数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】

1、第第3 3章章 波动方程初始问题的求解波动方程初始问题的求解行波法（达朗贝尔公式）（特征线积分法）达朗贝尔公式（行波法）达朗贝尔公式（行波法） 一维问题一维问题 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。 通解法中有一种特殊的解法通解法中有一种特殊的解法行波法行波法, , 即以自变量的即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效程类型的求解十分有效. .1.1.弦振动方程的初始

2、问题弦振动方程的初始问题- -无界限的自由振动无界限的自由振动22222,0( ,0)( ),( ,0)( ),tuuaxttxu xxxu xx （1 1）物理解释：物理解释： 认为弦很长，考虑远离边界的某段弦在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，并且没有强迫外力作用。(3.1.1)（2 2）一维波动方程的通解：）一维波动方程的通解：22222,0uuaxttx xatxat作变换：0u得到：)(1fu偏积分得：对)()(1gdfu偏积分得：再对)()()()(atxgatxfgf任意函数任意函数（3 3）无界限弦自由振动的特解（考虑初始条件）：）无界限弦自由振动的特解（考虑初始条件）

3、：)()( )( )()()(xxagxafxxgxf由初始条件得：xaxadssxxgdssxxf)()()()()()(21212121由此解得：1122( , ) ()()( )xataxatu x txatxats ds代入通解得：dssxgxfxa)()()(1对第二式积分：达朗贝尔公式达朗贝尔公式仅对第一层变量进行积分仅对第一层变量进行积分(3.1.2)结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a的波的叠加，故称为行波法。a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波1( , )()()2u x txatxat()xat()

4、xat（4 4）达朗贝尔公式的意义：）达朗贝尔公式的意义：b. 只有初始速度时：1( , )( )d2x atx atu x ta 11( , )()()u x txatxat1( ) 为 的积分原函数。( ) -22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81-22468100.20.40.60.81示意图形（向右传播的波）：示意图形（向右传播的波）：222|,|, 0002xttxtxxttaxeueuxuau解：将初始条件代入达朗贝尔公式222()()1122( , )2

5、x atx atx atsax atu x teeasedsatxatxsatxatxdseee221)()(21222222()()1122xatxatxatsxateee2)(atxe（5 5）达朗贝尔公式的应用：）达朗贝尔公式的应用：波动方程波动方程2000,|sin ,|costtxxtttuc uxux ux 1122( , )sin()sin()cosxctcxctu x txctxctsds解：将初始条件代入达朗贝尔公式12sincossin()sin()cxctxctxct1sincoscossinxctxctc波动方程波动方程200230,0|3,|0 xxxyyyyyyuu

6、uxyuxu 22()23()0dydxdydx解：该问题不能直接运用达朗贝尔公式，但可按该思路进行。特征方程为：123yxcyxc 令：3xyxy方程可化为：0u非波动方程非波动方程所以，方程的通解为：12( ,)()(3)u x yfxyfxy带入初始条件：2012012|( )(3 )3|( )(3 )0yyyufxfxxufxfx21212( )(3 )31( )(3 )3fxfxxfxfxc所以：2122223( ) 4491(3 ) ( )4444cfxxccfxxfxx或因此：222231( ,)()(3)344u x yxyxyxy0010, (0) 2|( ),| xxyyy

7、yyyuyuuyuxu有限值22()()0dyy dx解：该问题不能直接运用达朗贝尔原理，但可按该思路进行。特征方程为：dyydx 令：22xyxy方程可化为：0u非波动方程非波动方程所以，方程的通解为：12( ,)(2)(2)u x yfxyfxy带入初始条件：012|( )( )( )yufxfxx12( )( )0fxfx又因为：01201|(2)(2)yyyufxyfxyy为有限值，所以：即：12( )( )fxfxc所以：121( )( )221( )( )22cfxxcfxx因此：1( ,) (2)(2)2u x yxyxy2 2 弦振动方程的初始问题弦振动方程的初始问题- -半无

8、界弦的自由振动半无界弦的自由振动22222, 0,0( ,0)( ),( ,0)( ), 0(0, )0, 0tuuaxttxu xx u xxxutt物理解释：物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作用，弦线一端被固定。(3.1.3) 为了解决这个问题，可以将半无界弦延拓成无限长的弦，由于边界条件 ，所以无限长弦的 必须为奇函数，其初始条件也必须为奇函数，即：00 xu( , )u x t( ), 0 ( )(), 0 xxxxx( ), 0 ( )(), 0 xxxxx(3.1.4)(3.1.5) 将上述初始条件代入达朗

9、贝尔公式，即可得到：11221122 ()()( ), ( , ) ()()( ), xataxatxataatxxxatxats ds tau x txxatatxs ds ta(3.1.6)22222,0,0( ,0)( ),( ,0)( ),0(0, )0,0txuuaxttxu xx u xxxutt 若将上述的边界条件 改为 ，即半无限长杆的自由振动，杆的端点自由。00 xu00 xxu 为了解决这个问题，可以将半无界弦延拓成无限长的弦，由于边界条件 ，所以无限长弦的 必须为偶函数，其初始条件也必须为偶函数。00 xxu( , )u x t(3.1.7)( ), 0 ( )(), 0

10、 xxxxx( ), 0 ( )(), 0 xxxxx所以： 将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：1122112200()()( ), ( , )()()( )( ), xataxatxatatxaxxatxats dstau x txxatatxs dss dsta例子：21212,0,0,0, ( ,0)1, ,10,( ,0)0(0, )0,0ttxxtua uxtxxu xxxu xxRutt其它，1()() ,2( , )1()() ,2xatxatatxu x tatxxatatx应用达朗贝尔公式得到解的形式为：121112221212,0,( , ),1,1(1),11xx

11、atxatxatu x tatatxatxatxatxatatxat 当 0 t 1/4a当 1/4a t 1/2a1211221211221122,0,( , ),1(),1(1),1xxatatatxatu x tatatxatxatatxatxatatxat 当 1/2a t 3/4a1211221211221122,0,1( , )(),1(),(1),1xxatatatxatu x txatatxatxatatxatxatatxat 当 3/4a t 1/a1122112211221122,01(1), 1( , )(),(),(1),1xxatxatatxatu x txatatx

12、atxatatxatxatatxat 当 1/a t1122112211221122(1),1(),( , )(),(1),1xatatxatxatatxatu x txatatxatxatatxat 3 3 弦振动方程的初始问题弦振动方程的初始问题-两端固定的有界弦两端固定的有界弦的自由振动的自由振动22222,0,0( ,0)( ),( ,0)( )(0, )( , )0tuuaxl ttxu xx u xxutu l t 为了应用达朗贝尔公式，必须把 按以 为周期的奇函数延拓到整个x轴。( ),( )xx2l这个结论完全是可以证明的。(3.1.8)4 4 弦振动方程的初始问题弦振动方程的

13、初始问题- - 一端扰动引起的半一端扰动引起的半无界弦的自由振动无界弦的自由振动22222,0,0( ,0)0,( ,0)0(0, )( )tuuaxttxu xu xutf t 无初始速度和初始位移无初始速度和初始位移 由于该问题没有初始速度和初始位移，只有端部的位移扰动（边界条件），因此，不能直接运用达朗贝尔公式。(3.1.9)设通解为：12( , )()()u x tFxatFxat代入初始条件，可得：1212( ,0)( )( )0 ( ,0)( )( )0tu xFxFxuxaFxFx即：121( )( )CF xFx所以：122( )( )C (0)F xFxx由于：2()xatF

14、xat恒大于0，故恒为常数，不妨设为0.于是有：1( , )0 ( , )() u x txatu x tFxatxat代入边界条件：1(0, )()( )utFatf t即：1( )(/)Ffa所以：1() () /()F xatfxataf tx a最终方程的解为：( , )0 ( , )() u x txatu x tf tx axat(3.1.10)例子：tAuuuxtuatuxtttsin0, 0)0(00022222()sin()sin()()( , )sin()()xatxxf xatAAttaaaxxu x tAtH taa 其中：1 0( )0 0H5 5 弦振动方程的初始问

15、题弦振动方程的初始问题-半无限长杆端点受垂半无限长杆端点受垂直方向力作用时的振动直方向力作用时的振动22222,0,0( ,0)( ),( ,0)( )(0, )( )txuuaxttxu xx u xxutf t 对照本章内容4，对于 ，端点影响尚未到达，对于这部分杆，可以用达朗贝尔公式，即：xat1122( , ) ()()( ) xataxatu x txatxats dsxat(3.1.11)对于 ，端点作用不可忽略，此外，在 处，初始条件均没有意义，需要延拓，设：xat0 x 1( ),0( )( ),0 x xxx x1( ),0( )( ),0 x xxx x其中， 和 为待定函

16、数。当 时，有：1( )x1( )xxat1120111220( , ) ()() ( )+( ) xataaxatu x txatxats dss dsxat代入边界条件，有：0111111()()()()( )2222xxuatatatatf taa此时的任务是如何确定 和1( )x1( )x设：1( )()xx1( )()2( )xxxafa代入边界条件，发现正好满足。当 时，方程的解为：xat120112200( , ) ()() ( )+() +() xataaxatxatu x txatatxs dss dssfdsxata(3.1.12)6 6 弦振动方程的初始问题弦振动方程的初

17、始问题-无限长弦的强迫振动无限长弦的强迫振动22222( , ), ,0( ,0)0,( ,0)0 tuuaf x txttxu xu x 22222,( , )( , )0,( , ),axttxxxf xxt 利用齐次化原理，若 满足：则：0( , )( , ; )dtu x tx t此时的 可以看作是定时间。(3.1.13)令：1tt 22212211,0( ,0)( ,0)0,( , ),axttxxxf xxt 11()1()11( , )( , )d( , )d22x atx a tx atx a tx tffaa 所以：20()0()( , )( , , )d1( , )d d2

18、ttx a tx a tux tx tfa 即：(3.1.14)上述方法也称作上述方法也称作冲量原理法冲量原理法 根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列前后相继的瞬时冲量 ( , )(0)f xt所引起的振动20 (,)( , )0,( , )( , ) ttxxtaxtxxf x vvvv的解 的叠加。( , ; )x tv0( , )( , ; )dtu x tx tv代替持续作用力来解决定解问题的方法称为冲量原理法.(3.1.15)这样纯强迫振动定解问题的解为:()0()1( , )( , )d d2tx a tx a tu x tfa 2()()()0()023011( , )

19、d()dd 222 ()()d26tx a ttx a tx a tx a ttu x taaaaxtatx ta t2, (,0)( ,0)0, ( ,0)0ttxxtua ux atxtu xu x 代入上述公式，可得:例子:7 7 弦振动方程的初始问题弦振动方程的初始问题-无限长弦的强迫振动无限长弦的强迫振动（初始条件不为零）（初始条件不为零）2( , ),(,0)( ,0)( ), ( ,0)( )ttxxtua uf x txtu xxu xx 按照叠加原理可令其解为IIIuuu使Iu满足自由振动定解问题20, (,0)( ,0)( ), ( ,0)( )ttxxtua uxtu xxu xx (3.1.16)使IIu满足纯强迫振动定解问题22222( , ), ,0( ,0)0,( ,0)0 tuuaf x txttxu xu x ()0()111( , ) ()()( )d( , )d d222 x attx a tx atx a tu