2018年高考数学(理)母题题源系列(全国1专版)专题16-导数研究函数的性质

1、 【母题来源一】【2018高考新课标1理数16】【母题原题】已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是_【答案】点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.【母题来源二】【2016高考新课标1理数7】【母题原题】函数y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【命题意图】1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(

2、对多项式函数不超过三次).2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次) 【命题规律】1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部

3、，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。【方法总结】1.求函数f(x)极值的步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左

4、右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值2.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值3.求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，

5、并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值4.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题5.利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数1【河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研考试】已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a

6、)g(b)，则b的取值范围为 ()A 22，22 B (22，22)C 1,3 D (1,3)【答案】B【解析】试题分析：由题可知f（x）ex11，g（x）x24x3（x2）211，若有f（a）g（b），则g（b）（1,1即b24b31，解得22b6，且f(1)=2，则的解集为（ ）A x|x1 B x|-1x1C x|x2 D x|-2x2【答案】A【解析】【分析】【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如f(x)f(x)构造，f(x)+f(x)0构造g(x)=exf(x)，xf(x)f(x)构造，xf(x)+

7、f(x)f(x+1)成立的x的取值范围是（ ）A (-,1) B (1,+) C D 【答案】D【解析】【分析】fx为R上的偶函数，利用导数可判断出fx在0,+上为增函数，从而得到2xx+1，两边平方后解一元二次不等式可得x的取值范围.【详解】，所以f-x=fx，fx为R上的偶函数，又fx=ex-e-x+2xx2+12，当x0时，fx0，故fx在0,+上为增函数.因f2x=f2x,fx+1=fx+1，由f2xfx+1 得到2xx+1，故3x2-2x-10，或x1，选D.【点睛】已知函数值的大小，考虑自变量的大小关系时，应该考虑函数的单调性，该性质可以通过导数或基本初等函数的单调性得到，注意利用

8、函数的奇偶性讨论一侧的单调性即可. 5【甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试】已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)f(x)对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立的是()A f(ln2)2f(0)，f(2)2f(0)，f(2)e2f(0)C f(ln2)e2f(0) D f(ln2)2f(0)，f(2)e2f(0)【答案】A【解析】【分析】【点睛】本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.6【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】设，若函数y=fx-ax2恰

9、有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】所以故选A【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等7【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】已知函数f(x)=x2+2(1-a)x+(1-a)2,g(x)=x-1，若fx和gx图象有三条公切线，则a的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】【点睛】本题考查利用导数求公切线的斜率，属难题.

10、 8【山东省日照市2018届高三5月校际联考】已知fx=ex（e为自然对数的底数），gx=lnx+2，直线l是fx与gx的公切线，则直线l的方程为A B y=-ex或y=-x-1C y=ex或y=x+1 D 【答案】C【解析】【分析】设直线l与fx=ex的切点为x1,ex1，与gx=lnx+2的切点为x2,2+lnx2，根据公切线可得x1,x2的方程组，解出x1,x2可得公切线方程.【详解】设直线l与fx=ex的切点为x1,ex1，与gx=lnx+2的切点为x2,2+lnx2，则ex1=1x22+lnx2-ex1x2-x1=ex1，消去x1得到x2-11+lnx2=0，故或者x1=1x2=1e

11、，所以切线方程为：y=x+1或y=ex，故选C.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是设出切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.9【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八）】定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+xf(x)2恒成立，则使x2f(x)-f(1)0时，g(x)0恒成立；xR都有g(x)=g(-x)f(x)满足：xR都有f(x+3)=f(x-3)；当x-3,3时，f(x)=x3-3x若关于x的不等式gf(x)g(a2-a+2)对恒成立，则a的取值范围是A R B C 0,1 D (-,01,+)【答案】D【解析

12、】【分析】x3，3时，f（x）=x33x， 求导得：f（x）=3x23=3（x+1）（x1），该函数过点（3，0），（0，0），（3，0），且函数在x=1处取得极大值f（1）=2，【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用条件求出函数的奇偶性和单调性，以及周期性是解决本题的关键，考查导数的综合应用，综合性较强，难度较大11【江苏省高邮市2018届高三上学期期初考试】已知函数fx=xlnx，gx=-x2+ax-3，对一切x0,+，2fxgx恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】-,4【解析】【分析】通过分离参数，得到关于x的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围。【详解】

13、因为2fxgx，代入解析式可得2lnx-x2+ax-3 分离参数a可得 【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题。12【东北师范大学附属中学2018届高三第五次模拟考试】已知函数f(x)=ex+alnx， 当a=1时，f(x)有最大值； 对于任意的a0，函数f(x)是(0,+)上的增函数； 对于任意的a0，都有f(x)0其中正确结论的序号是_（写出所有正确结论的序号）【答案】 【解析】【分析】由题意利用导函数研究函数的性质即可.【详解】由函数的解析式可得：，当a=1时，fx单调递增，且f1=e-10，据此可知当x1时，fx0 fx单调递增，函数没有最

14、大值，说法错误；【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13【山东省日照市2018届高三5月校际联考】若存在实常数k和b，使得函数fx和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fxkx+b和Gxkx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为Fx和Gx的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题：内单调递增；fx和gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-4；fx和gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是-4,1；fx和hx之间存在唯一的“隔离直线”y=2ex-e其中真命题的序号为_(请填写正

15、确命题的序号)【答案】【解析】【分析】由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】结合题意逐一考查所给命题的真假：下面证明hx2ex-e：令Gx=2ex-e-hx=2ex-e-2elnx，则，当x=e时,G(x)=0,当0xe时,G(x)e时,G(x)0，则当x=e时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以Gx=2ex-e-hx0,则hx2ex-e当x0时恒成立.函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2ex-e，故正确.故答案为：. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比

16、的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.14【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】已知函数有两个极值，则实数a的取值范围为_【答案】-,-2【解析】【分析】将原问题转化为函数有两个交点的问题，考查临界条件，利用导函数研究函数的切线方程即可求得最终结果.【详解】【点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知a,b,cR+(ac)，关于x的方程|x2-ax+b|=