数学建模陈东彦版课后答案

1、第一部分 练习与思考题第1章 建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源数学模型第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有名商人带名随从过河，船每次能渡人过河，试讨论商人们能安全过河时，与应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源数学模型第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？1.5 如果

2、银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的Logistic模型为，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当时发生什么情况。1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻的人口为，最大允许人口为，到时间内人口数量与成正比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道

3、需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章 初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）2.1节中的Q值方法.（3）dHondt方法： 将各宿舍的人数用正整数相除，其商数如下

4、表：1 2 3 4 5 ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.动物 体重（） 心率（次/分）田鼠家鼠兔小狗25 670200 4202000 2055000 1202.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包

5、装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.（1）分析商品的价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。(2)给出单位重量价格C与W的关系。画出它的简图，说明W越大C越小，但是随着W的增加C减小的程度变小。解释实际意义是什么。2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只

6、有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长(cm)36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量(cm)765 482 1162 737 482 1389 652 454胸围(cm)24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量

7、主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。大狗羊人马30000 8550000 7070000 72450000 382.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。组别最大体重 抓举 挺举 总成绩（） （） （） （） 1 2 3 4 5 6 7 8 91054 132.5 155 287.559 137.5 170 307.564 147.5 187.5 33570 162.5 195 357.5

8、76 167.5 200 367.583 180 212.5 392.591 187.5 213 402.599 185 235 420108 195 235 430108 197.5 260 457.52.8 速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率与，的关系。2.9 雨速的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度的表达式。2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻冲击波达到的半径与释放能量，大气密

9、度，大气压强有关（设时）。用量纲分析方法证明，是未定函数。2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。记水的流速，密度，比热，粘性系数，热传导系数，人体尺寸。证明人体与水的热交换系数与上述各物理量的关系可表为，是未定函数，定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为时的热量交换。2.12 在小说格里佛游记中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么? 2.13 战后Olympic运动会女子铅球记录

10、如下:年份1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984距离(米)13.75 15.28 16.59 17.32 18.14 19.61 21.03 21.16 22.41 23.57你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.第3章 简单的优化模型3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数，销售速率为常数，在每个生产周期内，开

11、始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间()只销售不生产，画出贮存量的图形。设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论和的情况。3.3 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高（颈部以下），宽，厚，设跑步距离，跑步最大速度，雨速，降雨量，记跑步速度为。按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋

12、雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1，建立总淋雨量与速度及参数，之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少。计算，时的总淋雨量。（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2。建立总淋雨量与速度及参数，之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少。计算时总淋雨量。（4）以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对(3)作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。图1 图23.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是和。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告

13、费在总广告中所占份的函数和。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。（1）令，则。画出的示意图。（2）写出甲公司利润的表达式。对于一定的，使最大的的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。（1）设腿长，步长，证明人体重心在行走时升高（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量，行走速度，证明单位时间所需动能为。（3）设人体质量，证明在速度一定时每秒行走 步作功最小。

14、实际上，分析这个结果合理吗。 （4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。证明结果应为步。分析这个结果合理。 病房手术室床3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。潮水通过水轮机的瞬时速度可由操作者控制，那么，要生产最大能量，应如何控制潮水的瞬时速度？3.9 为了保证病人平躺在长宽分别为，的病床上从病房进入手术室（如图所示），两条垂直的通道至少应宽多少？3.10 观察鱼在水中的运动

15、发现，它不是水平游动，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。（1）设鱼总是以常速运动，鱼在水中净重，向下滑行时的阻力是在运动方向的分力；向上游动时所需的力是在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的倍，写出这些力。 （2）证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时（见下图），沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）。（3）根据实际观察，试对不同的值（1.5，2，3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的值。第4章 数学规划模型4.1 某饲养

16、场用种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对种营养成分有一个最低标准。即对，要求第种营养成分在饲料中的含量不少于，若每单位第种原料中含第种营养成分的量为，第种原料的单价为，问应如何配制饲料才能使成本最低？工作工人1 2 3 4甲乙丙丁10 9 7 85 8 7 75 4 6 52 3 4 54.2拟分配甲、乙、丙、丁四人去干四项工作，每人干且仅干一项。他们干各项工作需用天数见右表，问应如何分配才能使总用工天数最少。4.3 某校经预赛选出，四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下

17、表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？课程学生数学物理化学外语908593799589918578738884838079874.4 某工厂生产两种标准件，A种每个可获利0.3元，B种每个可获利0.15元。若该厂仅生产一种标准件，每天可A种标准件800个或B种标准件1200个，但A种标准件还需某种特殊处理，每天最多处理600个，A，B标准件最多每天包装1000个。问该厂应该如何安排生产计划，才能使每天获利最大。4.5 将长度为500cm的线材截成长度为78cm的坯料至少1000根，98cm的坯料至少2000根，若原料充分多，在完成任务的前提下，应如何截切，使得留下的余料最少？4.6 某厂

18、有原料甲、乙，生产四种产品A，B，C，D，各参数如下表：（1）求总收入最大的生产方案；（2）当最优生产方案不变时，分别求出A，B，C，D的单价的变化范围；（3）当最优基不变时，分别求出原料甲、乙的变化范围。单位消耗产品原料A B C D限额（公斤）甲乙3 2 10 40 0 2 0.518 3单价（万元/万件） 9 8 50 194.7 某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：加工时数机床产品甲 乙 丙 丁单 价（百元/件）AB2 1 4 02 2 0 123有效时数 240 200 180 140（

19、1）求收入最大的生产方案；（2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。产品A B有效时数精加工时间2 2.42484.8 已知某厂生产有关参数：单位消耗产品原料A B C D E限额（公斤）甲乙丙0.1 0 0.2 0.3 0.10.2 0.2 0.1 0 0.30 0.3 0 0.2 0.1600500300单价（元）4 3 6 5 8（1）求最优生产方案；（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产

20、方案；（3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案；（5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；（6）若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。 4.9 要从宽度分别为3m和5m的型和型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为1.5m，2.1m和2.7m的型、型和型三种卷纸3000m，10000m和6000m。问如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少。4.10 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他

21、证券的收益需按50的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5试解答下列问题：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8，投资

22、应否改变？4.11 某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：910 1011 1112 121 12 23 34 45时间段（时）服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少

23、费用？4.12 一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15的保姆自动离职。（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。4.13 某公司将4种不同含硫量的液体原

24、料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A、B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（），售价分别为9，15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨，产品A，B的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？4.14. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是18

25、50mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？水源A水源B水库A发电站A水库B发电站B4.15 某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。已知发电站A可以将

26、水库A的1万的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）产品预测销售量（万件/周）生产率（件/小时）单位利润（元/件）AB74.5100010000.150.3水库A水库B水库最大蓄水量20001500水源流入水量本月20040下月13015水库最小蓄水量1200800水库目前蓄水量1900850请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（

27、千度是非国际单位制单位，1千度10千瓦时）4.16 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟） 秘书初试主管复试经理面试同学甲131520同学乙102018同学丙201610同学丁81015这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司？4.17 某工厂生产两种产品、，分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预

28、测销售量、生产率和盈利如下表。制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标：（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；（2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产量应满足预测销售量，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间。第5章 微分方程模型5.1 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型其中以分钟计。在时一群鲨鱼来到

29、此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是，其中是时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。（2）假设在是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数，并问时会发生什么情况？5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间放射物质的原子下降至原来的一半（称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。5.4 用具有放射性的测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生。植物吸收二氧

30、化碳时吸收了，动物食用植物从植物中得到。在活组织中的吸收速率恰好与的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收，于是的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在的衰变速率，由于的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建立用测古生物年代的模型（的半衰期为5568年）。5.5 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Lascaux古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（），而活树木样本测得的计数为6.68计数（），试确定该洞中绘画的年代；（2）1950年

31、从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（），活数标本为6.68计数（），试估计该建筑的年代。5.6 一容器用一薄膜分成容积为和的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设，每隔100s测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度各为多少。5.7 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情

32、况，如何确定模型的参数。5.8 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量的下降速度与成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为）。建立销量的模型。若广告宣传只进行有限时间，且广告费为常数，问如何变化？5.9 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。（3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。5.10 某种细菌的增长率不知

33、道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？5.11 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系数而增长或衰减，即，这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。5.12 只考虑人口的自然增长，不考虑人口的迁移和其它因素，纽约人口满足方程若每年迁入人口6000人，而每年约有4000人被谋杀，试求出纽约的未来人口数，并讨论长时间后纽约的人口状况。5.13 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为，当群体中生物很少时，每40m

34、m增加一倍。若开始时动物分别为和，求2h后群体中动物的总数。5.14 某地有一池塘，其水面面积约为，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。（1）鱼的存活空间为；（2）每鱼每需要的饲料为，市场上鱼饲料的价格为；（3）鱼苗的价格忽略不计，每鱼苗大约有500条鱼；（4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼，成鱼的重量为；（5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；（6）若为鱼重，则此种鱼的售价为 （7）该池内只能投放鱼苗。5.15 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液

35、在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型液体流动方向薄膜血管血液流动方向人工肾5.16 在鱼塘中投放尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加.（1）设尾数的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解 （2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是问如何选

36、择T和E，使从T开始的捕获量最大.5.17 建立肿瘤生长模型通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有以下现象：1)当肿瘤细胞数目超过1011时才是临床可观察的；2)在肿瘤生长初期，几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；3)由于各种生理条件限制，在肿瘤生长后期肿瘤细胞数目趋向某个稳定值(1)比较Logistic模型与Gompertz模型：，其中是细胞数，N是极限值，是参数(2)说明上述两个模型是Usher模型：的特例5.18 药物动力学中的 Michaelis-Menton 模型为（），表示人体内药物在时刻的浓度研究这个方程的解的性质. （1）对于很多药物(如可卡因)，比大得多，Michadis-M

37、enton方程及其解如何简化（2）对于另一些药物(如酒精)，比大得多，Michaeli-Menton方程及其解如何简化5.19 考虑一个受某种物质污染的湖水，假设这个湖的湖水体积（以立方米计）不变，且污染物质均匀地混合于湖水中。以记在任一时刻每立方米湖水所含污染物的克数，这是污染程度的一种合适量度，习惯称它为污染浓度。令记每天流出的湖水立方米数，由假设，这也等于每天流入湖里的水量。我们的问题是：如果某时刻污染物质突然停止进入湖水，那么需要经过多长时间才能使湖水的污染浓度下降到开始时污染的5%？5.20 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。5.21 构造一个在接种疫

38、苗成为有效防疫手段之前一种传染病蔓延如麻疹的模型。麻疹的潜伏期为0.5周，在这段时间内一个被感染的孩子表面上看来是正常的，但却会传染给别人。过了这段时间后，患病的孩子一直隔离到病愈为止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地说，麻疹流行隔年更为严重。（1）构造一个适用于三种情况的简单的微分方程模型：容易感染的、传染的以及被隔离（或痊愈）。也适用于由于出生而大量增加易感染者的情况。假设每个感染者随机地与居民接触，并以概率P传染给被感染者。（2）证明你的模型有某种周期性质。如果它不是，就加以修改，因为麻疹流行肯定是趋于周期式地出现的。（3）估计你的模型中的参数以拟合0.5周期的潜伏期及2年的周期流行的观察结

39、果。估计出的参数值是否实际？5.22 用放射性同位素测量大脑局部血流量的方法如下：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率（简称记数率）同时测量他呼出气的记数率。由于动脉血将肺部的放射性同位素输送到大脑，使脑部同位素增加，而脑血流量又将同位素带离，使同位素减少。实验证明脑血流引起局部地区记数率下降的速度与当时该处的记数率成正比。其比例系数反映该处的脑血流量，被称为血流量系数。只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺部输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出的记数率成正比。若某受试者的测试数据如下：时间（分）1.001.

40、251.501.752.002.252.502.753.00头部记数率1534152814681378127211621052947348呼出气记率223115341054724498342235162111时间（分）3.253.503.754.004.254.504.755.005.25头部记数率757674599531471417369326288呼出记数率765236251712864时间（分）5.5050756.006.256.256.757.007.257.50头部记数率25525519917515513712110794呼出气记率321111111时间（分）7.758.008.25

41、8.258.759.009.259.509.75头部记数率837365575050393531呼出气记率000000000试建立确定血流系数的数学模型并计算上述受试者的脑血流系数。5.23 给狗一次快速静脉注射常咯啉，测得血药浓度的动态数据如下：时间0 0.25 0.5 1 2 4 6浓度12.23 3.53 2.68 2.38 1.99 1.20 0.78利用这些数据估计有关二室模型的参数。5.24 多数药物是口服或静脉注射的，并且被血液吸收需要时间。同时药物将由肾排除出。给出这种情况的药物动力学模型。下列是一些关于药物动态的数据。第一种药物是磺胺嘧啶，第二种药物是水扬酸钠。用O表示口服，I

42、表示静脉注射，第2列中的“克”表示原服用量，其余的表示用药后各时刻的血药浓度。检验你的模型拟合的程度？对于不一致的现象你能怎样解释？药物动态数据用法克 1时2时4时6时8时 10时12时24时OOII4.040.1.81.82.31.83.83.72.72.83.43.33.63.92.62.73.03.52.12.32.62.02.2OII10102015.039.456.714.431.443.015.724.235.212.516.226.65.25 本世纪初，在伦敦观察到一种现象，大约每两年发生一次麻疹病流行，生物学家试图解释这一现象，他认为，易感人数有新成员不断地补充，根据这一假设，

43、试建立数学模型并解释这一现象。5.26 在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，但安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水。试建模描述这两个湖的污染情况。如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，对它们的污染情况给出进一步的分析。假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了。试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间。5.27 下表给出了五大湖中四个湖的观测数据，使用这些数据建模对其中的一个或两个湖的污染给出进一步的分析。北美五大洲的观测数据：特 征苏比利尔湖密执安湖伊利湖安大略湖长度/km宽度/nm面积/km2水 面流域陆地总

44、 和最大深度/m 平均深度/m 水的体积/km3平均年降雨/mm平均流量/（升/秒）水的平均保存时间/年5602568236712483820720040614812221736206736018949018858015117845175860281844871787501264034.83859125665879384459601715886355507202.63098519684704489013224486163686366268807.85.28 一家环境保护示范餐厅用微生物将剩余的食物变成肥料，餐厅每天将剩余的食物制成浆状并与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料，加入真菌菌种后放入容器内。

45、真菌消化这些混合原料，变成肥料。由于原料充足，肥料需求旺盛，餐厅希望增加肥料产量。由于无力添加新设备，餐厅希望用增加真菌活力的办法来加速肥料生产。试通过分析以前肥料生产记录（表），建立反映肥料生成机理的数学模型，提出改善肥料生成的建议。食物浆蔬菜下脚碎纸投料日期产出日期8611271203791051211108257775231 79 21 82 28 52 15 32 44 60 51380 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 090,7,1390,7,1790,7,2490,7,2790,8,1090,8,1390,8,2090,8,2291,4,3091,5,291,5,791,5

46、,1090,8,1090,8,1390,8,2090,8,2290,9,1290,9,1890,9,2490,10,891,6,1891,6,2091,6,2591,6,28第6章 稳定性模型6.1 一个渔场中的鱼资源若不进行捕捞按自限规律增长，若在渔场中由固定的船队进行连续的捕捞作业，单位时间的产量与渔场的数量成正比，比例系数为，试建立描述该渔场的数量的数学模型，并讨论如何控制使渔场的鱼资源保持稳定。6.2 与Logistic模型不同的另种描述种群增长规律的是Gompertz模型：其中和的意义与Logistic模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为讨论渔场鱼量的平衡点

47、及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平.6.3 Smith F E曾提出过一个在有限食物中的生物种群增长的一个简单的模型。这个模型是基于对某种昆虫的实验而提出的。与Logistic模型一样，种群个体的增长率正比于可获得的食物与用以维持生存的食物消耗量之差，即以前假设正比于种群的个体数，Smith提出当种群处于增长状态时，为了存活将需要更多的食物，从而他给出了模型其中为常数，试给出Smith研究的种群动态的模型，讨论它的平衡态及其稳定性。6.4 设一生物群体经常受流行病的侵袭。该群体一开始以自限规律增长，当总数达到时，流行病开始流行，此时群体总数变化服从规律，且，因此群

48、体总数开始减少。当群体减少至某值 ()时，流行病停止传播。群体又按最出的自限规律增长，直至总数达到，流行病再次发生，于是群体在与之间循环。试证：从增至的时间为，而从减到的时间为。从而整个循环的周期为。6.5 当老鼠过多时鼠群就会发生瘟疫，而且鼠群总数增大会吸引大量猫、猫头鹰等捕鼠动物。因此在几个星期内鼠群的9798%就回死去或被捕食，直到数量降到最高峰的2%时，由于密度太低，瘟疫停止传播，捕鼠动物因鼠稀少而离开。设在增加时服从指数规律，减少时服从。试证明鼠群增加到最高峰需要时间，而从最高峰减少至最低数字需时间。设年，说明。6.6 如下哪一个模型对于描述疾病在有限的人群中的传播是合理的： （1）

49、； （2）；（3），其中为感染病人的总数，为人群总数。6.7 考虑如下的种群增长模型：（1）， （2）（3）， （4）其中为常数，对于每个情形，试描述生育和死亡的机制。6.8 建立相互依存的两物种群体的数学模型：设第一物种独立存在时服从自限增长规律，第二物种为第一物种提供食物有助于第一物种的增长；若无第一物种，第二物种以固定的死亡率衰减，第一种生物为第二生物提供食物，促进第二物种的增长。同时第二物种也受自限规律制约。6.9 若在掠肉鱼小鱼系统中考虑一种情形：掠肉鱼只捕食成年的小鱼而不捕食幼鱼。试建立该情形的数学模型。6.10 试建立以下化学反应的数学模型（1）设1mol物质A和1mol物质B经

50、不可逆化合反应生成1mol物质P。由于化合反应是由两物质分子碰撞而发生的，物质A和B的浓度越大，A、B转化为P的速率越快。设已知A和B的初始浓度，试建立此化合反应的数学模型。（2）设A、B两种物质溶解在水中，A、B可以相互转化。A转化为B称为正反应，B转化为A称为逆反应。若正反应的速率与A的浓度成比，比例系数为，逆反应的浓度与B的浓度成正比，比例系数为，已知A、B初始时的浓度，试建立此可逆反应的数学模型。6.11 考虑如下的三种群的生态模型，假设系数都是正的，试描述每个生物种在这个系统中所起的作用。6.12 假设给第一类即易受传染者注射预防针，其注射的速度同这一类的人数成正比，这时（1）试求其

51、轨线。（2）由（1）推出下列结论：对于方程的每一个，当趋向于无穷大时，趋向于零。6.13 本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两年爆发一次麻疹传染病。生物学家试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添新的成员而不断得到补充。因此，他假设其中和都是正的常数。试求：（1）找出方程组的平衡解；（2）证明方程组的初始值足够接近这个平衡解的每一个解，当趋于无穷大时，都趋向于平衡解。（3）当趋向于无穷大时，方程组的每一个解都趋于平衡解。所以，我们得到结论：方程组不能解释重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明，这种疾病最终将趋向于稳恒状态。6.14 （本题为美国首届大学生数学模型竞赛试题）在一个资源有限即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。试选择一种鱼类或哺乳动物（例如北美矮