中考数学几何之辅助线的添加

1、中考几何题之辅助线的添加精华讲述辅助线的添加【知识要点】平面几何是中学数学的一个重要组成部分, 证明是平面几何的重要内容。 许多初中生对几何 证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策。在这里我们介绍 " 添加辅 助线 " 在平面几何中的运用。一 、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的 可向两边作垂线。 可作平行线,构造等腰三角形 在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形2. 与线段长度相关的 截长:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它 和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 补短:证

2、明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得 延长的部分等于另外一条较短的线段, 再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即 可得到全等三角形。3. 与等腰等边三角形相关的 考虑三线合一60二 、四边形. 在解决一些和四边形有关的 问题时往往需要添加辅助线 .1它有许多可以利用性质, 为了利用这些性质往往需 要添加辅助线构造平行四边形 . . 利用一组对边平行且相等构造平行四边形.利用两组对边平行构造平行四边形.利用对角线互相平分构造平行四边形2、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线, 借助菱形的判定定理或性质定定理 解决问

3、题 . . 作菱形的高;.连结菱形的对角线 .3、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种: . 计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;.证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题 . 和矩形有关的试 题的辅助线的作法较少 .4、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题中考几何题之辅助线的添加精华讲述较多 . 解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线 . 5、与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的 . 主要涉及以下几种类型:(1

4、作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;(2作梯形的高,构造矩形和直角三角形;(3作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;(4 延长两腰构成三角形;(5作两腰的平行线等 .三 、圆1.遇到弦时(解决有关弦的问题时常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径或再连结过弦的端点的半径。作用: 利用垂径定理; 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。2.遇到有直径时常常添加(画直径所对的圆周角。作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3.遇到 90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用:利用圆周角的性

5、质,可得到直径。4.遇到弦时作用:可得等腰三角形;5.遇到有切线时(1作用:利用切线的性质定理可得 OA AB ,得到直角或直角三角形。(2常常添加连结圆上一点和切点作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。6.遇到证明某一直线是圆的切线时(1 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。 作用:若 OA=r,则 l 为 切线。(2 若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径 作用:只需证 OA l ,则 l 为切线。(3 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7. 遇到两相交切线时(切线长常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用:据切线长及其它性质,可得到: 角、线段

6、的等量关系; 垂直关系; 全等、相似三角形。中考几何题之辅助线的添加精华讲述8.遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。作用:利用内心的性质,可得: 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线; 内心到三角形三条边的距离相等。9.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用:外心到三角形各顶点的距离相等。10.遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。作用:利用切线的性质; 利用解直角三角形的有关知识。11.遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用: 利用连心线的性质、解直角三

7、角形有关知识; 利用圆内接四边形的性质; 利用两圆公共的圆周的性质; 垂径定理。12.遇到两圆相切时常常作连心线、公切线。作用: 利用连心线性质; 切线性质等。13. 遇到三个圆两两外切时常常作每两个圆的连心线。14常常添 加辅助圆。作用:以便利用圆的性质。【历年考卷形势分析及中考预测】平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容,其题目的灵活性远远是代数题目所不能比 拟的,从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题,出题范围极为广 泛,难易程度差距较大,对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近 6年广州市 的中考试题, 分值分布大约在 60分左右, 其中简单的题目大约占 43分,

8、 其余的 17分较难, 每年必有一道几何压轴题,分值 14分,经常和实际问题,动点问题及函数问题结合,难度 较大,应引起同学们的高度重视。题目难主要难在辅助线的添加,尤其像特殊四边形及圆中的问题,从中考考纲来看, 2011年广州市中考命题,同往年相比,变化不大,压轴题中可能会以三角形或四边形结合 动点问题给出,或者以圆中相关知识为背景,结合动点,函数问题给出,区分度较大。【考点精析】考点 1. 三角形:例 1 如图, AB=CD, E 为 BC 中点, BAC= BCA ,求证:AD=2AE。中考几何题之辅助线的添加精华讲述 例 2 如图, AB>AC, 1= 2,求证:AB -AC&g

9、t;BD-CD 。例 3 如图 9 5,设 O 是正三角形 ABC , BOC=125°。求以线段 OA , OB , OC 为边构成的三角形的各角。例 4如图所示, ABC 是边长为 4的正三角形, BDC 是顶角 BDC=120°的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60°的角,角的两边分别交 AB , AC 于 M , N 两点,连结 MN ,求 AMN 的周长 .【 举一反三 】1、如图, AB=6, AC=8, D 为 BC 的中点,求 AD 的取值范围。 C B 图 9 5 C 中考几何题之辅助线的添加精华讲述 D2、如图, BC>BA, BD 平

10、分 ABC ,且 AD=CD,求证: A+ C=180。AB D C3. 如图 9 21, 设 O 是正三角形 ABC 内一点, BOC=135°, 求以线段 OA 、OB 、 OC 为边构成的三角形的各角。 图 9 21考点 2. 四边形:例 5 如图 1, 已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点, 四边形 OCDE 是平行四边形 . 求证 :OE与 AD 互相平分 . 例 6 如图 3,已知 AD 是 ABC 的中线, BE 交 AC 于 E ,交 AD 于 F ,且 AE=EF.求证 BF=AC. 中考几何题之辅助线的添加精华讲述 例 7如图 7,已知矩形

11、ABCD 内一点, PA=3, PB=4, PC=5.求 PD的长 .例 8 如图,在正方形 ABCD 中, BCE是正三角形,求 AED的度数 例 9 如图, AB CD , M 、 N 分别为 AD 、 BC 中点, MN 交 AC 、 BD 于 G 、 H 点。求证:GH= 12(CD -AB BD中考几何题之辅助线的添加精华讲述【 举一反三 】1. 如图 2,在 ABC 中, E 、 F 为 AB 上两点, AE=BF, ED/AC, FG/AC交 BC 分别为 D , G. 求 证 :ED+FG=AC.2. 如图 6,四边形 ABCD 是菱形, E 为边 AB 上一个定点, F 是

12、AC 上一个动点,求证 EF+BF的最 小值等于 DE 长 . 中考几何题之辅助线的添加精华讲述 3.如图:正方形 ABCD , AE+CF=EF,求证:=45EDF4、 如图,已知梯形 ABCD 中, AD =1. 5cm , B C=3. 5cm ,对角线 AC BD ,且 BD=3cm, AC=4cm,求梯形 ABCD 的面积。 考点 3. 圆:例 10 (2010江苏泰州, 18O 的半径为 1cm , 弦 AB 、 CD,1cm , 则试求弦 AC 、 BD . 例 11 (2010年安徽芜湖市 如图所示,在圆 O 内有折线 OABC ,其中 OA =8, AB =12, A = B

13、 =60°,试求 BC 的长为 .A EBFC D中考几何题之辅助线的添加精华讲述例 12. (2010山东临沂如图 , A B 是半圆的直径 , O 为圆心 , A D 、 B D 是半圆的弦,且 P D A P B D =.(1判断直线 P D 是否为 O 的切线,并说明理由; (2如果 60B D E =, P D =P A 的长。 例 13. (2010江苏宿迁 (本题满分 10分如图, AB 的直径, P 为 AB 延长线上任意 一点, C 为半圆 ACB 的中点, PD 切 O 于点 D ,连结 E .求证:(1 PD =PE ;(2 PB PA PE =2.【 举一反三

14、 】 1.(番禺一模已知:如图 12,在 R t A B C 中, 90C = ,点 O 在 A B 上,以 O 为圆心, O A 长为半径的 圆与 A C A B , 分别交于点 D E , ,且 C B D A =. (1判断直线 B D 与 O 的位置关系,并证明你的结论; (2若 2A D B D =,求 O 的面积.PAEODA中考几何题之辅助线的添加精华讲述 2. (天河一模如图,在 Rt ABC 中, ACB =90°, AC =5, CB =12, AD 是 ABC 的角平分线, 过 A 、 C 、 D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E ,连接 DE 。 (1求证:A

15、C =AE ; (2求 ACD 外接圆的半径。3.(荔湾十校一模如图,已知 AB 为 O 的弦, C 为 O 上一点, C = BAD , 且 AB 于 B . (1求证:AD 是 O 的切线; (2若 O 的半径为 3, AB=4,求 AD 的长 .综合例 14. (2010宁夏回族自治区 在 ABC 中, BAC =45°, AD BC 于 D ,将 ABD 沿 AB 所在 的直线折叠,使点 D 落在点 E 处;将 ACD 沿 AC 所在的直线折叠, 使点 D 落在点 F 处, 分别延长 EB 、 FC 使其交于点 M .(1判断四边形 AEMF 的形状,并给予证明. (2若 B

16、D =1, CD =2,试求四边形 AEMF 的面积.ABCD中考几何题之辅助线的添加精华讲述 例 15（2010 河北）观察思考 河北） 滑道 滑块 某种在同一平面进行传动的机械装置如图 14-1，图 14-2 是它的示意图其工作原理是：滑块 Q 在平直滑道 l 上可以 左右滑动，在 Q 滑动的过程中，连杆 PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动在摆动过程中，两连杆的接点 P 在以 OP 为半径 连杆 的O 上运动数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点 O 作 OH l 于点 H，并测得 OH = 4 分米，PQ = 3 分米，OP = 2 分米 C

17、图 14-1 解决问题 （1）点 Q 与点 O 间的最小距离是 点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米； 分米； A O E 点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米 （2）如图 14-3，小明同学说：“当点 Q 滑动到点 H 的位 置时，PQ 与O 是相切的”你认为他的判断对吗？ 为什么？ （3）小丽同学发现：“当点 P 运动到 OH 上时，点 P 到 l 的距离最小”事实上，还存在着点 P 到 l 距离最大 的位置，此时，点 P 到 l 的距离是 分米； 当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数 B D H Q l

18、P O H （Q） 图 14-2 l P O 图 14-3 【举一反三】 】 11 中考几何题之辅助线的添加精华讲述 1.（2010 年宁德市）（本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、 CM. 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小； N A D 当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； E M 当 AMBMCM 的最小值为 3 + 1 时，求正方形的边长. B C 12 中考几何题之辅助线的添加精华讲述 2（广雅一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0）， C 点坐标为（0，6），D 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合）如图,将COD 沿 OD 翻折， 得到FOD；再在 AB 边上选取适当的点 E，将BDE 沿 DE 翻折，得到GDE，并使直线 DG，