2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题六平面向量的数量积及其应用专题检测题组

1、2023新高考数学第一轮专题练习6.2平面向量的数量积及其应用一、选择题1.(2022届吉林名校10月联考,5)已知3个非零平面向量a,b,c,下列选项中正确的是()A.若a+b=0,则=0B.若ab=ac,则b=cC.若(ab)c=(ac)b,则b=cD.a,b,c两两之间的夹角可以都是钝角答案D对于选项A,当a与b共线时,也可以满足已知条件,所以A错;对于选项B,a可能为0,所以B错;对于选项C,向量数量积运算不满足结合律,所以C错;对于选项D,a,b,c两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120,所以D正确,故选D.2.(2022届云南质检(一),3)在RtABC中,ACBC,D点是AB边

2、的中点,BC=8,CA=12,则ABCD的值为()A.-40B.52C.92D.-18答案A在ABC中,CD=12(CA+CB),AB=CB-CA,所以ABCD=12(CB2-CA2)=12(82-122)=-40,故选A.3.(2022届贵阳摸底,6)在ABC中,BAC=90,AB=AC=3,若点D,E分别是斜边BC的三等分点,则ADAE的值为()A.2B.5C.4D.5答案CBAC=90,AB=AC=3,以A为坐标原点,AB、AC所在直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(3,0),C(0,3).因为D,E分别是BC的三等分点,所以可取E(2,1),D(1,

3、2),则AD=(1,2),AE=(2,1),所以ADAE=12+21=4.故选C.4.(2022届河南三门峡11月模拟,10)已知菱形ABCD的边长为4,点M是线段CD的中点,BN=2NC,则AN(BM-BN)=()A.-409B.409C.-209D.209答案A由已知得AN=AB+BN=AB+23AD,BM-BN=NM=CM-CN=-12AB+13AD,则AN(BM-BN)=23AD+AB13AD-12AB=1323AD2-12AB2=132316-1216=329-8=-409,故选A.5.(2021郑州一模,4)设a,b为单位向量,且|a-b|=1,则|a+2b|=()A.3B.7C.

4、3D.7答案B由a,b为单位向量,且|a-b|=1,可得a2-2ab+b2=1,可得ab=12,则|a+2b|=a2+4ab+4b2=1+2+4=7.故选B.6.(2022届皖南八校联考(一),11)设单位向量a与非零向量b的夹角是23,且|a-b|=3|a|,则|a-tb|的最小值为()A.33B.32C.12D.1答案B由|a-b|=3|a|可得a2-2ab+b2=3a2,又ab=|a|b|cos 23=-12|a|b|,|a|=1,从而|a|=|b|=1,|a-tb|=|a-tb|2=a2-2tab+t2b2=t2+t+1=t+122+34,当且仅当t=-12时,|a-tb|取最小值32

5、,故选B.7.(2019课标,8,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案B解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=12,又0,所以=3,故选B.解法二:如图,令OA=a,OB=b,则BA=OA-OB=a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以AOB=3,即=3.故选B.思路分析由两向量垂直的充要条件建立方程求解;另外一个思路是在三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.8.(2020河南十所名校联考,7)

6、已知非零向量a,b满足|a|=|b|,若a,b夹角的余弦值为1930,且(a-2b)(3a+b),则实数的值为()A.-49B.23C.32或-49D.32答案D由(a-2b)(3a+b)得(a-2b)(3a+b)=0,即3a2-5ab-2b2=0,|a|=|b|,cos=1930,ab=|a|b|cos=|b|21930=1930|b|2.32|b|2-51930|b|2-2|b|2=0,又知|b|0,32-196-2=0,即182-19-12=0,解得=32或-49,又0,=32,故选D.思路分析由|a|=|b|以及垂直关系建立关于的方程,解方程求得的值,此处要注意的取值范围.9.(202

7、2届成都蓉城名校联盟联考一,5)若向量a=(3,x),|b|=5,ab=10,a与b的夹角为60,则x=()A.16B.4C.7D.7答案C由题意得ab=|a|b|cos 60=52|a|=10|a|=4,故|a|=32+x=4,解得x=7.故选C.10.(2022届山西朔州怀仁期中,9)下列说法中正确的是()A.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+b的夹角为锐角,则实数的取值范围是-53,+B.向量e1=(2,-3),e2=12,-34,可以作为平面内所有向量的一组基底C.非零向量a和b,满足|a|b|,且两个向量同向,则abD.非零向量a和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a

8、与a+b的夹角为30答案D对于A,a+b=(1+,2+),因为a与a+b的夹角为锐角,所以cos=a(a+b)|a|a+b|=(1,2)(1+,2+)12+22(1+)2+(2+)2(0,1),解得-53且0,故A中说法错误;对于B,e1=4e2,所以e1e2,故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B中说法错误;对于C,两个向量的模可以比较大小,但两个向量不能比较大小,故C中说法错误;对于D,不妨令|a|=|b|=|a-b|=1,则|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=2-2ab=1,所以ab=12,则|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=3,所以|a+b|=3,所以cos

9、=a(a+b)|a|a+b|=1+1213=32,因为0,所以=6,故D中说法正确.故选D.11. (2022届吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy中,x轴的正方向与y轴的正方向成60角,向量e1是与x轴正方向同向的单位向量,向量e2是与y轴正方向同向的单位向量,若向量OP=xe1+ye2,则称有序数对为向量OP的坐标,记作OP=.在此斜坐标系xOy中,已知向量a=,b=,则向量a与b夹角的大小为()A.6B.3C.2D.23答案C由题意得|e1|=|e2|=1,e1e2=|e1|e2|cos 60=12,因为a=,b=,即a=e1+2e2,b=5e1-4e2,所以ab=(e1+2e2

10、)(5e1-4e2)=5e12+6e1e2-8e22=-3+6e1e2=0,即ab,所以=2,故选C.二、填空题12.(2022届江西赣州赣县三中期中,15)已知AM,BN分别为圆O1:(x+1)2+y2=1与O2:(x-2)2+y2=4的直径,则ABMN的取值范围为.答案0,8解析如图.ABMN=(AO1+O1O2+O2B)(MO1+O1O2+O2N)=O1O2+(AO1+O2B)O1O2-(AO1+O2B)=O1O22-(AO1+O2B)2=9-|AO1+O2B|2.而|AO1+O2B|2-1,2+1=1,3,ABMN0,8.13.(2022届吉林通化梅河口五中月考,16)若OA=(3,-

11、4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),ABC为锐角,则实数m的取值范围是m-34.点O在ABC所在的平面内,若OAOB=OBOC=OAOC,则点O为ABC的垂心.点O在ABC所在的平面内,若2OA+OB+3OC=0,SAOC,SABC分别表示AOC,ABC的面积,则SAOCSABC=16.点O在ABC所在的平面内,若满足AOAB|AB|=AOAC|AC|且COCA|CA|=COCB|CB|,则点O是ABC的外心.以上命题为假命题的序号是.答案解析对于,BA=OA-OB=(-3,-1),BC=OC-OB=(-1-m,-m),因为ABC为锐角,所以cosABC=BABC|BA|BC

12、|=3+4m10(1+m)2+m20,即m-34,又BA与BC不共线,所以3m-(1+m)0,所以m-34且m12,故中命题是假命题.对于,因为OAOB=OBOC,所以(OA-OC)OB=0,即CAOB=0,因此CAOB,同理OACB,OCAB,所以点O为ABC的垂心,故中命题是真命题.对于,若E,F分别是边BC,AC的中点,则OC+OB=2OE,OA+OC=2OF,所以2OA+OB+3OC=2(OA+OC)+(OB+OC)=4OF+2OE=0,故OE=-2OF,即E,O,F三点共线且OE=2OF,如图a.过E,O,B作AC边的垂线段,长度分别为h1,h2,h3,易知21=13,13=12,则

13、23=16,所以SAOCSABC=16,故中命题是真命题.对于,如图b,作ODAB于D,OEAC于E,OFBC于F,则AOAB|AB|=|AD|,AOAC|AC|=|AE|,COCA|CA|=|CE|,COCB|CB|=|CF|,所以|AD|=|AE|,|CE|=|CF|,易知O为ABC的内心,故中命题是假命题.图a图b14.(2022届河南段考三,14)已知向量a=(-4,x),b=(3,2),若ab,则|a|=.答案213解析因为ab,所以-43+2x=0,得x=6,故|a|=(-4)2+62=213.15.(2022届贵阳月考,14)已知平面向量a,b的夹角为3,且a=(2,0),|b|=1,则|2a-b|=.答案13解析由a=(2,0)得|a|=2,又a,b的夹角为3,|b|=1,故(2a-b)2=4a2-4ab+b2=4|a|2-4|a|b|cos3+|b|2=13,所以|2a-b|=(2a-b)2=13.16.(2022届安徽蚌埠调研,14)已知|a|=1,|b|=2,|a-2b|=13,则向量a、b的夹角为.答案3解析设向量a、b的夹角为,因为|a-2b|=13,所以|a-2b|2=13,即1+16-8cos =13,得cos =12,因为0,所以