2011版高考数学 3年高考2年模拟 第8章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何中的应用

1、用心 爱心 专心- 1 -第三节第三节 空间向量在立体几何中的应用第一部分空间向量在立体几何中的应用第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20102010年高考题年高考题一、选择题一、选择题1.1.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理）理） （11）与正方体1111ABCDABC D的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，

2、所以，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.2.2.（20102010 辽宁理）辽宁理）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 (A)（0,62） (B)（1,2 2） (C) (62,62） (D) （0,2 2）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面

3、是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时a 可以取最大值，可知 AD=3，SD=21a ，则有21a 2+3，即2284 3( 62)a ，即有 a0;综上分析可知 a（0,62）3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个【答案】D D【解析解析】：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条

4、两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，三个圆柱面有无数个交点，4.4.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A） 34 (B) 54(C) 74 (D) 34【答案】D D【解析解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于

5、 E E，连结，连结 SESE，过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， BCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长3 3， 3AE ，AS=3AS=3， SE=SE=2 3，AF=AF=32， ABCSEF用心 爱心 专心- 3 -ABCDA1B1C1D1O3sin4

6、ABF5.5.（20102010 全国卷全国卷 1 1 文）文） （9）正方体ABCD-1111ABC D中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A） 23 （B）33 （C）23 （D）63【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 B1B与平面 AC1D所成角和 DD1与平面AC1D所成角相等,设 DO平面 AC1D，由等体积法得11D ACDDACDVV,即111133ACDACDSDOSDD.设 DD1

7、=a,则12211133sin60( 2 )2222ACDSAC ADaa,21122ACDSAD CDa.所以1312333ACDACDSDDaDOaSa,记 DD1与平面 AC1D所成角为,则13sin3DODD,所以6cos3.【解析 2】设上下底面的中心分别为1,OO；1O O与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，111136cos1/32OOOODOD6.6.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A) 2 33 (B)4 33 (C) 2

8、3 (D) 8 33用心 爱心 专心- 4 -7.7.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理）理） （7）正方体 ABCD-1111ABC D中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为（A） 23 （B）33 （C）23 （D）638.8.（20102010 四川文）四川文）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R （B）18arccos25R（C）13R （D）415R【答案】A【解析】由已知，AB2R,BCR,故tanBAC12cosBAC2

9、 55连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC4 55R，同理AN4 55R，且MNCD而AC5R,CDR用心 爱心 专心- 5 -故MN：CDAN:AC MN45R，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON22217225OMONMNOM ON所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R二、填空题二、填空题1.1.（20102010 江西理）江西理）16.如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S，2S，3S，则1S，2S，3S的大小关系为 。【答案】 321SS

10、S【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为 1，2，3 得321SSS。2.2.（20102010 北京文）北京文） （14）如图放置的边长为 1 的正方形PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是( )yf x，则( )f x的最小正周期为 ；( )yf x在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 。【答案】4 1说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B

11、为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。3.3.（20102010 北京理）北京理） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是( )yf x，则用心 爱心 专心- 6 -AB( )f x的最小正周期为 ；( )yf x在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 【答案】4 1说明：说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚

12、动。4.4.（20102010 四川文）四川文） （15）如图，二面角的大小是 60，线段.，l ABBl与 所成的角为 30.则与平面所成的角的正弦值是 .ABlAB【答案】34【解析】过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知ADl，故ADC为二面角的平面角，为 60l 又由已知，ABD30连结CB，则ABC为与平面所成的角AB设AD2，则AC，CD13AB40sin30ADsinABC34ACAB5.5.（20102010 湖北文数）湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好

13、淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是_cm.【答案】4【解析】设球半径为 r，则由可得,解3VVV和和和33224863rrrr得 r=4.6.6.（20102010 湖南理数）湖南理数）13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20的几何体的三视3cm图，则 h cmABCD用心 爱心 专心- 7 -7.7.（20102010 湖北理数）湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是 cm。【答案】4【解析】设球半径为 r，则由可得3VVV和和和3,解得 r=4.32248

14、63rrrr8.8.（20102010 福建理数）福建理数）12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 【答案】6+2 3用心 爱心 专心- 8 -【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。3242 343 2 16 6+2 3【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。三、解答题三、解答题1.1.（20102010 辽宁文）辽宁文） （19） （本小题满分 12 分） 如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCC B是菱形，11BCAB（）证明：平面1ABC平面1

15、1ABC；（）设D是11AC上的点，且1/AB平面1BCD，求11:AD DC的值. 解：（）因为侧面 BCC1B1是菱形，所以11BCCB又已知BBCBABACB1111,且所又CB1平面 A1BC1，又CB1平面 AB1C ，所以平面CAB1平面 A1BC1 . （）设 BC1交 B1C 于点 E，连结 DE，则 DE 是平面 A1BC1与平面 B1CD 的交线，因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE.又 E 是 BC1的中点，所以 D 为 A1C1的中点.即 A1D：DC1=1.2.2.（20102010 辽宁理）辽宁理） （19） （本小题满分 12 分）用心 爱心 专心-

16、9 -已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S分别为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.证明：设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。则 P（0,0,1） ，C（0,1,0） ，B（2,0,0） ，M（1,0,12） ，N（12,0,0） ，S（1,12,0）.4 分（）111(1, 1, ),(,0)222CMSN ,因为110022CMSN ，所以 CMSN 6 分（）1(,1,0)2NC ,设 a=（x，y，

17、z）为平面 CMN 的一个法向量，用心 爱心 专心- 10 -则10,2210.2xyzxxy令，得a=(2, 1, -2). 9 分因为1122cos,2232a SN 所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45。 12 分3.3.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文） （19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D 为BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3 EB1 （）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线； （）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-AC1-B1的大小【解析解

18、析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。础知识。（1 1）要证明）要证明 DEDE 为为 AB1AB1 与与 CDCD 的公垂线，即证明的公垂线，即证明 DEDE 与它们都垂直，由与它们都垂直，由 AE=3EB1AE=3EB1，有，有 DEDE 与与BA1BA1 平行，由平行，由 A1ABB1A1ABB1 为正方形，可证得，证明为正方形，可证得，证明 CDCD 与与 DEDE 垂直，取垂直，取 ABAB 中点中点 F F。连结。连结DFDF、FCFC，证明，证明 DEDE 与平面与平

19、面 CFDCFD 垂直即可证明垂直即可证明 DEDE 与与 CDCD 垂直。垂直。（2 2）由条件将异面直线）由条件将异面直线 AB1AB1，CDCD 所成角找出即为所成角找出即为FDCFDC，设出，设出 ABAB 连长，求出所有能求出连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。4.4.（20102010 江西理）江西理）20. （本小题满分 12 分）如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，2 3AB 。（1）求点 A 到平面 MBC

20、的距离；（2）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。用心 爱心 专心- 11 -【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面MCD 平面BCD,则MO平面BCD，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3，MOAB，MO/面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OHBC 于 H，连 MH，则 MHBC，求得：OH=OCsi

21、n600=32,MH=152,利用体积相等得：2 155A MBCMABCVVd。（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60. sin603BFBC，tan2ABBF，2 5sin5所以，所求二面角的正弦值是2 55.【点评点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取CD中点O，连OB，OM，则O

22、BCD，OMCD，又平面MCD 平面BCD,则MO平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直yxMDCBOAz用心 爱心 专心- 12 -角坐标系如图.OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，M（0，0，3） ，B（0，-3，0） ，A（0，-3，23） ，（1）设( , , )nx y z是平面 MBC 的法向量，则BC=(1, 3,0) ，(0, 3, 3)BM ，由nBC 得30 xy；由nBM 得330yz；取( 3, 1,1),(0,0,2 3)nBA ，则距离2 155BA ndn （2）( 1,0, 3)CM ，(

23、1,3,2 3)CA .设平面ACM的法向量为1( , , )nx y z，由11nCMnCA 得3032 30 xzxyz .解得3xz，yz，取1( 3,1,1)n .又平面BCD的法向量为(0,0,1)n ，则1111cos,5n nn nnn 设所求二面角为，则212 5sin1 ()55.【点评点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作

24、用，但计算必须慎之又慎算必须慎之又慎5.5.（20102010 重庆文）重庆文） （20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分. ）如题（20）图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，2PAAB，点E是棱PB的中点.（）证明：AE 平面PBC；（）若1AD ，求二面角BECD的平面角的余弦值.z用心 爱心 专心- 14 -用心 爱心 专心- 15 -6.6.（20102010 浙江文）浙江文） （20） （本题满分 14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，ABC=120。E 为线段 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折

25、成ADE，使平面 ADE平面 BCD，F 为线段 AC 的中点。（）求证：BF平面 ADE；（）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值。用心 爱心 专心- 16 -7.7.（20102010 重庆理）重庆理） （19） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分）如题（19）图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，PA=AB=6，点 E是棱 PB 的中点。（I）求直线 AD 与平面 PBC 的距离；（II）若 AD=3，求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。用心 爱心 专心- 17 -用心 爱心

26、 专心- 18 -用心 爱心 专心- 19 -8.8.（20102010 北京文）北京文）(18) （本小题共 14 分）设定函数32( )(0)3af xxbxcxd a，且方程( )90fxx的两个根分别为1，4。（）当 a=3 且曲线( )yf x过原点时，求( )f x的解析式；（）若( )f x在(,) 无极值点，求 a 的取值范围。解：由32( )3af xxbxcxd 得 2( )2fxaxbxc因为2( )9290fxxaxbxcx 的两个根分别为 1,4，所以290168360abcabc （*）（）当3a 时，又由（*）式得2608120bcbc 解得3,12bc 又因为曲

27、线( )yf x过原点，所以0d 故32( )312f xxxx（）由于 a0,所以“32( )3af xxbxcxd在（-，+）内无极值点”等价于“2( )20fxaxbxc在（-，+）内恒成立” 。用心 爱心 专心- 20 -由（*）式得295 ,4ba ca。又2(2 )49(1)(9)bacaa 解09(1)(9)0aaa 得1,9a即a的取值范围1,99.9.（20102010 北京理）北京理） （16） （本小题共 14 分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（

28、）求二面角A-BE-D的大小。 证明：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF/AG，且 EF=1，AG=12AC=1. 所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF/平面 EG， 因为EG 平面 BDE，AF平面 BDE， 所以 AF/平面 BDE. （II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直，且 CEAC， 所以 CE平面 ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 C（0，0，0） ，A（2，2，0） ，B（0，2，0）. 所以22(,1)22CF ，(0,2,1)BE ，(2,0,1)DE . 所以0 1 10CF

29、 BE ,用心 爱心 专心- 21 -1 0 10CF DE 所以CFBE,CFDE. 所以CF BDE.(III) 由（II）知，22(,1)22CF 是平面 BDE 的一个法向量. 设平面 ABE 的法向量( , , )nx y z,则0n BA ，0n BE . 即( , , ) ( 2,0,0) 0( , , ) (0,2,1) 0 x y zx y z所以0,x 且2 ,zy 令1,y 则2z . 所以(0,1,2)n . 从而3cos,2|n CFn CFn CF 。 因为二面角ABED为锐角， 所以二面角ABED的大小为6.10.10.（20102010 广东文）广东文）18.（

30、本小题满分 14 分）如图 4，弧 AEC 是半径为a的半圆，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，平面 AEC 外一点 F 满足FC平面 BED,FB=a5（1）证明：EBFD（2）求点 B 到平面 FED 的距离. （1）证明：点 E 为弧 AC 的中点用心 爱心 专心- 22 -11.11.（20102010 福建文）福建文）20 （本小题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E，H 分别是棱 A1B1,D1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ，且 EH/A1D1。过 EH 的平面与棱 BB1,CC1相交，交点分别

31、为 F，G。 （I）证明：AD/平面 EFGH； （II）设 AB=2AA1=2a。在长方体 ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p。当点 E，F 分别在用心 爱心 专心- 23 -棱 A1B1, B1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值。用心 爱心 专心- 24 -12.12.（20102010 湖南理）湖南理）用心 爱心 专心- 25 -用心 爱心 专心- 26 -13.13.（20102010 江苏卷）江苏卷）16、 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC

32、=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14分。（1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC。由BCD=900，得 CDBC，用心 爱心 专心- 27 -又 PDDC=D，PD、DC平面 PCD，所以 BC平面 PCD。因为 PC平面 PCD，故 PCBC。（2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 P

33、BC 的距离相等。又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。由（1）知：BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于 PC，因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F。易知 DF=22，故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。因为 ABDC，BCD=900，所以ABC=900。从而 AB=2，BC=1，得ABC的面积1ABCS。由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积1133ABCVSPD。因为 PD平面 ABCD，DC平面

34、ABCD，所以 PDDC。又 PD=DC=1，所以222PCPDDC。由 PCBC，BC=1，得PBC的面积22PBCS。由A PBCP ABCVV，1133PBCShV，得2h ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。20092009 年高考题年高考题一、填空题填空题1.若等边ABC的边长为2 3，平面内一点M满足1263CMCBCA ，则MA MB _ 用心 爱心 专心- 28 -2在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2），B(1，-3，1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是_。【解析】设(0, ,0)My由222141 ( 3)1yy 可得

35、1y 故(0, 1,0)M【答案】(0,-1，0) 二、解答题二、解答题3.（本小题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD平面 CDE；（III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设，1AB依题意得，001B，011C ，020D ， 110E ，100F.21121M，（I），解：101BF ， 110DE .2122100DEBFDEBFDEcos

36、，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060.（II）证明：，由21121AM ，101CE 0AMCE020AD，可得，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE. 0ADCE平面，故又，因此，.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而 （III）. 0D0)(CDEEuCEuzyxu，则，的法向量为解：设平面用心 爱心 专心- 29 -.111 (1. 00），可得令，于是uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，v.3313100cosvuvuvu，所以， 4 （本题满分 15 分）如图，平面PAC 平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F

37、O分别为PA，PB，AC的中点，16AC ，10PAPC （I）设G是OC的中点，证明：/ /FG平面BOE； （II）证明：在ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，并求点M到OA，OB的距离证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 则0,0,0 , (0, 8,0), (8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F，由题意得，0,4,0 ,G因(8,0,0),(0, 4,3)OBOE ，因此平面 BOE 的法向量为(0,3,4)n ，( 4,4, 3FG

38、 得0n FG ，又直线FG不在平面BOE内，因此有/ /FG平面BOE6.（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点 。（I）若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(-1,1,2). 用心 爱心 专心- 30 -又DA=（0

39、，0，2）为平面 DCEF 的法向量，可得 cos(MN,DA)=36|DAMNDAMN 所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos36,DAMN 6 分()假设直线 ME 与 BN 共面， 8 分则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF。又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB/EN。又 AB/CD/EF，所以 EN/EF，这与 ENEF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. 12 分7.（13 分）如图，

40、四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MDABCD 平面，NBABCD 平面，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点（1）求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值（2）在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS的长；若不存在，请说明理由 17.解析：（1）在如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标Dxyz依题意，得1(0,0,0) (1,0,0)(0,0,1),(0,1,0), (1,1,0),(1,1,1),( ,1,0)2DAMCBNE。1(,0, 1),( 1,0,1)2NEAM 10cos,10|NE AMNE AMNEAM ，所以异面直线N

41、E与AM所成角的余弦值为1010.A（2）假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.用心 爱心 专心- 31 -(0,1,1)AN ,可设(0, , ),ASAN 又11( , 1,0),( ,1, )22EAESEAAS .由ES 平面AMN，得0,0,ES AMES AN 即10,2(1)0.故12，此时1 12(0, ),|2 22ASAS .经检验，当22AS 时，ES 平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES 平面AMN，此时22AS .8.（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱111ABCABC中，,ABAC D、E分别为1AA、1BC的中点，DE 平面1BCC （I）证明

42、：ABAC（II）设二面角ABDC为 60，求1BC与平面BCD所成的角的大小。分析一分析一：求1BC与平面BCD所成的线面角，只需求点1B到面BDC的距离即可。19 （本小题满分 12 分， （）问 5 分， （）问 7 分）如题（19）图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，,22CSDS CSAD；E为BS的中点，2,3CEAS求：（）点A到平面BCS的距离；（）二面角ECDA的大小 （）如答（19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC 分别为 x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,)AAAA xyz，因平面,CODABCD ADCDADCO

43、D平面故平面用心 爱心 专心- 32 -即点 A 在 xoz 平面上，因此01AAyzADuuu v，又22213,22 01AAxASxAuuv从而（，）因 AD/BC，故 BC平面 CSD，即 BCS 与平面yOx 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距离为2Ax .()易知 C(0,2,0)，D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点.BCS 为直角三角形 ,知 22 2BSCEuu vuuv设 B(0,2, BZ)，BZ0，则AZ2，故 B（0，2，2） ，所以 E（0，1，1） .在 CD 上取点 G，设 G（11,0 x y） ，使 GECD .由11( 2, 2,0),(,1,1

44、),0CDGExyCD GE uuu vuu u vuuu v uu u v故1122(1)0 xy 又点 G 在直线 CD 上，即/CGCDuuu vuuu v，由CGuuu v=（11,2,0 x y ） ，则有11222xy 联立、，解得 G2 4(,0)33,故GEuu u v=22(,1)33.又由 ADCD，所以二面角 ECDA 的平面角为向量GEuu u v与向量DAuu u v所成的角，记此角为 .因为GEuu u v=2 33，(0,0,1),1,1DADAGE DAuu u vuu u vuu u v uu u v,所以 3cos2GE DAGEDAuu u v uu u

45、vuu u vuu u v故所求的二面角的大小为 6.作AGBD于G，连GC，则GCBD，AGC为二面角ABDC的平面角，用心 爱心 专心- 33 -60AGC.不妨设2 3AC ，则2,4AGGC.在RT ABD中，由AD ABBD AG，易得6AD . 设点1B到面BDC的距离为h，1BC与平面BCD所成的角为。利用11133B BCBCDSDESh，可求得h 2 3，又可求得14 3BC 11sin30 .2hBC即1BC与平面BCD所成的角为30 . 分析二分析二：作出1BC与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BCAFED 面，所以面AFEDBDC 面。由分析一易知：四边形AFED

46、为正方形，连AEDF、，并设交点为O，则EOBDC 面，OC为EC在面BDC内的射影。ECO即为所求。以下略。分析三：分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则1BC与平面BCD所成的角即为1BC与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。9 （本小题共 14 分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD 底面，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面AECPDB 平面； （）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所

47、成的角的大小.【解法解法 2】2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 设,ABa PDh用心 爱心 专心- 34 -则,0,0 , ,0 ,0, ,0 ,0,0,0 ,0,0,A aB a aCaDPh，（）, ,0 ,0,0, ,0ACa aDPhDBa a ，0,0AC DPAC DB ，ACDP，ACDB，AC平面 PDB，平面AECPDB 平面.（）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，1120,0,2,222PaEaaa， 设 ACBD=O，连接 OE， 由（）知 AC平面 PDB 于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， 1122,0,0,2222EAa

48、aaEOa ，2cos2EA EOAEOEAEO ，45AOE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45.10.（本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分） 如题（18）图，在五面体 ABCDEF 中，AB/DC，BAD=2，CD=AD=2.，四边形 ABFE 为平行四边形，FA平面ABCD，FC=3，ED=7，求： （）直线 AB 到平面 EFCD 的距离： （）二面角 F-AD-E 的平面角的正切值，18.（本小题满分 12 分）如图 4，在正三棱柱111ABCABC中，2ABAAD 是11AB的中点，点 E 在11AC上，且DEAE。（I）证明平面ADE 平面1

49、1ACC A（II）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。 用心 爱心 专心- 35 -解 （I） 如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA 平面111ABC又 DE平面 A1B1C1，所以 DEAA1.而 DEAE。AA1AE=A 所以 DE平面 AC C1A1，又 DE平面 ADE，故平面 ADE平面AC C1A1。解法解法 2 2 如图所示，设 O 使 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A1=2，则 AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（3，0，0） ， C1（0，1，2） ， D（23，-21，2） 。易知AB=(3，1，0)， 1

50、AC=(0，2，2)， AD=(23，-21，2） 设平面 ABC1的法向量为 n=（x，y，z）,则有, 022, 031zyACnyxABn解得 x=-33y， z=-y2，故可取 n=(1，-3，6)。所以，cos(nAD)=ADnADn=31032=510。由此即知，直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为510。用心 爱心 专心- 36 -11.（本小题满分 12 分） 如图 3，在正三棱柱ABC-1A1B1C中，AB=4, A1A=7,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE1AE（）证明：平面1ADE平面11ACC A; （）求直线AD和平面1ADE所成角的正弦值。解法 2

51、2 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,), 1A.(2,0, 7), D(-1, 3), E(-1,0.0)易知1AB=（-3，3，-7） ，DE=（0，-3，0） ，AD=（-3，3，0）设 n=（x，y，z）是平面1ADE 的一个法向量，则1303370n DEyn A Dxyzuuu vuuu u v 用心 爱心 专心- 37 -解得7,03xz y 故可取 n=（7,0,-3， ）于是 =3 72184 2 3 由此即知，直线AD和平面1ADE所成的角是正弦为21812 （本小题满分 12 分）在四棱锥PABC

52、D中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，4PAAD，2AB . 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证：平面ABM平面PCD； （2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B， (2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M；设平面ACM的一个法向量( , , )nx y z，由,nAC nAM 可得：240220 xyyz，令1z ，则(2, 1,1)n 。设所求角为，则6sin3CD nCD n ，

53、 所以所求角的大小为6arcsin3。（3）由条件可得，ANNC.在Rt PAC中，2PAPN PC,所以83PN ,则103NCPCPN, 59NCPC，所以所求距离等于点P到平面CA M距离的59，设点cos,nADn ADnADuuu ruuu ruuu ryxzDMCBPANO用心 爱心 专心- 38 -P到平面CA M距离为h则2 63AP nhn ，所以所求距离为510 6h927。19（本小题满分 12 分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE 平面；（II）设线段CD的中点

54、为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMBCE平面？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角FBDA的大小。()因为ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以 AEAB.又因为平面 ABEF平面 ABCD,AE平面 ABEF,平面 ABEF平面 ABCD=AB,所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz.设 AB=1,则 AE=1，B（0，1，0） ，D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为 FA=FE, AE

55、F = 45,所以AFE= 90.从而，1 1(0, )2 2F.所以1 1(0, )2 2EF ,(0, 1,1)BE ,(1,0,0)BC .110022EFBE ,0EFBC .所以 EFBE, EFBC.用心 爱心 专心- 39 -因为 BE平面 BCE,BCBE=B ,所以 EF平面 BCE. ()存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM平面 BCE. M ( 0,0, 12 ), P ( 1, 12,0 ). 从而PM =1 1( 1, )2 2 ,于是PM EF =1 1( 1, )2 2 11(0,)22=0 所以 PMFE,又 EF平面 BCE，直线 PM 不在平面 BCE

56、 内， 故 PMM平面 BCE. 8 分()设平面 BDF 的一个法向量为1n，并设1n=（x,y,z）.110BD （，）uuu v ， 3 102 2BF （，）uu u v11n0n0BDBFu v uu u vgu v uu u vg 即 xy031yz022取 y=1，则 x=1，z=3。从而1n113 （，）。取平面 ABD 的一个法向量为2n （0，0，1）。12212n n33 11cos(n ,n )1111 1nn1uv uu vu u v uu vguv uu vg。故二面角 FBDA 的大小为 arccos3 1111。12 分14.（本题满分 14 分）如图，在直三棱

57、柱111ABCABC中，12AABCAB,ABBC,求二面角111BACC的大小。 简答：3用心 爱心 专心- 40 -20082008 年高考题年高考题解答题解答题1.1. （20082008 全国全国1919） （本小题满分（本小题满分 1212 分）分）如图，正四棱柱如图，正四棱柱1111ABCDABC D中，中，124AAAB，点，点E在在1CC上且上且ECEC31（）证明：）证明：1AC 平面平面BED；（）求二面角）求二面角1ADEB的大小的大小以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz依题设，1(2 2 0)(0 2 0)(0 21)(2 0 4)BC

58、EA，(0 21)(2 2 0)DEDB ，11( 2 24)(2 0 4)ACDA ，（）证明证明 因为10AC DB ，10AC DE ，故1ACBD，1ACDE又DBDED，所以1AC 平面DBE（）解解 设向量()xyz，n是平面1DAE的法向量，则DEn，1DA n故20yz，240 xz令1y ，则2z ，4x ，(412)，n1AC，n等于二面角1ADEB的平面角，ABCDEA1B1C1D1ABCDEA1B1C1D1yxz用心 爱心 专心- 41 -NMABDCOxyzNMABDCOP4214,cos111CAnCAnCAn 所以二面角1ADEB的大小为14arccos422.2

59、. （20082008 安徽）安徽）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC, OAABCD 和和, 2OA ,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD和和；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点 B 到平面OCD的距离。作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为, ,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0), (1,0,0), (0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN,(1)(1)证明证明 22222(1, 1),(0, 2),(, 2)44222MNOPOD 设平面OC

60、D的法向量为( , , )nx y z,则0,0n OPn OD 即 2202222022yzxyz取2z ,解得(0,4,2)n 22(1, 1) (0,4,2)044MN n MNOCD和和(2)(2)解解 设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(, 1)22ABMD 用心 爱心 专心- 42 - 1cos,23AB MDABMD , AB与MD所成角的大小为3.(3)(3)解解 设点B到平面OCD的距离为d，则d为OB 在向量(0,4,2)n 上的投影的绝对值, 由 (1,0, 2)OB , 得23OB ndn .所以点B到平面OCD的距离为233.3. （20082008 湖南湖