初中数学勾股定理的应用

1、初中数学勾股定理的应用一解答题（共30小题）1问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上；（2）若ABC三边的长分别为、2（m0，n0，且mn），运用构图法可求出这三角形的面积为2如图，ABMN于A，CDMN于D点P是MN上一个动点（1）如图BP平分ABC，CP平分BCD交BP于点P若AB=4，CD=6试求AD的长；（2）如图，B

2、PC=BPA，BCBP，若AB=4，求CD的长3定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：ABC是勾股三角形4一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？5一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形DEFH的边长为

3、2米，坡角A=30°，B=90°，BC=6米当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时？有DC2=AE2+BC26已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面直角坐标系中的任意两点，且ACx轴于点C，BDx轴于点D（1）CD=，|DBAC|=；（用含a，b，c，d的代数式表示）（2）请猜想：A，B两点之间的距离；（3）利用猜想，若A（2，5），B（4，4），求AB两点之间的距离7在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DEAM，垂足为E（1）如图，求DE的长（用a，b表示）；（2）如图，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？8如图，

4、在四边形ABCD中，BAD=DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD的长9如图，已知在ABC中，A=90°，D是BC中点，且DEBC于D，交AB于E，求证：BE2EA2=AC210如图，在ABC中，ADBC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值11我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形（1）若ABC三边长分别是2，和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若RtABC是常态三角形，则

5、此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；（3）如图，RtABC中，ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若BCD是常态三角形，求ABC的面积12已知：如图RtABC中，C=90°，AC=+1，BC=1求：（1）RtABC的面积；（2）斜边AB的长13已知：在ABC中，B=45°，C=30°，AC=2求：（1）AB、BC的长；（2）ABC的面积14已知RtABC中，AB=c，BC=a，AC=b（1）C=90°，若a=5，b=12，求c（2）若a=3，b=5，求c15如图，在RtABC中，C=90°，A=30°

6、;，如果D是AC上的点，且当AD=4时，BDC=45°，求BC的长16如图，在四边形ABCD中，BAD=90°，AD=1.5，AB=2，连接BD（1）求BD的长度；（2）若BDBC，CD=6.5，求四边形ABCD的面积17如图，在RtABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒点D运动的速度为每秒1个单位长度（1）当t=2时，CD=，AD=；（2）求当t为何值时，CBD是直角三角形，说明理由；（3）求当t为何值时，CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由

7、18如图，在RtABC中，A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE求证：BE2=AC2+AE219如图，5×5网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点A、B、C、D均在格点上，连接BD（1）四边形ABCD的周长是，面积是；（2）求BCD的BC边上的高20如图，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13（1）求BC边上的高AD；（2）若BC边上的中线的长为a，写出a的整数部分21如图，在四边形中，B=90°，BC=4，AECD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5，AD=求：（1）AC的长；（2）四边

8、形ABCD的面积22如图，点C在线段BD上，ACBD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F（1）求证：DEAB；（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则ABD的面积用代数式可表示为；你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧23已知：如图，在四边形ABCD中，B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求DAB的度数24如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方

9、向航行吗？252015年8月5日，河南省长恒县第一中学发布了体育看台建设项目施工招标的公告，该看台的部分侧面示意图如图所示，该看台每个台阶的高度都相等，线段MN表示的是看台上方的遮阳板已知ACE=30°，CD=2m，DE=BN=1m，E=ADE=90°，MNCE（1）求CF的高度；（2）若MN=m，求点M到点C的距离26如图所示，为修铁路需凿通隧道AC，测得A=53°，B=37°AB=5km，BC=4km，若每天凿0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？27学校需要测量升旗杆的高度同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长

10、度未知经测量，绳子多出的部分长度为2m，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端6m，求旗杆的高度28省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？29如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子的顶端A到墙底端C的距离为2.4米，如果梯子的底端B沿CB向外平移0.8米至B1，求梯子顶端A沿墙下滑的距离AA1的长度30如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B

11、到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A1处，问梯子底部B将外移多少米？一解答题（共30小题）1（2016南开区一模）问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上；（2）若ABC三边的长分别为、2（m0，n0，且mn），运用构图法可求出这三角形的面积为5mn【解答】解：（1）SABC=3&#

12、215;3×1×2×2×3×1×3=；（2）构造ABC如图所示，SABC=3m×4n×m×4n×3m×2n×2m×2n=5mn故答案为：（1）3；（2）5mn2（2016安徽模拟）如图，ABMN于A，CDMN于D点P是MN上一个动点（1）如图BP平分ABC，CP平分BCD交BP于点P若AB=4，CD=6试求AD的长；（2）如图，BPC=BPA，BCBP，若AB=4，求CD的长【解答】解：（1）过点P作PEBC于E，过点B作BFCD于F，ABMN于A，CDMN于D，B

13、P平分ABC，AP=PE，在RtABP和RtEBP中，RtABPRtEBP，AB=BE=4，同理可得CE=CD=6，BC=BE+CE=10，易证四边形ABFD是矩形，BF=AD，CF=64=2，AD=4；（2）延长CB和PA，记交点为点QBPC=BPA，BCBP，QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）BAMN，CDMN，ABCD，QABQDC，CD=2AB=2×4=83（2016安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到

14、大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：ABC是勾股三角形【解答】（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y=102；（3）证明：过B作BHAC于H，如图所示：设AH=xRtABH中，BH=，RtCBH中，（）2+（1+x）2=4，解得：x=，AH=BH=，HC=1，A=ABH=45

15、76;，tanHBC=，HBC=30°，BCH=60°，B=75°，452+602=752ABC是勾股三角形4（2016贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA=20米，BC=15（米），则：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米5（2016春巢湖市校级期中）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面

16、如图所示正方形DEFH的边长为2米，坡角A=30°，B=90°，BC=6米当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时？有DC2=AE2+BC2【解答】解：如图，连接CD，设AE=x米，坡角A=30°，B=90°，BC=6米，AC=12米，EC=（12x）米，正方形DEFH的边长为2米，即DE=2米，DC2=DE2+EC2=4+（12x）2，AE2+BC2=x2+36，DC2=AE2+BC2，4+（12x）2=x2+36，解得：x=米，答：当AE为米时，有DC2=AE2+BC26（2016春长兴县月考）已知，如图，点A（a，b），B（c，d）在平面

17、直角坐标系中的任意两点，且ACx轴于点C，BDx轴于点D（1）CD=|ca|，|DBAC|=|ba|；（用含a，b，c，d的代数式表示）（2）请猜想：A，B两点之间的距离；（3）利用猜想，若A（2，5），B（4，4），求AB两点之间的距离【解答】解：（1）CD=|ca|，|DBAC|=|bd|；（2）AB=；（3）AB=3故答案为|ca|，|bd|；7（2016春台州校级月考）在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DEAM，垂足为E（1）如图，求DE的长（用a，b表示）；（2）如图，若垂足E落在点M或AM的延长线上，结论是否与（1）相同？【解答】解：（1）M是BC的中点，BC=

18、b，BM=b，AM=，BAM+DAE=BAD=90°，BAM+AMB=180°90°=90°，AMB=DAE，又B=AED=90°，ABMDEA，=，=，解得DE=；（2）垂足E落在点M或AM的延长线上时结论与（1）相同，求解过程可以与（1）完全相同8（2016春河南校级月考）如图，在四边形ABCD中，BAD=DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD的长【解答】解：BAD=DBC=90°，ADB、BDC均是直角三角形，由题意得，AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，在RtABD中，BD=5c

19、m，在RtBDC中，DC=13cm9（2016春嘉祥县校级月考）如图，已知在ABC中，A=90°，D是BC中点，且DEBC于D，交AB于E，求证：BE2EA2=AC2【解答】证明：连接CE，D是BC中点，DEBC，BE=CE，A=90°，CE2EA2=AC2，BE2EA2=AC210（2016春孝义市月考）如图，在ABC中，ADBC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值【解答】解：AB=3，BD=2，AD=，又ADC=90°，AC=，AC的值是11（2016春重庆校级月考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形例如：某三

20、角形三边长分别是5，6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形（1）若ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若RtABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为：（请按从小到大排列）；（3）如图，RtABC中，ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若BCD是常态三角形，求ABC的面积【解答】解：（1）22+42=4×（）2=20，ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形故答案为：是；（2）RtABC是常态三角形，设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，则a2+b2=c2，a2

21、+c2=4b2，则2a2=3b2，故a：b=：，设a=x，b=x，则c=x，此三角形的三边长之比为：故答案为：；（3）RtABC中，ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，BCD是常态三角形，AD=BD=DC，CD2+BD2=4×62，解得：BD=DC=6，则AB=12，故AC=6，则ABC的面积为：×6×6=答：ABC的面积为12（2016春虞城县校级月考）已知：如图RtABC中，C=90°，AC=+1，BC=1求：（1）RtABC的面积；（2）斜边AB的长【解答】解：（1）S=ACBC=×（+1）（1）=3；（2）由勾股定理得

22、：AB2=AC2+BC2=（+1）2+（1）2=16，即AB=413（2016春虞城县校级月考）已知：在ABC中，B=45°，C=30°，AC=2求：（1）AB、BC的长；（2）ABC的面积【解答】解：（1）过点A作ADBC于D，在RtACD中，C=30°，AC=2，AD=AC=1，CD=在RtABD，B=45°，AD=BD=1，由勾股定理求得：AB=，BC=BD+CD=1+；（2）S=ADBC=×1×（1+）=14（2016春台州校级月考）已知RtABC中，AB=c，BC=a，AC=b（1）C=90°，若a=5，b=12，

23、求c（2）若a=3，b=5，求c【解答】解：（1）由勾股定理得：c=13；（2）当边c为直角边，边b为斜边时，c=4；当边c为斜边，c=4；即c=4或15（2016春安定区校级月考）如图，在RtABC中，C=90°，A=30°，如果D是AC上的点，且当AD=4时，BDC=45°，求BC的长【解答】解：设BC=x，在RtABC中，C=90°，BDC=45°，DBC=45°，CD=BC=x，AC=AD+CD=4+x，A=30°，AB=2x，（2x）2=x2+（x+4）2，解得：x=2+2或2+2（舍），即BC的长是2+216（2

24、016春梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，BAD=90°，AD=1.5，AB=2，连接BD（1）求BD的长度；（2）若BDBC，CD=6.5，求四边形ABCD的面积【解答】解：（1）如图，在四边形ABCD中，BAD=90°，AD=1.5，AB=2，由勾股定理，得BD=2.5（2）BDBC，DBC=90°，BC=6，S四边形ABCD=SABD+SBCD=AB×AD+BC×BD=917（2016春梅河口市校级月考）如图，在RtABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，

25、当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒点D运动的速度为每秒1个单位长度（1）当t=2时，CD=2，AD=8；（2）求当t为何值时，CBD是直角三角形，说明理由；（3）求当t为何值时，CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由【解答】解：（1）t=2时，CD=2×1=2，ABC=90°，AB=8，BC=6，AC=10，AD=ACCD=102=8；故答案是：2；8（2）CDB=90°时，SABC=ACBD=ABBC，即×10BD=×8×6，解得BD=4.8，CD=3.6，t=3.6÷1=3.6秒；CBD=90

26、6;时，点D和点A重合，t=10÷1=10秒，综上所述，t=3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；BD=BC时，如图2，过点B作BFAC于F，则CF=3.6，CD=2CF=3.6×2=7.2，t=7.2÷1=7.2，综上所述，t=6秒或7.2秒时，CBD是以BD或CD为底的等腰三角形18（2016春梅河口市校级月考）如图，在RtABC中，A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE求证：BE2=AC2+AE2【解答】证明：如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，

27、CE=BE在RtABC中，A=90°，由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2BE2=AC2+AE219（2016春梅河口市校级月考）如图，5×5网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点A、B、C、D均在格点上，连接BD（1）四边形ABCD的周长是2+2，面积是8；（2）求BCD的BC边上的高【解答】解：（1）由图可知，AB=，BC=，CD=，AD=，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+2；S四边形ABCD=4×4×2×1×2×1×2×3×2&

28、#215;3=161133=8故答案为：2+2，8；（2）过点D作DEBC于点E，BC=，BCDE=×4×2，即×DE=×4×2，解得DE=20（2016春黄陂区校级月考）如图，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13（1）求BC边上的高AD；（2）若BC边上的中线的长为a，写出a的整数部分【解答】解：（1）作BC边上的高AD，设BD=x，则CD=14x根据勾股定理，得AD2=AB2BD2=AC2CD2，即225x2=169（14x）2，解得x=9则AD=12；（2）在RtADE中，ADE=90°，AD=12，DE=BDBE=9

29、7=2，a=AE=，144148169，1213，a的整数部分是1221（2016春赵县校级月考）如图，在四边形中，B=90°，BC=4，AECD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5，AD=求：（1）AC的长；（2）四边形ABCD的面积【解答】解：（1）AECD，AED=AEC=90°，AE=6，CE=AE=6，AC=6；（2）B=90°，AB=2，CD=CE+DE=6+5=11，四边形ABCD的面积=ABC的面积+ACD的面积=AB×BC+CD×AE=×2×4+×11×6=4+3322（2016

30、春潮南区月考）如图，点C在线段BD上，ACBD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F（1）求证：DEAB；（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则ABD的面积用代数式可表示为；你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧【解答】（1）证明：在RtABC和RtDCE中，RtABCRtDCE（HL）BAC=EDC（全等三角形的对应角相等），AEF=DEC（对顶角相等），EDC+DEC=90°（直角三角形两锐角互余），BAC+AEF=EDC+DEC=90°AFE=180°（BAC+AEF）=90°DEA

31、B（2）解：由题意知：SABD=SBCE+SACD+SABE=a2+b2+cx，a2+b2=c223（2016春旬阳县校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求DAB的度数【解答】解：B=90°，AB=BC=2，AC=2，BAC=45°，又CD=3，DA=1，AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，AC2+DA2=CD2，ACD是直角三角形，CAD=90°，DAB=45°+90°=135°故DAB的度数为135°24（2016春和县校级月考）如图，在B港有甲、乙两艘

32、渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？【解答】解：BM=8×2=16海里，BP=15×2=30海里，在BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，BM2+BP2=PM2，MBP=90°，180°90°60°=30°，故乙船沿南偏东30°方向航行25（2016春赵县校级月考）2015年8月5日，河南省长恒县第一中学发布了体育看台建设项目施工招

33、标的公告，该看台的部分侧面示意图如图所示，该看台每个台阶的高度都相等，线段MN表示的是看台上方的遮阳板已知ACE=30°，CD=2m，DE=BN=1m，E=ADE=90°，MNCE（1）求CF的高度；（2）若MN=m，求点M到点C的距离【解答】解：（1）在RTACD中，ACD=30°，AC=2AD，又AC2=AD2+CD2，且CD=2，4AD2=AD2+12，解得：AD=2，由图可知，共有5个台阶，故CF=AD=0.4m；（2）过点M作MPCE于点P，连接MC，MPE=E=90°，MPNE，又MNCE，四边形MNEP为矩形，MP=NE=AB+BN=AD+BN=3m，CP=CEPE=CEMN=2+1=m，在RTPCM中，MC2=MP2+CP2，MC=，故点M到点C的距离为m26（2016春汕头月考）如图所示，为修铁路需凿通隧