-初中数学竞赛定理大全

1、欧拉（Euler）线:同一三角形的 垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角 形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。欧技全、九点圆：任意三角形三边的 中点，二高的垂足及三顶点 与 点共圆，这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点， 的T。rzTv/ N外心 /外心重心重心重心2Q0厘米*00厘米垂心间线段的中点，共九个 其半径等于三角形外接圆半径 OA = 1.07 厘米。8 =1.07厘米I OK2.43 厘米费尔马点:已知P为锐角4ABC内一点，当/APB= Z BPC= / CP七120 时,PA+ PB+ PC的值最小，这个点P称为 A

2、BC的费尔马点海伦（Heron）公式:EE = 3.48 厘米CE = 3.00睡米 内£= 3.06厘大EP = 4.92 廛米CP = 3.63 星米AP = 2.33 用米ip C费尔马点）BPC = 120"PA = 120J海伦(HemM公式，1在ABC中，ih.BC. CA.的长分别为高、d % 若p=/ (a+b+c),则 A BC的面积S=./p(pa)&B = 4Q0屋米 SC = & 09厘米7CA = 5. OOSM (AB + BC + CA) = 754 .嘎米p = 7.54星朱-./p (p-AB) (p-BC) (p-CA)

3、= a94 题/； BC AD = 9.94 度册2Cp -bj (p c JA /t Zh B DAD = 3 27厘米nr+CDAP BE CEt幺E 仞股富非 IT 51度葩塞瓦（Cevaj） 定理：在 ABC中，过 ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边 BG CA AB 与点 D、E、F,则（BD/DC） （CE/EA） （AF/FB）= 1;其逆亦真BD密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED FB四条直线相交于 A、E 构成四个三角形，它们是 ABF、AAECX 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称: v7/密格尔（Miquel）云/二BD /CE /AF BD = 44

4、。厘米DC = 3.79«CE = 2.73J ER = 2.80SM 具F = 3.41厘米 FB = 3瓦厘米k C、D、E、F 六点， BCE ADCF,为密格尔点。/ JrJF-1._ 一 -'A葛尔刚（Gergonne） 点: ABC的内切圆分别切边 AB、BG CA于点D、E、F, 则AE、BF CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。西摩松（Simson） 线：已知P为 ABC外接圆周上任意一点，PD± BC, PUACPiaAB, D、E、F为垂足，则D、E F三点共线，这条直线叫做 西摩松线。黄金分割：把一条线段（AB讲成两条线段，使其中较大的线段（AC

5、诞原线段（AB） 与较小线段（BCH勺比例中项，这样的分割称为 黄金分割。AC2 = 14.0 W2M宿 CB-AB = 14.0帕普斯（Pappus） 定理：已知点Al、A2、A3在直线11上，已知点Bl、B2、B3在直线12上，且AlB2与A2B1交于点X,A1B3与A3Bi交于点Y,A2B3于A3B2交于点Z,则X、Y、Z三点共线。笛沙格（DesargueS） 定理: 已知在 ABC与ABC'中，AA'、BB'、CC三线相交于点 O,BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点 X、Y、Z,则X、Y、摩

6、莱（Morley）三角形：在已知4ABC三内角的三等分线中，分别与BG CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F,则4DEF是正三角形，这个正三角形称为 摩莱三角形。DE=厘米EF= 1.24 里来FD = $24厘亲B （托动）帕斯卡（Paskal）定理:已知圆内接六边形ABCDE用勺边AB、DE延长线交于点G,边BC EF延长线交于点H,边CD FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线。托勒密（Ptolemy） 定理: 在圆内接四边形中，AB - CD+ AD - BC= AC- BD（任意四边形都可！哇哈哈）AB CD + DA BC = 37.33 厘米ACDB = 37,33 厘米

7、C斯图尔特（Stewart）定理: 设P为 ABC边BC上一点，且BP: PC= n： m,则m (AB2)+n (AC2)=m (BP2)+n (PC2)+ (m + n) (AP2)梅内劳斯定理:在 ABC中，若在BC CA、AB或其延长线上被同一条直线截于点 X、Y、Z，则(BX/XC). (CY/YA) (AZ/ZB)=1ApolloniusP（托砌Brahmagupta，定理阿波罗尼期（ApMisY is）阅动点p与两定点a、b的距离之比等于定比 m:n，则点p的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为 阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”在圆内接四边形

8、abcd中，AC，BD，自对角线的交点 p向一边作垂线,其延长线必平分对边。阿波罗尼斯（PA = 958厘米PB = 3.63匣米PA-而-36人布拉美古塔（GC = 4竹厘米七（托动）SP = 4.27CF = 4,27 反旅GD-4.15A （托动/仁广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在 此边上的影射乘积的两倍.(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在 此边延长上的影射乘积的两倍.加法原理：做一件事情，完成它有 N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有 M2种不同的方法，在第 N类办法中有

9、M(N)种不同的 方法，那么完成这件事情共有M1+M2+ - +M(N)种不同的方法。比如说：从 北京到上海 有3种方法可以直接到达上海，1:火车ki2：飞机k23：轮船k3,那么从北京-上海的方法 n = k i+k2+k3乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有mi种不同的方法，做第二步有m2不同的方法， ，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件 事共有N=m1 m2- m3mn种不同的方法.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径)这一定理对于任意三角形ABC

10、都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R( R为三角形外接圆半径)余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c三角为A,B,C ,则满足性质：a2=b2+c2-2bc , Cos Ab2=a2+c2-2ac , Cos Bc2=a2+b2-2ab , Cos CCos C= (a 2+b2-c 2)/2abCos B= (a 2+c2-b 2)/2acCos A= (c A2+b'2-a ")/2bc解析几何中的基本公式1、两点间距离：若A(Xi,yi),B(X2,y2),则AB弋M x1)2

11、 2 必)22、平行线间距离：若 11: Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0Ci C2则:d .A%注意点：x, y对应项系数应相等。3、点到直线的距离：P(x ,y ), l: Ax By C 0贝U P至I l的距离为：dAx By C4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式:y kx bF(x,y) 0消y： ax2 bx c 0 ,务必注意0.若l与曲线交于A(x1,y1), B(x2,y2)贝 U: AB 7(1 k2)(x2 xi)25、若 A(x1,y1), B(x2, y2) ， Px, y)。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为变形后:Xix21yy21，

12、特别地:x=1时，P为AB中点且yXi X22vy22土3或匕，1X2xy2y6、若直线1i的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,则1i到l2的角为，(0,)一一kc k,适用沱围：k1, k2都存在且 k1k2 -1 , tan 1 k1 k2若1i与12的夹角为 ，则tan1 ,(0,1 kh2注意：(1) 1i到12的角，指从11按逆时针方向旋转到12所成的角,范围(0,)11到12的夹角：指11、12相交所成的锐角或直角。(2) 11 12时,夹角、到角二一。2(3)当11与12中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。iX7、(1)倾斜角,(0,);(2) a,b夹角，0,；(3)直线

13、l与平面 的夹角,0, 一 ；2(4) 11与12的夹角为，0,其中11/12时夹角 =0;2(5)二面角,(Q ;(6) 11 到 12 的角，(0,)8、直线的倾斜角与斜率k的关系a)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。b)若直线存在斜率k,而倾斜角为，则k=tan9、直线11与直线12的的平行与垂直(1)若li, I2均存在斜率且不重合：li/l 2ki=k2 li I2kik2=- 1(2)若 11: Aix B1y Ci Q l2 : A2x B2y C20若Ai、A2、Bi、B2都不为零 iii2a 且 qA2B2 C2 li I2AiA2+BiB2=0; li与l2相交A更A2

14、 B2 li与l2重合上且 J；A2 B2 C2注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母二0与0的情况10、 直线方程的五种形式名称方程斜截式：y=kx+b点斜式：y yk(x x )y y k(x x )江忠点应分斜率不存在斜率存在(i)斜率不存在：x x(2 )斜率存在时为两点式：上丛二、2 yi x2 xi截距式：x y ia b般式：Ax By C 0其中l交x轴于(a,0),交y轴于(0,b)当直线l在坐标轴上，截距相等时应分：(i)截距=0 设y=kx(2 )截距二a 0 设x _y .一 i ia a即 x+y=a(其中A、B不同时为零)22ii、直线 Ax By C 0与圆

15、(x a) (y b)r2的位置关系有三种Aa Bb C、A B2' d相离dr相切0dr相交013、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆定义I：若Fi, F2是两定点，P为动点，且|PR |PF2 2a怛石 （a为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义H:若Fi为定点，l为定直线，动点P到Fi的距离与到定直线l的距离 之比为常数e （0<e<1）,则P点的轨迹是椭圆。标准方程：玛D定义域：x0域：x b yi ：(a b 0)长=2b 焦距：ba值长轴长=2a,短轴2c准线方程：x焦半径：PFiPFie(x2-)cPF22e(- c（注意涉及焦半径用点PFi 2a |PF2

16、,P坐标表小，第一定注意：（i）图中线段的几何特征：AiFiA2F2a c, AFA2Ra cBiFilBiF2IIB2F2IB2Ra , A2B2AB2I詹一b7 等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与a, b,c有关。(2)PF1F2中经常利用余弦定理、三角形面积公式 将有关线段PFi、PF2I、2c,有关角 F1PF2结合起来,建立 |PFi +PF2、PFi| ? PF2 等关系(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:x a cos y bsin(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴 上时，其相应的性质。二、双曲线(一)定义：I若Fi, F2是两定点，|PF

17、i PF2I 2a F1F2 (a为常数)， 则动点P的轨迹是双曲线。II若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e (e>1),则 动点P的轨迹是双曲线。(二)图形：)性质22x y万程：-2 % 1 (a Qb 0)a2 b22 y2 ab21 (a 0,b 0)定义域：xx a或x a； 值域为R;实轴长=2a,虚轴长=2b焦距：2c2、一 a准线方程：x 一焦半径：PF1PF22吗X），PF1PF22a；注意：（1）图中线段的几何特征:AF1BF1顶点到准线的距离：2a一或ac;焦点到准线的距离：2ac 或cc2;两准线间的距离 c2a2c(2)2若双曲线方程为事a2 y_ b2渐近线方程:by -xa若渐近线方程为y双曲线可设为2 x 2 a2 y b22若双曲线与与a2 1有公共渐近线, b2可设为2 x-2 a2 y b20 ,焦点在x轴上， 0,焦点在y轴上）(3)特别地当a b时 离心率e ,2 两渐近线互相垂直，分别为y= x,此时双曲线为等轴双曲线，可设为 x2 y2；（4）注意 PF1F2中结合定义|PF1PF2I 2a 与余弦定理 cos F1PF2,将有关线段|pf/、