柱面坐标系利用柱面坐标计算三重积分球面坐标系利用球面坐

1、柱面坐标系利用柱面坐标计算三重积分球面坐标系利用球面坐的柱面坐标的柱面坐标M M就叫点就叫点z z, ,r,r,个数个数，则这样的三，则这样的三r,r,的极坐标为的极坐标为P P面上的投影面上的投影xoyxoy在在M M为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点z)z)y,y,M(x,M(x,设设,0 r,20.z规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr注意：柱面坐标系就是平注意：柱面坐标系就是平面极坐标系加上面极坐标系加上z轴轴.一 柱面坐标系.,sin,coszzryrx柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为柱面坐标系的三坐标面是柱面坐标系的三坐标面是为常数为常数r r圆

2、柱面圆柱面；为常数为常数半平面半平面；为为常常数数z z平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo zzxyyxrtan22或或二 利用柱面坐标计算三重积分dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd利用柱面坐标系的三组坐利用柱面坐标系的三组坐标面来分割积分区域，如图标面来分割积分区域，如图，,dzrdrddv体积元素为体积元素为所所以以为为棱棱的的长长方方体体体体积积，近近似似等等于于以以所所围围成成的的小小柱柱体体的的体体积积和和，和和和和由由zrrzzzrrr, 例例1 1 计算计算zdxdydzI，其中，其中是球面是球面 4222

3、zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体. 解解zrzr34222, 3, 1 rz球面与抛物面交线为球面与抛物面交线为23242030rrzdzrdrdI.413.20, 3043:22rrzr，把闭区域把闭区域投影到投影到xOy面上面上解解所围成的立体如图，所围成的立体如图， dxdydzyxz22 2计计算算例例由由圆圆锥锥面面其其是中 ,所所围围成成的的区区域域。与与1222 zzyx , 1:22 yxD222zyx, rz ,20, 10, 1: rzr 110220rzdzdrrd 1022)21(2drrr.152 dzdrdzr2 dxdydzyxz22所以所

4、以Pxyzo),(zyxMr zyxA三 球面坐标系的球面坐标的球面坐标M M就叫做点就叫做点，r，r，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三xoyxoy在在M M为点为点P P的角，这里的角，这里OPOP转到有向线段转到有向线段轴按逆时针方向轴按逆时针方向x x轴来看自轴来看自z z为从正为从正z轴正向所夹的角，z轴正向所夹的角，OM与OM与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，M M与点与点O O为原点为原点r r定，其中定，其中来确来确，r，r，可用三个有次序的数可用三个有次序的数M M为空间内一点，则点为空间内一点，则点z)z)y,y,M(x,M(x,设设,r 0.20 ,

5、0 规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为为常数为常数r r为常数为常数为常数为常数圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则四 利用球面坐标计算三重积分dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2ddrdrdv d

6、rxyzodr dsinr rd d d sinr解解 由锥面和球面围成由锥面和球面围成， 采采用用球球面面坐坐标标， 由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar与与 22222azyx 例3 计算计算,zdv其中其中是是所围成的立体所围成的立体.22yxz zdvadrrrdd2022040sincosad2040|41cossin242a解 cos2cos32020sin drrddI23204sincos215d例例 4 4 计算计算dvzyx222, ,其中其中由由zzyx222和和zzyx2222所围空间闭区域所围空间闭区域 为20,20, cos2

7、cosr 例例 5 5 计计算算 dxdydzyxI)(22，其其中中是是锥锥面面222zyx， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标 az ,cosar 222zyx,4,20,40,cos0:ardxdydzyxI)(22drrdda40cos03420sinda)0cos(51sin255403.105a解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 dxdydzyxI)(22aradzrrdrd2020adrrar03)(254254aaa.105a ,:222ayxD 222zyx, rz ,20,0,:arazr补充：利用对称性化简三重积分计算

8、使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性； 一一般般地地，当当积积分分区区域域 关关于于xoy平平面面对对称称，且且被被积积函函数数 ),(zyxf是是关关于于 z的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数 ),(zyxf是是关关于于 z的的偶偶函函数数， 则则三三重重积积分分为为在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍. . 、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的奇偶性的奇偶性例例 6 利利用用对对称称性性简简化化计计算算 d

9、xdydzzyxzyxz1) 1ln(222222 其其中中积积分分区区域域1| ),(222zyxzyx. . 01) 1ln(222222dxdydzzyxzyxz解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是z的奇函数的奇函数例例 7 7 计计算算dxdydzzyx2)(其其中中 是是球球面面2222zyx所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy, 解解2)(zyx)(2222zxyzxyzyx同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且关于yoz面对称, 0 xzdv则dvzyx2)(dvzyx)(222在球面坐标系下为,20,0. 20 r2022200sin drr