发现初等数学新定理的九种方法

1、发现初等数学新定理的九种方法松原市实验高级中学 王恩权近年来我国初等数学研究呈现出一派大好势头，新成果层出不穷，新开拓研究领域不断扩大。有些成果已经与中学数学有机结合起来，如数阵问题已经出现在高考题或数学竞赛题中。因此有必要就初等数学的研究问题做些探讨。一个定理的形成和发展是有一定的过程的，一个应用范围较广的定理，往往是从应用范围较小的结论逐步推广而成的，而这个应用范围较小的结论往往又源于一两个特例，因此一个数学定理有可能从不同角度和不同侧面进行推广。根据多年的体会，笔者把发现初等数学新定理的方法加以分类，并试图找到一般规律。由于切身经历，更有利于从实质上对方法进行归纳，因此文中的范例，尽量取

2、材于笔者近年来发表的初等数学研究新成果。如果我们在教学中，不仅教给学生定理的内容和证明，还教给学生定理的发现过程和发现方法，不仅有利于培养学生思维的严谨性，同时还培养了学生的创造性思维。长此以往对于培养学生的创造能力，为未来培养对社会有用的合格人才，无疑是大有益处的。这也符合新教材理念的要注重“知识与技能，过程与方法，态度与情感”的要求。 一 形象方法的推广由一种形象所具有的规律，推广到其它形象所具有的规律，如从平面到空间，从三角形到多边形，从线段，三角形，四面体到n维欧氏空间单纯形等。如：费哈不等式：设的三边长为，面积为，则： （1）本文中不等式取等号的条件全部略去。把（1）式中边长与面积和

3、四面体中的棱长与侧面积，棱长与体积或侧面积与体积做类比，可得到费哈不等式在空间个四面体中推广的几个定理：定理1.11 设个四面体的顶点所对的面积为，三边长为（和有 定理1.2 1 设个四面体的三对棱长为），它们对应的对棱间距离的倍分别为，体积为则定理1.31 设四面体的体积为，顶点所对面的面积为，规定，则二 演绎归纳方法的推广有时运用已有的定理、公式反复演绎推导，得到一系列新定理、公式，再对这些定理、公式进行归纳，可能发现定理的推广。如：不等式：设则有： （2）文2对（2）式给出一种改进形式：设则有 （2.1）由于（2.1）限定 为正数，与（2）式条件不符，因此不是（2）式的推广。仔细研究后发

4、现这种限制是不必要的。笔者在文3证明了：设则有 （2.2）这是（2）式的一种推广形式，并且将（2.2）式中的换成对于，有 （2.3）合并（2.2）、（2.3）两式，得到（2）式的一种推广形式。定理2.13 设且不小于2，对和，有 （2.4）将（2.4）中条件改为，其它条件不变，有 （2.5）合并（2.2）、（2.5）两式有：定理2.23 设且不小于2，和有 （2.6）这也是（2）式的一种推广形式，（2.6）式中用代替，用黎曼和代替（2.6）中的，则有不等式的积分形式的推广，即积分不等式的推广：定理2.34 设且不小于2，对区间上的任意可积函数和有三 由一个问题上升为一类问题进行推广为统一局部情

5、况下的定理，常常通过归纳提出具有统一形式的设想，如果这些设想成立，则对定理进行了推广。如把无理数表成连分数问题，文5有2个公式：当，则；。为统一以上两个结果，本人用代替以上两根号中的1，2（，并证明了此猜想可行，有：定理3.16 设，则为无理数，且可表成连分数。此为以上两公式的推广和统一。四减弱定理的条件推广定理若去掉定理的条件，并不影响结论成立，可将定理推广。如关于双曲线上四点共圆问题文7有定理：等轴双曲线上四点共圆的充要条件是：笔者去掉等轴的条件，证得：定理4.18 双曲线上四点共圆的充要条件是：把双曲线改为抛物线中也有类似结论：定理4.29 如果是抛物线上四点，则这四点共圆的充要条件是：

6、。至于椭圆中也有类似结论略。五定理的逆向研究导致新定理的发现定理的逆向研究，如逆命题、充要性研究等也可能发现新定理，如二次无理数表示成的连分数都是循环连分数。但能否求出循环连分数对应的无理数？此无理数是否为二次无理数？经猜想证明后，较圆满地解决了此问题：定理5.110 循环连分数所表示的无理数是方程在上的无理根。定理5.210 若，则所表示的繁分式为：六解决实际问题导致定理的推广本人在研究建筑工地塔吊吊运物体轨迹时，发现这一问题抽象成数学问题，得到以下定理：定理6.111 从极点出发的射线，绕其端点以等角速度旋转，点的初始位置为，沿以速度做匀速直线运动，同时的端点沿极轴以速度做匀速直线运动（。

7、则点的轨迹方程为：其中为点O运动到O1后，O1M转动的角度。这一轨迹方程是阿基米德螺线的推广。七研究方法的更新导致定理的推广如：已知是上的函数，它满足，求证：为周期函数。在研究其解法及推广形式时，发现本题已有多种推广形式。笔者通过证明一个新命题：命题：若其中， （即函数与其反函数同形），则以为周期。为推广原赛题，构造函数：,求出的反函数，由命题有定理7.112 已知为上的函数，满足则是以2为周期的周期函数。当时，即为原竞赛题。八解决他人未解决的抽象得到新定理数学中有许多他人未能解决的猜想，如能攻克，也能推出新定理。如第5届祖冲之杯竞赛第六题：A平面上有个点（，如果其所有两点间的距离取个不同值，

8、若则称由这个点及任意两点的连线构成的图形为祖冲之O图形，写出不少于4个四点的祖冲之图形， 显然正多边形都是祖冲之图形（称为规范的），把非正多边形祖图11111CB冲之图形称为奇异的祖冲之图形，如图 为四点奇异的祖冲之图形。（其中 为正三角形，为中心）。1.当为奇数时，有没有奇异的祖冲之图形？经反复实验，本人找到一个十三个点的奇异祖冲之 图2图形，如图2。详文见文12（其中）为正六边形，为中心）。则为十三点奇异的祖冲之图形。当为偶数时，是否一定存在奇异的祖冲之图形？ 以上问题本人给出肯定的证明，见文13。九从高角度审视数学竞赛题和高考题发现新定理中学数学竞赛题有时为了降低难度，能够被中学生所接受

9、，可能是某类问题的特殊形式，如果从更高角度重新审视该题，从更一般形式入手，可能推广此竞赛题，获得新定理。如第10届美国数学邀请赛第4题对杨辉三角形提出问题：杨辉三角形中哪一行存在3个连续项，使它们的比为3：4：5？关于此赛题本人在文14中给出几种推广与引申形式：定理9.114 杨辉三角形中存在3个连续项，使它们的比为.所对应的行数此3项是这行中的第项。定理9.214 杨辉三角形中存在3个连续项，使它们的比为。所对应的行数此3项是这行中的第项。定理9.314 杨辉三角形中不存在3个连续项，使它们的比其中参考文献1 .王恩权，费哈不等式在个四面体中的推广，安顺师专学报（自科版），1996年第2期；

10、2 .王坚，不等式的推广，数学通讯，1984年第1期；3 .王恩权，不等式的一般推广，安顺师专学报（自科版），1994年第4期；4 .王恩权，积分不等式的一个推广，怀化师专学报（自科版），1995年第1期；5 .邱天绪，无理数表成连分数的几个公式，数学通讯，1988年第7期；6 .王恩权，也谈无理数表成连分数，数学通讯，1989年第6期；7 .徐建生，圆与圆锥曲线相切的性质与应用，数学通讯，1988年第1期；8 .王恩权，双曲线上四点共圆的一个充要条件，湖南数学通讯，1994年第4期；9.姬士学，王恩权，抛物线上四点共圆的一个充要条件，中学数学月刊，1997年第1期；10.王恩权，求一类无限连分数表示的无理数，东疆学刊（自科版），1993年第34期；11.王恩权，阿基米德螺线的推广，数学通讯，19