高中数学《排列与组合》文字素材4 新人教A版选修2-3

1、第十章 排列、组合和二项式定理1.分类计数原理和分步计数原理（1）分类相加原理：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中又有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，在第n类方法中又有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N= m1+ m2+mn种不同的方法。（2）分步相乘原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，在第n类方法中又有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N= m1× m2××mn种不同的方法。分类原理和分步原理的比较分类分步相同点目的是为了计算完成一件事的方法数不同点每一类方法中的任一方法使出

2、，任务即完成（一招使出即致敌死命）；各类方法相互独立；完成这件事的方法数为各类数的总和。一步完成，任务没法完成（功力不足，一招无法致敌死命）；各步骤相互联系，所有步骤完成任务才完成；完成这件事的方法数为各步骤的积。在解具体题目时，要明确:任务是什么?有什么要求？在这个要求下，任务是一步完成还是分步？从而确定是加法原理还是乘法原理。例（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有_种。（答：任务是投放5封信。一封信一封信地放，每一封信都有3种放法，所有信放完，任务结束。故共有3×3×3×3×3=35种）；（2）从4台甲型和3台乙型电视机中任意取出3台，其中至少

3、要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有_种。（答：任务是选3台电视，要求甲乙至少各有一台，故只有两类取法，甲2乙1或者甲1乙2，故共有×+×=30，若是甲乙先各取一台，然后从剩下的那堆电视机中任选一台，故共有4×3×5=60，是30的2倍，这种做法是错的。错因：第一步甲乙各一台的时候，如取的是1A，第二步任取一台取的是B，就和第一步取的是1B第二步取的是A重复，也就是说每一种取法都重复了一次。）；（3）从集合A=1，2，3和B=1，4，5，6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_（答：任务是确定x、y值，构造不同点的坐标。

4、构成点的x、y有两种来源；x从A中取，y从B中取，不同的点有3×4=12个， x从中B取，y从A中取，有4×3=12个，相当于交换x、y坐标，但注意到（1，1）交换x、y位置后仍然不变，故总数为3×4+4×31=23个）。2.排列（1）排列定义：从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。如从1，2，3，4中取出1，2两个数，然后按从小到大排成一排，即为12.从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个的排列数，用符号表示。（2）排列数公式 =n×(

5、n-1)×(n-2)××(n-m+1)= （m，nN*，且mn）把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时排列数为= n×(n-1)×(n-2)××3×2×1=n！注：n！就是正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘，规定0！=13.组合（1）组合定义：从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个的组合数，用符号表示。（2）组合数公式 （m，nN*，且mn）（3）组

6、合数的性质性质 性质2 4.主要解题方法（1）优限法：受限元素或者受限位置优先安排。例：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的六种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种。（答：6种材料4个位置，办公室不用1号石材，所以先从其余5种选出一种装饰办公室，再从包括1号的剩下的5种中选出3种装饰另外3处地方，共有5=300）。（2）插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入。例： 3人坐在一排八个座位上，若每人的左右两边都

7、有空位，则不同的坐法种数有_种（答：三个人要坐3把椅子，将没人坐的5把椅子摆成一排，因为椅子没区别，故不能排列，然后三个人搬着他们的椅子插入到中间4个空隙中，有种； 某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入种数为_（答：问插入种数，故原来的排法数不能算进来。5个节目产生6个空隙，节目插进来时又分两类，相邻内部还有先后，有；不相邻有，共有42种，或者用连续插入的办法，先插入第一个节目，有六个空隙，种方法，第一个节目插进去之后，有个空隙，第二个节目有种方法，共与种）。 4个男生3个女生排成一排，要求女生不相邻，则有_种不同

8、排法（答：回。（3）捆绑法：对于某几个元素要求相邻的问题，可把需要相连的元素捆绑在一起，看成一个大元素，和其余元素排好之后松绑，内部再排。例：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_.(答：把女生捆在一起和4个男生全排是，然后女生再排，是，共有=2880)； 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰有3枪连在一起的情况的不同种数为_.(答：不中的4枪都一样，是相同元素，它们隔出5个空隙，把中的3枪捆在一起看成一个元素，与另一次打中的不能相邻，问题就成了把2个元素插入到5个位置中，有种)。（4）隔板法；相同元素分组问题用隔板法，就是在n个相同元素间的(n-1)个空中插入若干个

9、（b）隔板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。例：10个相同的球分给3个人，每人至少一个，有多少种分法？每人至少两个呢？（答：在10个球之间的空隙插入两块隔板即可把球分成3堆，每堆至少一个，|，故共有=36种；若要求至少2个，则三个人先取走了6个，问题成了剩下四个球如何分给甲乙丙三人，仍然用隔板法。一.两个隔板放置在不同位置：，种。二.两个隔板放置在同一位置：种。故共有15种。有穷举法：甲0乙0丙4；甲0乙1丙3；甲0乙2丙2；甲0乙3丙1；甲0乙4丙0；甲1乙0丙3；甲1乙1丙2；甲1乙2丙1；甲1乙3丙0；甲2乙0丙2；甲2乙1丙1；甲2乙20丙； 甲3乙0丙1；甲3乙1丙0；甲4乙0

10、丙0.共15种）。（5）排除法，反面明了，用总数减去不符合要求的。例：在平面直角坐标系中，由六个点O(0,0)、A(1,2)、B(2,4)、C(6,3)、D(-1,-2)、E(-2,-1)可以确定多少个三角形？（答：注意到OABD共线，OCE也共线，故共有种）。（6）无序问题退序法。例：有相同的5个红球和4个白球排成一列，有多少种不同的排法？（答：若不考虑红球、白球内部的顺序，把红、白9个球全排列有种，由于红球、白球是相同的，所以红球、白球之间不需要有顺序关系，所以必须退序，即除以它们各自的全排列数，有）.7个人站成一排，甲乙丙所排次序固定不变（这三人可相邻也可不相邻），有多少种不同排法？（答

11、：不考虑限制条件有，然后甲乙丙退序，有）个苹果分给个人，每人个，有多少种分法？若是分成两堆，每堆个，有多少种分法？（答：第一个问题中，先给第一个人个，再把剩下个给第二个人，有种。第二个问题与第一个问题不同，只要分成堆，是没有顺序的，如第一次拿出的是，剩下做一堆，与第一次拿出的是，剩下一堆重复，故分好后要退序，总数为。（7）分类法，互斥问题用分类法。例：某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽一辆车，则不同的抽法有多少种？（答：每个车队先各抽一辆车，剩下3辆车从7个车队抽出，分三类，来自1个车队有；来自2个车队有2；来自3

12、个车队有，共有+2+=84种）小结：在解排列组合问题时，一般来讲，特殊元素、特殊位置优先考虑，这就是从元素和位置两个角度分别考虑列式，叫元素分析法和位置分析法。这两种方法可以在同一道题中都用到。例如，某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止。则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况数是_(答：本题次品被发现的情况，故实质上是要排好前面5个位置，后面的5个不用管。先选出一只次品放在第五次的位置，其余三只放在前四个位置中的三个，余下一个位置放一只正品。_ _ _ _ _5_, ).本题先考虑的是元素（次品），然后考虑位置（前面5个位置中最后剩下的一个）。4.二项式定理(