高等数学数试题(含解答)

1、08-09-3高数A（期中）试卷参考答案09.4.17一填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1交换积分次序0-2dyy+20f(x,y)dx+dy040f(x,y)dx=dx24-x2x-2f(x,y)dy；2设ez-1=0，则Rez=，Imz=-+2k,k=0,±1,±2, ；3设z=z(x,y)是由方程y+z=xf(y2-z2)所确定的隐函数，其中f可微，则全微分dz=f2xyf'-1dx+dy；1+2xzf'1+2xzf'4设C为由x+y=与x轴,y轴围成的三角形的边界,5设f(x,y)连续，D=(x,y)0x1,0yxeCx+yd

2、s=e+2)-22，且f(x,y)=xy+f(x,y)dxdyD则Df(x,y)dxdy= 二单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）xy,(x,y)(0,0)226函数f(x,y)=x+y在点(0,0)处 C 0,(x,y)=(0,0)(A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在7设D=(x,y)x+y1,D1为D在第一象限部分,则下列各式中不成立的是 B （A）22Dxdy=4xdy （B）xydxdy=4xydxdyD1DD1（C）322332（D）(x+xy)dxdy=0xydxdy=xydxdy DDD8设f(t)

3、C0,+),I(R)=x2+y2+z2R2f(x2+y2+z2)dv,则当R0+时,I(R) D （A）是R的一阶无穷小 （B）是R的二阶无穷小共 5 页 第 1 页（C）是R的三阶无穷小 （D）至少是R的三阶无穷小9设f(x,y)在原点的某邻域内连续，且limf(x,y)-f(0,0)=a>0，则 B x0x2+1-xsiny-cos2yy0（A）f(x,y)在原点处取得极大值 （B）f(x,y)在原点处取得极小值（C）不能断定f(x,y)在原点处是否取得极值 （D）原点一定不是f(x,y)的极值点三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10计算二重积分2x+3y22D

4、=(x,y)x+y1,x+y1. ，其中d22x+yD12x+3y5x+y552解 2d=d=d(cos+sin)d=5- 12220x+y2Dx+y24cos+sinD11计算曲面积分的表面. (z+y)dA，其中是由z=0,z=1与z2+1=x2+y2所围成的立体x2+y21x2+y22x2+y2=1+z21x2+y22解 1:，2:，3:，D: z=0z=10z1z=0(z+y)dA=zdA=zdA+zdA+zdA=2+123Dxdy=2+212求5d= 3 x2dydz+ydzdx222，其中为圆柱体y+zR， xR(R>0)的表面，222x+y+z取外侧.222y2+z2R2y

5、2+z2R2y+z=R解 1:取后侧，2:取前侧，3:取外侧，x=-Rx=RxRDzx=(z,x)zR,xR， x2dydz+ydzdxR2dydzR2dydzydzdx =+22222222222x+y+zR+y+z2R+y+zx+R13共 5 页 第 2 页=0+2DzxR2zdx=x2+R2213求由曲面x2+z=1,y2+z=1和z=0所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标. 解 由对称性知x=y=0， 质量m=810dx(1-x2)dy=2，01-x2x对xOy平面的静力矩Mxy=810dxdyxzdz=M21， z=xy= 3m32另解 x=y=0，用切片法z=Mxym=zdz012

6、(1dz1= 314已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=2xy+和f'(i)x,求f(z)的表达式（用变量z表示）x2+y2vu12y2y2=2y-2+v=y-+(x)， 解 ，222222x+yyxx+y(x+y)v2xyu2xy2'=+(x)=-=-2x+，(x)=-x-C， 222222x(x+y)y(x+y)f(z)=1-i(z2+C)， f'(i)=3 zy2-x22xy另解：因为解析，所以f'(z)=ux-iuy=(2y+2)-i(2x-) 22222(x+y)(x+y)从而f'(z)=-11-i2zf(z)=-iz2+C 2zz2222

7、22四（15）（本题满分8分）求函数u=x+2y+3z在球面x+y+z=1和平面x+y=0的交线上的最大值与最小值.解 首先根据条件得u=x+2y+3z=3-y-2x=3-3x3，且在点(0,0,±1)2222221-z233处，umax=3，继续由条件得u=3(x+z)=3 +z2=(1+z2)，且在点22222共 5 页 第 3 页3u=处， min 2x+y-2=0五（16）（本题满分8分）试求过直线，且与曲面z=x2+y2相切的平x-5y-z-3=0面方程.解 设过直线x+y-2=0的平面方程为(1+)x+(1-5)y-z-2-3=0， x-5y-z-3=0(1+)x0+(1

8、-5)y0-z0-2-3=0(1)2y012x设切点为(x0,y0,z0)，则0= =(2)1+1-522(3)z0=x0+y01+1-5(1+)2+(1-5)2,y0=由（2），（3）解得x0=，z0=， 22242代入（1）得7-8+1=0，解得1=1,2=1，从而两切平面方程分别为 72x-4y-z-5=0和8x+2y-z-17=0。22f2f六（17）（本题满分8分）设ab0,f(x,y)具有二阶连续偏导数，且a+b=0 x2y22,f(ax,bx)=ax，fx(ax,bx)=bx2，求fxx(ax,bx)，fxy(ax,bx)，fyy(ax,bx). 解 对f(ax,bx)=ax的等号两端关于x求导，得afx+bfy=a，（1）对fx(ax,bx)=bx2的等号两端关于x求导，得afxx+bfxy=2bx，（2）对（1）式的等号两