误差理论与数据处理解析学习教案

1、会计学1误差误差(wch)理论与数据处理解析理论与数据处理解析第一页，共88页。第2页/共88页第二页，共88页。第3页/共88页第三页，共88页。测量上一般要求(yoqi): D往- D返/D0 系统误差(wch)二、误差二、误差(wch)的种类的种类即当直线距离即当直线距离(jl)(jl)超过一个尺段时，需进行直线定超过一个尺段时，需进行直线定线线. .ABLAB第13页/共88页第十三页，共88页。 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者(huzh)具有一定的规律性，或

2、为一常数，这种误差就称为系统误差。例如：3）、水准仪I角对测量高差的影响 二、误差二、误差(wch)的种类的种类第14页/共88页第十四页，共88页。iABSASBBAABSSibah)1(1水准(shuzhn)管轴视准轴b1bi水准仪水准仪I角对测量高差角对测量高差(o ch)的影响的影响-系统系统误差误差SA=SB时，hAB=0aa1 总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以(jiy)抵消或消弱.第15页/共88页第十五页，共88页。 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。2.偶然误差： 在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测

3、，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定(ydng)的统计规律，这种误差就称为偶然误差。例如： 1)、距离测量二、误差二、误差(wch)的种类的种类010D9.59.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7 N No o第16页/共88页第十六页，共88页。1.71.61.5 1591中丝读数(dsh)： 1592 1593例如例如(lr): 2）、）、 读数读数误差误差(水准测量水准测量)第17页/共88页第十七页，共88

4、页。 总结总结: 偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论计理论(lln)处理，可以求得参数的最佳估值处理，可以求得参数的最佳估值.例如例如(lr): 3）、）、 照准误差照准误差例如例如: 4）、）、 整平整平(zhn pn)误差误差第18页/共88页第十八页，共88页。 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。3.粗差（错误）：由于观测条件的不好，使得(sh de)观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。 例如：已知点有误，往返高差相差悬殊。二、误差二、误差(wch)的种类的种类 通常，测量中需要进行多

5、余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除误差的规律性将系统误差消除(xioch)或减弱到可以忽略不计，使观测值主要或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。 总结：总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。将其剔除或重测。第19页/共88页第十九页，共88页。 通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数足够多时，可以得出偶然

6、误差具有以下的规律性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值- 超限数为零；有限性2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大 -小误差大概率：集中性 3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等 -正负相等；对称性 4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的 算术平均(pngjn)值为零 -平均(pngjn)理论 。抵偿性三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性(txng)lim0nn niin121其中其中第20页/共88页第二十页，共88页。【例】在相同的观测条件下，观测了【例】在相同的观测条件下，观测了217217个三角形的全部个三角形的全部(qunb)(qunb)内

7、角内角。n三角形内角三角形内角(ni jio)(ni jio)和真误差和真误差: : A A+B+B+C+C-180-180n i=1,2,3 .217 i=1,2,3 .217 第21页/共88页第二十一页，共88页。 - 27-24-21-18-15-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27(vi/n) 22221ef21(vi/n)/3每一误差区间上方的长方形面积每一误差区间上方的长方形面积(min j)，代表误差出现在该区间的相对个数，代表误差出现在该区间的相对个数直方图误差分布(fnb)曲线第22页/共88页第二十二页，共88页。正态分布曲线(qxi

8、n)的特性：1、 是偶函数。 这就是(jish)偶然误差的第三特性。对称性)()(ff2、 愈小， 愈大。 有最大值 )(f当当=0=0时时0)(f时，当横轴是曲线(qxin)的渐近线，这就是偶然误差的第一、二特性)(f)(f 拐曲线有两个拐点，横坐标为：当 愈小时，曲线愈陡峭，误差分布比较集中当 愈大时，曲线愈平缓，误差分布比较分散12 第23页/共88页第二十三页，共88页。 22221 ef n22lim 参数 的大小反映了一组观测(gunc)值误差分布的密集和离散程度。 n称为方差2 称为标准差（方根差或均方根差）四、衡量四、衡量(hng ling)精度的指标精度的指标精度指的是一组观

9、测值误差分布的密集精度指的是一组观测值误差分布的密集(mj)或分散的程度或分散的程度。1、标准差和中误差、标准差和中误差1）标准差标准差第24页/共88页第二十四页，共88页。四、衡量精度四、衡量精度(jn d)的指标的指标2）、中误差）、中误差(wch): 标准差的一个估值。标准差的一个估值。 在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测值都称为(chn wi)同精度的观测值。即每个观测值的真差不同，但中误差是相同的。 例：例：2002级的某班的级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。第。第1个小组测得闭合差为个小组测得闭合差为+2mm,

10、第第2个小组测得闭合差为个小组测得闭合差为-6mm,第三第三个小组测得闭合差为个小组测得闭合差为0。试判断哪一组观测精度高？。试判断哪一组观测精度高？精度相同22212nnnm L第25页/共88页第二十五页，共88页。 小，精度高小，精度高 大，精度低大，精度低()f2m2m1m2m1m2m观测条观测条件件误差分布误差分布观测值精度观测值精度四、衡量四、衡量(hng ling)精度的指标精度的指标 nm 中误差中误差(wch)第26页/共88页第二十六页，共88页。四、衡量精度四、衡量精度(jn d)的指标的指标2、容许、容许(rngx)误差（限差）误差（限差）通常(tngchng)取标准差

11、的两倍（或三倍）作为观测值的容许误差。实际中常用中误差代替标准差。即 即大于2倍中误差的真误差，出现的可能性为5%即大于3倍中误差的真误差，出现的可能性为0.3%2221()0.6832Pfded 955.021)(222222222dedfP997.021)(333323322dedfP2mV允第27页/共88页第二十七页，共88页。四、衡量四、衡量(hng ling)精度的指标精度的指标精度(jn d)不相同3、相对误差、相对误差(xin du w ch)通常是用来衡量和距离有关的观测量的精度的好坏。通常是用来衡量和距离有关的观测量的精度的好坏。KSmKsSs11 例例:测量两条直线，一条

12、测量两条直线，一条100m，另一条，另一条50m，其中，其中误差均为误差均为10mm试问两条直线的观测精度相同吗？试问两条直线的观测精度相同吗？哪条直线的观测精度高？哪条直线的观测精度高？100m的直线的观测精度高相对中误差，相对真误差和相对极限误差。相对中误差，相对真误差和相对极限误差。第28页/共88页第二十八页，共88页。第29页/共88页第二十九页，共88页。 阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为(chn wi)误差传播定律。 第30页/共88页第三十页，共88页。设有函数z=kx z:观测(gunc)值的函数，x为观测(gunc)值，k为常数? zxmm已知xzk

13、 )2, 1(nikiixz (1)真误差(wch)的关系式为：若对x观测了n次则：(2)将上式平方得：)2, 1(222nikiixz (3)求和，并除以n )2,1(222ninknxz 222,zxzxmk mmkm即(4)转换为中误差关系式观测值与常数乘积的中误差，等 于观测值中误差乘以常数第31页/共88页第三十一页，共88页。设有函数(hnsh)z=xy z:观测值的函数(hnsh)，x、y为独立观测值? zyxmmm、已知yxz )2, 1(niiiiyxz (1)真误差(wch)的关系式为：若对x、y观测了n次则：(2)将上式平方得：)2 , 1(2222niiiiiiyxyx

14、z (3)求和，并除以n )2, 1(2222ninnnnyxyxz 222yxzmmm (4 )转换为中误差关系式两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和。由于x , y为独立观测值，因此n趋近无穷时，xy / n = 0第32页/共88页第三十二页，共88页。n个观测值代数和的中误差(wch)，等于n个观测值中误差(wch)的平方和。2222212121nxxxznnmmmmxxxzxxxz 的代数和时、是一组观测值当nmmmxxxzn 设其中误差为为同精度观测值时、当21n个同精度(jn d)观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。第33页/共88页第三十三页，共8

15、8页。的中误差？站。求观测高差两点观测了、，的中误差相等为测站的观测高差例：在水准测量中设每站ABhnBAm水准测量中观测(gunc)高差的中误差，与距离S的平方根成正比。的中误差？公里。求观测高差两点观测了、，的中误差相等为公里的观测高差例：在水准测量中设每ABkmhSBAm水准测量中观测高差(o ch)的中误差，与测站数n的平方根成正比。站mnmABh kmhmSmAB 第34页/共88页第三十四页，共88页。为常数、为独立观测值、式中设有线性函数：nnnnkkkxxxxkxkxkz21212211 22222221212nnzmkmkmkm 应用(yngyng)倍数函数、和差函数的误差传

16、播定律可得第35页/共88页第三十五页，共88页。设有函数(hnsh)z=f( ) 为独立观测值? zxmmi已知nxnxxzxfxfxf 2121(1)求偏导真误差(wch)的关系式为：(2 )转换为中误差关系式：nxxx, 21,ix222222212)()()(21nxnxxzmxfmxfmxfm 第36页/共88页第三十六页，共88页。例一：设有函数例一：设有函数(hnsh)z=Ssin?6 .20004511905. 011.150: zSmmmmmS求已知 cossinSzszsszcmmSmmsz4 . 4)()cos()(sin2 2222 解：注意(zh y)单位的统一第37

17、页/共88页第三十七页，共88页。例二：设有函数(hnsh)：Z=X+Y ， Y=3X解：? zxmm已知XZXYXZXYmmmmmmmm101032222 XZYXZXYmmXYXZmmmmm443222 注：由于X和Y不是(b shi)独立观测值第38页/共88页第三十八页，共88页。应用应用(yngyng)误差传播定律求观测值函数的中误差时，误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：可归纳以下几步：1、列出函数(hnsh)式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式3、独立性的判断注意单位的统一第39页/共88页第三

18、十九页，共88页。函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 返回第40页/共88页第四十页，共88页。), 2 , 1(niXLii nXLnXLLLnn )(2121 nnLX 0lim nnnLx时，令xX 设未知量的真值为X，观测(gunc)值的真误差为将上式相加称为(chn wi)算术平均值，是未知量的最或然值算

19、术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍n1二、误差传播定律(dngl)及应用nmmx n L1 x因为n L2 n Ln 1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 第41页/共88页第四十一页，共88页。,iimLXn 同 精 度 观 测 值 中 误 差 公 式 ：iiLxv观测值改正数为： XxxXxnXxvvvXxvii 令2)()(2)( 0 LnLnLnxv 2xnvvn nnxxXxx )( 2221312122222xnmnmnnnx nmnvvm22 1 nvvm ) 1( nnvvmx nxnnLX二、误差(wch)传播定律及应用1、算术、算术(sunsh)平均值及其中平

20、均值及其中误差误差 第42页/共88页第四十二页，共88页。 1 nvvm )1( nnvvmx例：对某段距离同精度(jn d)测量了4次mLmLmLmL062.25056.25068.25066.254321 试求该段距离的最或然值及其中误差(wch)解： mnLx063.25 mmvmmvmmvmmv17534321 mmnnvvmx7) 1( Lxv 二、误差传播(chunb)定律及应用1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 第43页/共88页第四十三页，共88页。二、误差传播(chunb)定律及应用 iiidLLdnddm2、双观测值及其中误差、双观测值及其中误差 对同一个量所

21、进行对同一个量所进行(jnxng)的两次观测称为双观测对。的两次观测称为双观测对。 有一组量有一组量x1，x2，。，。Xn，对该量各观测两次，对该量各观测两次， L1，L2，。，。Ln L1，L2，。，。Ln di= 0-（Li-Li”）第44页/共88页第四十四页，共88页。二、误差(wch)传播定律及应用nddmLLdiii2 nddMLLxiii42/ ) (2、双观测、双观测(gunc)值及其中误差值及其中误差 第45页/共88页第四十五页，共88页。第46页/共88页第四十六页，共88页。niinllllnnX1211)(1第47页/共88页第四十七页，共88页。h3Dh4ABCh1

22、h2E第48页/共88页第四十八页，共88页。lll4,2,1第一组第一组第二组第二组lll10,6,5 算术平均值分别为算术平均值分别为LL21,41421141)(41iillllL1051065261)(61jjllllL第49页/共88页第四十九页，共88页。,21mmLL其中其中(qzhng)误差分别为：误差分别为：mmL1422mmL262241mmL62mmL第50页/共88页第五十页，共88页。 101010541jjiilllX646421LLmmmmLmmLmmLLLL22222221222121第51页/共88页第五十一页，共88页。ppLpLpX212211112212

23、1XpLLppppi在在piLiXLi值的大小体现了值的大小体现了中比重的大小，中比重的大小，称称为为的权。的权。iiLLimmmp2222第52页/共88页第五十二页，共88页。,21LLLn其权分别其权分别(fnbi)为为,11pppn该量的最或然值可扩充该量的最或然值可扩充(kuchng)为：为： ppLXpppLpLpLpnnn212211称之为广义算术平均值。称之为广义算术平均值。第53页/共88页第五十三页，共88页。ppppn21nppXniinLLLL121)111()(mmmmn21第54页/共88页第五十四页，共88页。mpii22称为称为中误差中误差，为单位权观测值，为单

24、位权观测值，当观测值当观测值Limi1pi称为单位权，称为单位权，Li单位权中误差。单位权中误差。第55页/共88页第五十五页，共88页。 可见，用中误差衡量精度是绝对(judu)的，而用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的相对标准。mmmpppn22221n211:1:1:第56页/共88页第五十六页，共88页。mmmmmmpppnnn2222122222212211:1:1:1 反映了观测反映了观测(gunc)值的相互精度关系。值的相互精度关系。 3 不在乎权本身不在乎权本身(bnshn)数值的大小，而在于相互的比例关系数值的大小，而在于相互的比例关系 。值值的的 大小，对大小，对X值毫无

25、影响。值毫无影响。2第57页/共88页第五十七页，共88页。22222222212n12n12n111: p ppmmmmmm4 若若Li同类量的观测值，此时同类量的观测值，此时(c sh)，权无单位。若，权无单位。若Li是不同类量的观测是不同类量的观测(gunc)值，权是否有单位不能值，权是否有单位不能一概而论一概而论(y gi r ln)，而视具体情况而定。，而视具体情况而定。第58页/共88页第五十八页，共88页。mmmmmmmmm5,4,3321mmm31设设133222121mp16943222222mp25953222323mp2516 ,1 ,916321 p pPmmm42设设

26、第59页/共88页第五十九页，共88页。36.0:56.0:1:321321pppppp1 水准路线水准路线(lxin)观测高差的权观测高差的权例：例：常用常用(chn yn)定权公式定权公式h3Dh4ABCh1h2E第60页/共88页第六十页，共88页。mnmiihncnmmnpiiii222当各测站观测高差的精度相同当各测站观测高差的精度相同(xin tn)时，水准路线时，水准路线观测观测高差的权与测站数成反比。高差的权与测站数成反比。四条水准四条水准(shuzhn)路线分别观测了路线分别观测了3, 4, 6, 5 测站：测站：mc22第61页/共88页第六十一页，共88页。4322npc

27、令令c=3,13311npc6333npc5344npcm223令令c=4,341/1npc442/2npc643/3npc544/4npcm22460. 0:50. 0:75. 0: 1:/4/3/2/14321pppppppp第62页/共88页第六十二页，共88页。ssss4321,设每公里水准测量观测的中误差为设每公里水准测量观测的中误差为mkmmsmkmihismmspiikmkmi222第63页/共88页第六十三页，共88页。ckmm2mkmc22scpii当每公里水准当每公里水准(shuzhn)测量的精度相同时，水准测量的精度相同时，水准(shuzhn)路线观测的权与路线长度成反比

28、。路线观测的权与路线长度成反比。第64页/共88页第六十四页，共88页。41011spc21022spc21033spc31044spc10c第65页/共88页第六十五页，共88页。,10, 1csscpS=C=10公里 的水准路线(lxin)的观测高差为单位权观测。mmkm1010公里mmmckmkm公里1010第66页/共88页第六十六页，共88页。nicpi每测站观测高差精度相同时：每测站观测高差精度相同时： sicpi每公里观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：第67页/共88页第六十七页，共88页。1 第二组测第二组测6测回，算术测回，算术(sunsh)平平均值为均值为 第三

29、组测第三组测8测回，算术测回，算术(sunsh)平均平均值为值为23nmmii222 不同个数的同精度观测值求得的算术平均不同个数的同精度观测值求得的算术平均 值的权。值的权。第68页/共88页第六十八页，共88页。222222mnnmmpiiii,22cmcmcnpii由不同个数的同精度由不同个数的同精度(jn d)观测值求得的算术平均值，观测值求得的算术平均值，其权其权与观测值个数成正比。与观测值个数成正比。第69页/共88页第六十九页，共88页。4 c令1441p5.1462p2483pppppppX321332211cnpii第70页/共88页第七十页，共88页。 水准测量中，当每测站

30、高差中误差相同时，则各条水准路线(lxin)高差观测值的权与测站成反比 )2 , 1( Nniicpiv 水准测量中，当每公里高差(o ch)中误差相同时，则 各条水准路线高差(o ch)观测值的权与路线长度成反比 )2 , 1( niLcpii总结总结(zngji)第71页/共88页第七十一页，共88页。角度测量角度测量(cling)中，当每测回角度观测中误差相中，当每测回角度观测中误差相同时，各角度观测值的权与其测回数成正比同时，各角度观测值的权与其测回数成正比 CNpii scpiiv 距离测量(cling)中，当单位距离测量(cling)的中误差相同时，各段距离观测值的权与其长度成反比

31、。第72页/共88页第七十二页，共88页。第73页/共88页第七十三页，共88页。 ppLXpppLpLpLpnnn212211 定权的基本(jbn)公式：mpii22 权权 权的特点权的特点 常用定权公式：常用定权公式：spiiccnpiinpiic第74页/共88页第七十四页，共88页。第75页/共88页第七十五页，共88页。一、数据处理的任务(rn wu)和原则*1、数据处理的任务、数据处理的任务*任何一种测量任何一种测量,其观测结果都会存在其观测结果都会存在误差误差(主要考虑偶然误差主要考虑偶然误差)的影响的影响,由于由于这种误差的影响这种误差的影响,使得对同一量进行使得对同一量进行多

32、次观测所得的结果都不会相同多次观测所得的结果都不会相同,也也不等于理论数值不等于理论数值(shz)。*测量数据处理的任务：测量数据处理的任务：*“消除差异消除差异”，求出观测量的最，求出观测量的最或然值（平差值）或然值（平差值）*评定精度评定精度第76页/共88页第七十六页，共88页。一、数据处理的任务(rn wu)和原则*2、数据处理的原则、数据处理的原则*存在矛盾如何消除，采用存在矛盾如何消除，采用(ciyng)什么样的原则消除才是合理的，这就什么样的原则消除才是合理的，这就是数据处理的原则，即最小二乘原理是数据处理的原则，即最小二乘原理。*VV=V12+ V22 + V32 + + Vn

33、2 =min*PVV=P1V12+ P2V22 +P3 V32 + +Pn Vn2 =min*L=L+V*平差值平差值 观测值观测值 改正数改正数第77页/共88页第七十七页，共88页。二、直接(zhji)平差 根据对同一个量的多次观测结果，确定最或然值并评定精度的过程，称为直接平差。1. 算术平均值 设 L1, L2, Ln 为一组独立观测值，根据最小二乘准则，其最或然值 x 必须(bx)满足： vv=(x - L1 )2+ (x - L2 )2+(x - Ln)2=min 求vv 对 x 的一阶和二阶导数： 21222()2()2() ,20d vvvvdxxxnLLLndxdx第78页/

34、共88页第七十八页，共88页。二、直接(zhji)平差0)(2)(2)(2 21LxLxLxdxvvdn令nLx 则： 这说明，在等精度观测条件(tiojin)下，未知量的最或然值就是算术平均值。或者说，算术平均值是满足最小二乘准则条件(tiojin)下，等精度观测值的最或然值。第79页/共88页第七十九页，共88页。二、直接(zhji)平差用改正用改正(gizhng)数计算观测值中误差的公式，数计算观测值中误差的公式，称为白塞尔公式称为白塞尔公式1 nvvmnLnLnLnLxn21mMn第80页/共88页第八十页，共88页。二、直接(zhji)平差2、加权平均值、加权平均值 一列观测值一列观测值L1，L2，Ln,，其精度，其精度值分别为值分别为m1,m2,mn，选定，选定(xun dn)一个精度值一个精度值m,并同时选定并同时选定(xun dn)一组正数一组正数p1,p2,pn，使得下列诸，使得下列诸式同时成立：式同时成立： ,.,2222222121mpmmpmmpmnn 根据(gnj)最小二乘准则，应使pvv=min，即： pvv=p1(x-L1)2+ p2(x-L2)2 +pn(x-Ln)2=min第81页/共88页第八十一页，共88页。