抛物线的几个常见结论及其应用

1、欧阳家百创编抛物线的几个常见结论及其应用欧阳家百（2021.03. 07）抛物线中有一些常见.常用的结论，了解这些结论后在做选择 题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开 思路。结论一：若AB是抛物线'亠2刃（卩0）的焦点弦（过焦点的弦）,且=£ 、A（xd） B/,）气 贝y：小一丁，y1y2=-/o1 1例：已知直线AB是过抛物线2.心0）焦点f,求证：R'R 为定值。结论二： 若AB是抛物线宀2吨0）的焦点弦，且直线AB的9 p倾斜角为0C,则皿=晟 （«=#O） o （2）焦点弦中通 径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。例：已知

2、过抛物线y2=9v的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为。AB倾斜角为亍或亍。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相 切。（2）过抛物线焦点弦的两谎点向准线作垂线，以两垂 足为直径端点的圆与焦点弦相切。例：已知AB是抛物线）12网0）的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。欧阳家百创编为直径的圆与直线AB相切。结论四：若抛物线方程为心2网卩>0),过(2P, 0)的直线与之交于 A. B两点，则OA丄OB。反之也成立。x = 2 ph结论五：对于抛物线其参数方程为八2卅设抛物线 巧上动点P坐标为(2"2用)，。为抛物线的顶点，显然

3、k =型“"2以,艮”的几何意义为过抛物线顶点。的动弦纱的斜率.例 直线 >'亠与抛物线宀2"(p>0)相交于原点和A点，为抛物线 上一点，少和OA垂直，且线段肚长为5伍，求P的值._ 1 _ 1解析：设点A 分别为(2冷2皿)，(2能,2皿),则"厂 ,5 = 7 = S = 一2kobA 的坐标分别为誇，pj,(8p,-4p)=+(/? + 4p)2 =1713 = 5/13 p = 2 练习：i过抛物线心0)的焦点尸作一直线交抛物线于只°两点，若线 丄+丄丄+丄皿段M与皿的长分别是则“心故“彳12设抛物线y2"(p&g

4、t;0)的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于 A 两点点C在抛物线的准线上，且眈 x轴.证明直线M经过 原点。Hp o_ p【证明：抛物线焦点为 迈丿.设直线加的方程为x=,wv+2，代入欧阳家百创编抛物线方程，得八2陀-宀0 .若设心，胁Bg >,）,则 k =艺）小"-BC/X轴，且点C在准线<（，-V.；k =21日又由y；=2pXi，得兀"， 故咯*。,即直线AC经 过原点。13.己知抛物线的焦点是F），准线方程是x+y+2“，求抛物线的方 程以及顶点坐标和对称轴方程.【解：设PS"）是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得 如_1）2+（）,

5、_1）丁2|整理，得宀八2叶弘-8尸0,此即为所求抛物线的方程.抛物线的对称轴应是过焦点F（,4）fi与准线卄尸2 = 0垂直的直 线，因此有对称轴方程设对称轴与准线的交点为M,可求得M（7-1）,于杲线段倂的中 点就是抛物线的顶点，坐标是©°）】备选1.抛物线的顶点坐标是A（L0准线/的方程是"2厂2 = 0,试求该抛 物线的焦点坐标和方程.解：依题意，抛物线的对称轴方程为2"厂2 = 0 .设对称轴和准线的交点杲M,可以求得乜5丿.设焦点为FiVF,则FM的中点是A,故得焦点坐标为X'5丿.再设P3y）是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得欧阳家百创编fx一纤 +y一斗"FT即为W 5丿 V 5)75化简整理得 4x2 + r+4-4.r-12y = 0所求抛物线的方程.例2己知