第三章 离散时间系统的变换域分析

1、2 3 45( )( )* ( )( )( )( )( )( )( )Zy nx nh nY zX z H zY zH zX z 变换 H(z) 60000( )( )( )( )(3.2)( )MrrNMkrrkrNkkrkkbzY zY za zX zbzH zX za zn可见，可见，H(z)与与h(n)是一对是一对z变换变换 MrrNkkrnxbknya00)()( )Z ( )( )nnH zh nh n z7n单位脉冲响应单位脉冲响应h(n) : ( )( )* ( )y nx nh n n差分方差分方程程: : MrrNkkrnxbknya00)()( )Z ( )( )nnH

2、zh nh n z8因果离散时间系统的差分方程因果离散时间系统的差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)= x(n)+2x(n-1)，求单位脉冲响应，求单位脉冲响应h(n)。 121( ) 3( ) 2( )( ) 2( )Y zz Y zz Y zX zz X z展开为部分分式展开为部分分式 12122( )122( )( )1 3232Y zzzzH zX zzzzz 3412zzH zzz( )( 3 4 2 ) ( )nh nu n h(n)为因果序列。对为因果序列。对H(z)取逆取逆z变换，得变换，得 9 1111(1)( )(3.4)(1)MrrNkkc zH zAd z

3、10n 若有若有d=，则分母多项式中有因子，则分母多项式中有因子(z-)，所，所对应的单位脉冲响应序列形式为对应的单位脉冲响应序列形式为n 若有若有 ，则，则D(z)有因子有因子 ，所对应的单位脉冲响应序列形式为所对应的单位脉冲响应序列形式为 ，其，其中中K，为常数，与零点的分布有关。为常数，与零点的分布有关。 ( )nKa u njea222coszazacos() ( )nKanu n11 12n 若有若有d=，则分母多项式中有因子，则分母多项式中有因子(z-)，所对应的单位脉冲响应序列形式为所对应的单位脉冲响应序列形式为 n 若有若有 ，则所对应的单位脉冲响应序列，则所对应的单位脉冲响应

4、序列形式为形式为 ，其中，其中i= 0，1，2，r-1。 ( )iniK n a u njeacos() ( )iniK n anu n1314n一个因果稳定系统的系统函数一个因果稳定系统的系统函数H(z)的收敛域必须在某个圆的收敛域必须在某个圆的外部，该圆经过的外部，该圆经过H(z)的离原点最远的极点，而且收敛域的离原点最远的极点，而且收敛域必须包含单位圆。必须包含单位圆。 15 112112( )31148zH zzz111111()22( )1111(1)(1)()()4242zz zH zzzzz16n 如果收敛域是极点如果收敛域是极点-0.5所在的圆的外部区域，收敛域所在的圆的外部区

5、域，收敛域包含包含点，有点，有 ，因此系统是因果的。系统函数，因此系统是因果的。系统函数的收敛域为的收敛域为0.5|z|+ ，而且包含单位圆，所以对应系，而且包含单位圆，所以对应系统是稳定的。统是稳定的。n 如果收敛域是极点如果收敛域是极点-0.25所在的圆的内部区域，所在的圆的内部区域，有有 ，因此系统是逆因果的，收敛域为，因此系统是逆因果的，收敛域为0|z|0.25。收敛域不包含单位圆，所以对应系统不是稳定的。收敛域不包含单位圆，所以对应系统不是稳定的。n 如果收敛域是极点如果收敛域是极点-0.25和和-0.5所在的两个圆之间的环所在的两个圆之间的环域，即域，即0.25|z|0.5，收敛域

6、不包含，收敛域不包含点，单位圆也没有点，单位圆也没有位于收敛域内，所以对应系统是非因果且不稳定的。位于收敛域内，所以对应系统是非因果且不稳定的。lim( )1zH z0lim( )0zH z1718j ()jj( )( )( )( )ee(e )(3.7)n knky nh nx nh kHj-j(e )( )e(3.8)kkHh k 19 j-jj1e-j1(1e)(e )( )|(3.9)(1e)MrrNzkkcHH zAd20 jjjRI(e )(e )j(e )HHHjjjjarg(e)(e ) |(e )|eHHHj2j2jRIjjIjR|(e )|(e )(e )(e )arg(e

7、 )=arg(e )HHHHHH的幅度响应和相位响应的幅度响应和相位响应 21 00j-jj-j0( )cos()e eee22nnAAx nAn00jjj1( )(e)e e2nAy nH00-j-j-j2( )(e)ee2nAy nH00000jj-j-jj-jj0( )(e) e e(e) ee2(e)| cos()nnAy nHHA Hn22n根据式根据式(3.9)得知，系统的频率响应完全由得知，系统的频率响应完全由H(z)的零、的零、极点确定。由式极点确定。由式(3.9) 得系统的频率响应得系统的频率响应 jjj()1j1(e)(e)e(3.14)(e)MrNMrNkkcHAdjek

8、kkBBrjerrAA 23 rj( )jj ()jj ( )1j( )1e(e )e|(e )| e(3.15)ekMrN MrNkkAHAHB 11( )()( )( )(3.17)MNrkrkNM j11|(e )|(3.16)MrrNkkAHAB 2425 2627 ( )1NH zz 1( ) 1NNNzH zzz 2811( )1apzaHzaz （3.18）-jjj-j-j-je1e(e )e1e1eapaaHaa （3.19） 1201212120( )1NN iNNNiiNapNNiNiia zza za zaHza za za za z (3.21）11111111()()

9、( )1(1)(1)krMMkkrapiirkkzezezdHzd ze ze z （3.20） 29 2224( )1124zzH zzz2224( )4421zzH zzz jj331,21,21311j 32e,je442cd j22jjj22jjejjjj24e2e4(e )444214e2e1e2 4e(5cos2)j3sin444e2 e(5cos2)j3sinzzzHzz j3sin|(e )| 4,( )2arctan5cos2H 3031 101101( )( )(3.29)( )MMNNbb zb zB zH zA zaa za z 32 11221.5( )10.5zH zzz3334 ,03( )0,nnx n其它 1121232( )( )( )( )(20.25)1 0.750.250.1875( )zB zY zH z X zzzzzzA z12