+23+33+n3= n2 (n+1)2， k=1+2+3

12、+n= n(n+1)， k2=12+22+32+n2= n(n+1)(2 n+ 1)例 1 已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。解：由题意，是首项为 ，公差为的等差数列前项和，2、错位相减法求和若数列的通项公式为，其中，中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在推导等比数列的前 n 项和公式时曾用到的方法。例 2 已知当时，求数列的前 n 项和；解：当时， 由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积，这时数列 的前

13、项和 式两边同乘以 ，得式减去式，得若，若，3、反序相加法求和将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个，Sn 表示从第一项依次到第 n项的和，然后又将 Sn 表示成第 n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到 Sn 的一种求和方法。也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前 n 项和公式时曾用到的方法.例 3 设， 利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前项 和 的 公 式 的 方 法 ， 可 求 得的值为： 解：因为 f（x）=，f（1x）=f（x）+f（1x）=.设 S=f（5）+f（4）+f（6），则 S=f（6）+f（5）+f（5）2S=（

14、f（6）+f（5）+（f（5）+f（4）+（f（5）+f（6）=6S=f（5）+f（4）+f（0）+f（6）=3. 4、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和也称分组求和法. 例 4 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设将其每一项拆开再重新组合得：Sn5、裂项相消法求和有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数 都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐

15、项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。它适用于型（其中 是各项不为 0 的等差数列，c 为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见拆项公式有：； ； ； ； 等例 5 设数列的前项的和，令，求解：由题意得：（其中 n 为正整数）所以：。6、并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一 起先求和，然后再求和 。例 6 设数列的首项为 ，前 项和 满足关系式： 设数列 的公比为 ，作数列 使，求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.解:由题

16、意知为等比数列，得 ，故= ，故：bn=，可知b2n1和b2n是首项分别为 1 和，公差均为的等差数列。于是 b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2（b1b3）+b4（b3b5）+b6（b5b7）+b2n（b2n1+b2n+1）=（b2+b4+b2n）=（2n2+3n） 7、累加法给出数列 的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为 型，可以考虑利用累加法求和， 此法也叫叠加法。例7数列的前项和为，已知，求解：由得：，即，对成立。由，累加得：，又，所以，当时，也成立8 多法并取求和根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的

17、规律来求数列的前 n 项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径.例 8 已知数列an：的值.解：第 4 关： 绝对值不等式解法问题7 大类型类型一：形如型不等式解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、 当时，或2 、 当，无解3、 当时，使的解集，无解例 1 不等式的解集为（）A.B.使成立的的解集.C.D.解：因为，所以.即，解得：，所以，故选 A.类型二：形如型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：或需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：例 2 不等式的解集为（ ）AB.CD.解：或或，故选

18、D类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐， 其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即：，或例 3 设函数，若，则的取值范围是 解：，故填：.类型四：形如型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：例 4 不等式的解集为 解：所以原不等式的解集为类型五：形如型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：，无解例 5 解关于的不等式解：（1） 当时，原不等式等价于：（2） 当时，原不等式等价于：（3） 当时，原不等式等价于：或或综上所述（1） 当时，原不等式的解集为：（2） 当时，原不

19、等式的解集为：（3） 当时，原不等式的解集为：类型六：形如使恒成立型不等式.解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即：；例 6 不等式对任意的实数恒成立，则实数 a 的取值范围是（）AB.C.D.解 ： 设函数所以而不等式对任意的实数恒成立类型七：形如故，故选择 A，1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集， 亦可集合图像进行求解.例 7 解不等式分析：找出零点：确定分段区间：解：（1）当时，原不等式可化为： 解得：因为，所

20、以不存在（2） 当时，原不等式可化为：解得：又因为，所以（3） 当时，原不等式可化为：，解得：又，所以综上所述，原不等式的解集为：2、特别地，对于形如，型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：或例 8 设函数（1） 若，解不等式（2） 如果求的范围解：（1） 当由得：即：或解得：，即：或故不等式的解集为：（2） 由得：即：或即：或因为恒成立，所以成立，解得：或故的取值范围为：绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减 小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可

21、能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样 化而忽略了数学的本质思想，那么就有点得不偿失了.第 5 关： 三角函数最值问题解题 9 法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。 这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角

22、函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一 配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是 2 时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。例 1 函数的最小值为（）.A2B .0C .D .6分析本题可通过公式将函数表达式化为，因含有 cosx 的二次式，可换元，令 cosx=t，则配方，得,当 t=1 时,即 cosx=1 时，,选 B.例 2 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值分析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的

23、名和角达到统一。二 引入辅助角法例 3 已知函数当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合。分析 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 型求解。解：三 利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例 4 求函数的值域分析 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为，可直接得到：或解法一：原函数变形为或例 5 已知函数，求函数

24、 f(x)的最小正周期和最大值。分析 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解：f(x)的最小正周期为，最大值为 。四 引入参数法（换元法）对于表达式中同时含有 sinx+cosx，与 sinxcosx 的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为 t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例 6 求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。分析解：令 sinx+cosx=t，则， 其中 当五 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑

25、常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例 7 求函数的最值。解：= 当且仅当即 时，等号成立，故。六 利用函数在区间内的单调性例 8 已知，求函数的最小值。分析 此题为型三角函数求最值问题，当 sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当 t=1 时，。七 数形结合由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例 9 求函数的最小值。分析 法一：将表达式改写成y 可看成连接两点 A(2,0)与点(cosx,sinx

26、)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求 y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点 A 的切线与半圆相切与点 B,则可求得所以 y 的最小值为（此时）.法二：该题也可利用关系式 asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有界性来求解。八 判别式法例 10 求函数的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：时此时一元二次方程总有实数解由 y=3，tanx=-1，由九 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例 11 设，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a).解：令 sinx

27、=t,则（1） 当，即在0，1上递增，（2） 当即时，在0，1上先增后减，（3） 当即在0，1上递减，以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。第 6 关： 求轨迹方程问题6 大常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2. 直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断

28、，但点 P 满足的等量关系易于建立， 则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数， 分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 xf（t），yg（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P'的坐

29、标，然后把 P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5. 几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含 参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程）， 该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

30、来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。 检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4. 求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身：1. P 是椭圆=1 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则 PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）A、B、C、D、=1【答案】：B【解答】:令中点坐标为,则点 P 的坐标为(代入椭圆方程得,选 B2.

31、 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（）ABCD【答案】：D【解答】:令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选 D3: 一动圆与圆 O：外切，而与圆 C：内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆【答案】：DD：双曲线一支【解答】令动圆半径为 R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选 D。4: 点 P(x0，y0)在圆 x2+y2=1 上运动，则点 M（2x0，y0）的轨迹是（）A.焦点在 x 轴上的椭圆B. 焦点在 y 轴上的椭圆C. 焦点在 y 轴上的双曲线D. 焦点在 X 轴上的双曲线【答案】：A【解答】:令 M 的

32、坐标为则代入圆的方程中得,选 A【互动平台】一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时， 要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点 C 的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲

33、线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式 1】: 1:已知圆的圆心为 M1，圆的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得：，。12动圆圆心 P 的轨迹是以 M 、M 为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 O：外切，而与圆 C：内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆

34、半径为 R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选 D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。全国高中资料启东中学资料共享群：700578906衡水中学资料共享群：720605560 共享群：765266758台州中学资料共享群：276463099雅礼中学资料共享群：915349821成都七中资料共享群：920385244 长郡中学资料共享群：310601280例 2：一条线段 AB的长等于 2a,两个端点 A和 B分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB中点 P的轨迹方程？ 解 设 M 点的坐标为由平几的中线定理：在直角三角形 AOB中，OM=M点的轨迹是以 O为

35、圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了 OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1） 代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方 法求其轨迹。2） 列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹 方程。3） 运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4） 借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股 定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质

36、等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式 2】: 动点 P（x,y）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即 ），求动点 P的轨迹方程？【解答】|PA|=代入 得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。【解析】分析 1：从运动的角度观

37、察发现，点 M 的运动是由直线 l1 引发的，可设出 l1 的斜率 k 作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。解法 1：设 M（x，y），设直线 l1 的方程为 y4k（x2），（k）M 为 AB 的中点，消去 k，得 x2y50。另外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2），满足上述轨迹方程； 当 k 不存在时，AB 中点为 M（1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k2 是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用 PAB 为直角三角形的几何特性：解法 2：设 M（x，y），

38、连结 MP，则 A（2x，0），B（0，2y），l1l2，PAB 为直角三角形化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析 3：设 M（x，y），由已知 l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 M（x，y），M 为 AB 中点，A（2x，0），B（0，2y）。又 l1，l2 过点 P（2，4），且 l1l2PAPB，从而 kPA·kPB1，注意到 l1x 轴时，l2y 轴，此时 A（2，0），B（0，4）中点 M（1，2），经检验

39、，它也满足方程 x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。【点评】1）解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了 kPA·kPB1，这些等量关系用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式 3】过圆 O：x2 +y2= 4 外一点 A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹解法一：“几何法”设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 BC

40、的中点，所以 OMBC,所以|OM | | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16化简得：（x2）2+ y2 =4由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M 的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线 AB 的方程为 y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0 (*),由点 M 为 BC 的中点，所以 x=.(1) , 又 OMBC，所以 k=(

41、2)由方程（1）（2）消去 k 得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.所以点 M 的轨迹方程为（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 4.轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。【解析】设动点 M 的坐标为（x，y），而设 B 点坐标为（x0，y0）则由 M 为线段 AB 中点，可得即

42、点 B 坐标可表为（2x2a，2y）【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式 4】如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90°，求矩形 APBQ的顶点 Q 的轨迹方程【解析】： 设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR|又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理在RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上

43、运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=,代入方程 x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程【备选题】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I） 若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II） 在 轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解：由条件知，设，解法一：（I）设，则 则，由得即QQ 群：238455466于是的中点坐标为当不与 轴垂直时，即 又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当

44、与 轴垂直时，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是（II）假设在 轴上存在定点，使为常数当不与 轴垂直时，设直线的方程是 代入有则是上述方程的两个实根，所以， 于是因为是与 无关的常数，所以，即，此时=当与 轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与 轴垂直时，设直线的方程是 代入有则是上述方程的两个实根，所以由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与 轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II） 假设在 轴上存在定点点，使为常数，当不与 轴垂直时，由（I）有， 以上同解法一的（II）【误区警示】1.

45、 错误诊断【例题 5】中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，求点 A 的轨迹方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则由定义可知，则，得轨迹方程为【错因剖析】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。【正确解答】ABC 为三角形， 故 A， B， C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点， 即轨迹方程为2. 误区警示1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后， 应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外， 要将其“捉拿归案”

46、。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。【课外作业】【基础训练】1: 已知两点给出下列曲线方程： ； ； ； ，在曲线上存在点 P 满足的所有曲线方程是（）ABCD【答案】:D【解答】: 要使得曲线上存在点 P 满足,即要使得曲线与 MN 的中垂线有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选 D2. 两条直线与的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消去参数即得(交轨法):3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹

47、方程是 .【解答】:令 M 点的坐标为(,则 A 的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4:当参数 m 随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为 。【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数 m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数 m 得：故所求动点的轨迹方程为。5:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为 。【分析】：点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线的距离小 1，意味着点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程。【解答】

48、：依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点 M 的轨迹是以 F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。6:求与两定点距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为 【分析】:设动点为 P，由题意，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：化简得：7 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点 C 在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。【分析】：抛物线的焦点为。设ABC 重心 P 的坐标为，点 C 的坐标为。其中【解答】：因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：（【能力训练】8. 已