数学奥林匹克高中训练题(168)

1、 4 6 中 等 数 学 0 F O F + = . h I . D F + d 、 l ( + ( E F , - l = b 0 E m 0 D m _ 2 - = - ( 0 E 1 S 0 爹 + + l + k - - 2 + h - l U f + 三 a 令r 1 = 2 a m + 2 a m _ + 1 十之 + a ( n m - I + 0 其中 , a m # 2 = ( 1 0 m . + 2 此时 , 2 矣 + 2 m , + 1 2 , 所以 = , l o g 2 e r = m ( . n - m - - 1 ( e r - m - 1 = 0 . 若k n

2、 务 1 m 则 l 四 设 n 个 点 按逆 时针 方 向 编号 为 、 1 1 , 2 - , , + 2 a r n ? . 对 固定 的 “ 1 , n , 记第 | k 次染 色 的 点 的 编 号为 = 1 a k * 2 2 + 2 = I 1 , 2 2 ( 2 , . , 称 春 = ! 2 . , 为 染色 麵 此时 一 , 舌 A = + + = “ 1 不妨 设 ? - 1 . 则 = 4 1 O = j 3 , O 3 = 6 , a 0 , 若 | r m 1 , 则 - 注意 到 染色数 列 是二 阶 等 差 数列 即 , , - Y - = = r y e o

3、, | , = 1 + 2 + ? ? ? + k , 其 中 编 号 在模 意 义 下 此时 . # 若 A : + = a ( 1 显然 第 , k 次染 色 后 k 个点 均 为 白 m , 则 “ 色 等 价 于染 色 数列 的 前 , 项 中 每 个数 出 现 W = r 的 次 数均 为 偶数 2 . J I 2 2 J 分别 考 虑 列如 表 1 : n = 2 , 3 , 的情形 各 染色 数 , a - - a - + . i 1 1 l n - = w 若 A : 矣 m l , 于是 表 , 1 最小 - 券 士 0 a t ? - 4 n 2 l f 3 a 5 a 6

4、 A ? l f 9 I 0 次数 2 1 3 1 2 = S = t k + a t 1 _ . , 3 1 3 6 三3 0 = 1 4 k 4 1 3 6 2 1 0 = 2 t 5 s 3 n 莒 1 6 5 1 3 6 = 1 1 0 5 1 5 = 5 n 三 1 坊昱 3 5 6 ? 1 8 = I = e t ? . - _ 士 + 卜 E t 6 - 1 3 6 = 6 1 0 M 1 5 = 3 M S 3 2 8 M J 6 s 6 1 5 3 5 s l 1 0 i 由 此 猜想 , n 个点 时 经过 , . r = 2 r e - 2 次 ? . S t = l -

5、 2 k t a , + a t . l 1 ? ( = 染 色 全变 成 白 色 , 1 w t B I - 1 i n = ? - m - i 、 + 2 S t s l 2 l x 下面 通 过 配 对 的 方法 证 明 1 : + X = ? - * - i i s k l i D s l 在前 1 2 n - 2 次 染色 中 第 , k 次与 第 , I n - = a m m ( 2 - 2 + 2 = t * ( 1 2 l + S k l - a k - ( 1 “仙 - 1 次染 同 一 个 点 从 而 每个 , 点 均被染 偶 数次 包 括 0 次 ( , 均变 为 白

6、色 . = E 1 2 0 a , m - l = n - m = 事实 上 a 2 n - , 故 游 - 士 = l ( 2 / i 1 A : ( 2 一 一 / i 1 左 + 1 k 1 2 0 1 3 年第 8 期 4 7 本 期 麻 通 . 高35 2 巳知 a 、 6 、c 是满足 o & C = l 的正 数 证明 高 3 S 1 : 如图 B C 1 , 不等边 厶 、 A B C 的内切 D ( 、 圆 分别 与 三 边 、 CA A B CA 切 于点 a - l E , 、 F ( C + c l | ( b - l ( a + a l , 1 + 6 c + 1 +

7、 c a + H 、 C 分 别 是边 D . B C E 、 A B 的中点 E F / 、 、 f 、 分别 为点 、 F 在厶 D 的边 E F ( 、 c - l ( b + l 务0 . ? ? 0 ? 上 的 射 影 证明 厂三 1 + a b + b 线 共点 高 A x 3 5 3 设p 是 2 一 个 奇 素 数 证 明 方程 . : + 2 y = p 有解 当 且仅 当 P 除 以 高354 8 的 余 数是 1 或 3 . 将 正A A S C 的 各 边 四 等 分 过每 , , 个分点 分 别 作 另 外 两 边 的 平 行 线 称 A 的 边 及 这 些 平 行

8、线 所交 出 的 1 # C 5 个 点为格点 一 , 在这 1 5 个格 点 中 任 取 n 个格 点 , 定存 在 三 ( 2 n - 1 - k ( 2 n - k = n ( 2 n - 1 = o 2 n . , ( m o d n . 考虑 前 k ( 2 - / i 2 次 染 色 中 染 色 的 总次 数 ? , k + l : a k ( m o d n . 发 现 至 少有 由 2 r a 2 n - 一 个 点 未染 色 k ( . ( 2 m 对任何 正整 数 = , n , 均不存在 正 整 数 . ( 1 , 知第 l 彡 k 一 矣 n - 1 次与第 , l -

9、 k m , 使 次染 色后 全 部变 黑 a 2 ? 次染色 的 是同 , 个点 于 是 在前 , - 2 首先 ( + j c f ( a o d r , 即 染色数 列 , 次染 色 中 被 染 过 色 的 点 均 至 少 染 过 . 两 次颜 色 从 而 至 多 有 , n - 1 个点 被 染 过 颜 , 关于模 s 2 n /i 是以 m d a r 2 / 1 为周 期 的 周 期 数列 且 即第 . 色 即至少有 , 一 个 点 从 未 被染 过 色 故 前 . - a a 2 n - i ( ( 2 n 次 与第 2 n - l 次 2 n - 2 次染 色 中 不 可 能 出 现全 黑 的情 形 - 染 色 的是 同 事 实上 a 2 n - 一 个点 + 而第 2 n 2 次染 色后全 白 故 第 , , 1 次 , , 染 色后 只 有 2 /i 一 t 黑子 又 . 、 , = ( h n - ( m o d n ( / c ( 2 r e + A + l 第 次染 色 后 全 白 于 是 前 可 能 出 现全 黑 的 情形 2 / i ,