第十二章教育评估模糊数学论.

1、基本原理篇1第十二章教育评估模糊数学论模糊数学 (Fuzzy Mathematics) 自 1965 年创立以来，已经广泛应用于社会科学研究领域。本章在简要介绍模糊数学的基本原理和探讨教育及其评估现象模糊性的基础上，研究模糊数学的理论与方法在教育评估中的应用。第一节模糊数学的基本原理与教育现象的模糊性一、模糊数学的基本原理(一 )模糊数学概述模糊数学是1965 年由美国控制论专家扎德(LAZaden) 首先提出来的，它是研究模糊领域中事物数学化的一门边缘学科，现已成为数学的一个重要分支。数学起源于对实际问题的描述， 实践是数学的源泉。 而人类实践的范围是广阔的， 用数学的观点可以把实践中所遇到

2、的现象大致分为三类： 确定现象、 随机现象和模糊现象。 为解决和描述确定现象，逐步发展起来的数学工具有几何、代数、数学分析、微分方程等，习惯上把其称为“经典数学” ；为解决和描述随机现象，逐渐发展起来的数学工具有概率论和数理统计， 习惯上称其为 “统计数学”；而人们的实践中往往发现有一条不相容原理当一个系统的复杂性增加时， 人们使它精解化的能力将减小， 在达到一定阈值以上时， 复杂性与精确性互相排斥， 与复杂性紧紧相伴的， 就是模糊性。而模糊数学就是研究和处理模糊现象的一种新的数学方法。“数学”与“模糊”本来是互相对立的词，扎德把二者统一在一起，不是让数学变成模模糊糊的东西，也不是让数学放弃它

3、何兆华：教育评估的模糊数学技术与方法，中国教育评估专业委员会第二次代表大会暨第五届学术年会论文，1994 年 10 月，天津。的严密性去迁就模糊性，而是要让数学进入模糊现象这个禁区。但是，也不能把“模糊”一词看成纯粹消极的贬义词，过分的精确反倒模糊，适当的模糊反倒精确，模糊的手段常常可以达到精确的目的。模糊数学的一个重要特点，就是要使数学回过头来吸取人脑识别和判决的模糊特点，使之运用于计算机，使部分自然语言能够作为算法语言直接进入程序，使人能以简易的程序调动机器完成更复杂的任务，从而大大提高机器的活性，形成一种新的更加灵活而简捷的处理手段与方法。概率论和数理统计的产生， 把数学的应用范围从必然

4、现象领域扩大到偶然现象领域，弥补了经典数学之不足。模糊数学的产生，把数学的应用范围从精确现象领域扩大到模糊现象领域， 弥补了经典数学和统计数学之不足。概率论和数理统计研究和处理随机性，模糊数学研究和处理模糊性， 二者都属于不确定数学， 他们之间有深刻的联系， 但又有着本质的不同。 模糊数学把传统数学从 “二值逻辑”的基础扩展到连续值上来，更具有深远的意义。(二 )模糊子集的基本概念集合论是现代数学的基础。在经典数学的普通集合论中，一个元素是否属于集合 A 是明确的。即uA或uA二者必属其一，且只属其一，它的逻辑基础是二值逻辑。除了普通集合( 亦称论域 ) 的子集外，还有另外一种子集，他们没有明

5、确的“边界” ，称其为“模糊子集” ，并用下面带波浪的大字母 ( 如 A，B 等 ) 来表示。为了表示某一元素与模糊子集的关系，扎德提出了“隶属度”的概念，即是说，对于论域的每一个元素ui 在闭区间 0， 1中给它一定对应的数字指标，用以表明ui 对于模糊子集 A 的隶属程度，并用A (u i ) 或 i A 表示，称为元素ui 对模糊子集 A 的隶属度。定义 ：给定论域 U，所谓指定了U 上的一个模糊子集A ，是指对任意 u U，都有一个隶属度(0 1 ) 与之相对应。称基本原理篇3为 A 的隶属函数，记作 = A (u) 或 A (u)显然A(u)值愈大，表示u 对 A 隶属程度愈高；A

6、1时表示 u肯定属于 A ； A (u)0 时表示 u 肯定不属于 A 。扎德建议将模糊子集表示成AA/ uA /A/ U1 12U 2m m=m(U)i A /U iii 1U 中其中 U 为论域，这里的“”号并无求和之意。当论域的元素为无穷不可数时，则可记成AA( u) / u(uU )同样这里的积分号也无求积分之意。显然，模糊子集A 完全可以由其隶属函数A( u) 来描述，因此也可以用模糊向量( 即隶属度向量) 来表示A1A, 1A,m A当一个子集的隶属度只取0 或 1 时，则子集就退化成普通子集，普通子集的隶属函数称为特征函数，用CA(u) 表示，即CA (u)1(uU )0(u U

7、 )注意模糊子集是通过隶属函数来下定义的，它本身没有明确的范围，若一定要问其图像，需要选取门坎。是介于0，1 之间的一个实数，当，便算作u ，否则，便算作，这样得A( u)Au A到一个普通子集，记作AuuU ,A (u)叫做 A的图像，叫置信水平。当从 1 下降到零， A 逐渐扩张，象征 A 是一个具有游动边界的集合。(三 )模糊集合的运算可以利用特征函数 CA(u) 和隶属函数 A (u) 来定义子集的运算，这样便很自然地将普通子集的运算推广到模糊子集的运算上去。设 A、 B、C、 D为论域 U上的四个普通子集，A、B、C、D 为论域U 上的四个模糊子集，则两类子集的运算规则可以对比如下：

8、1. 相等若 A=B,则对一切 uU, 有 CA(u)=C B(u)若 AB ，则对一切 uU, 有A(u)B(u)2. 包含若 A B，则对一切 uU, 有 CA(u) CB(u)若 AB ，则对一切u U,有 C A (u)B (u )3. 余集 (补集)若 A 与 A 互为余集，则对一切u U, 有 C (u)1CA (u)A若 A 与 A 互为余集，则对一切uU, 有A(u)1C A(u)4. 并集若 C=A B，则对一切 u U，有 Cc(u)=max CA(u),C B(u) 若 CA B ，则对一切 uU，有C( u)max A (u)， B (u)5. 交集若 D=A B，则对

9、一切 u U，有若 D A B , 则对一切 uU，有 CD (u )min CA (u)，CB (u)D (u)minA(u)，B (u)并集 C 和交集 D 的隶属函数可表示为C (u )A(u )B(u )(CAB)D (u )A(u)B( u)(DAB)其中“”和“”分别表示“取大”和“取小”运算。模糊子集的并、交运算可以推广到任意多个模糊子集上去，设CmDmAiAi且有i 1 i 1 c (u)supAi (u ),Am (u)D (u )iufA i (u),Am (u )式中 sup、 inf分别表示上确界和下确界6. 代数积模糊集A 与 B 的代数积为A B ，其隶属函数规定为

10、基本原理篇5ABAB7. 代数和模糊集 A 与 B 的代表和记为A + B ，其隶属函数AB ，规定为当ABAB1当8. 环和AB1A B1 模糊集 A，B 和记为 AB ，其隶属函数规定为AB 规定为ABABAB注意，当AB 虽在于 1，但ABAB 不超过 1 时，应直接计算，而不应取AB =1。显然环和也可由下算出AB 1A B 9. 绝对差模糊集 A与 B 的绝对差记为A B ，其隶属数A B规定为 A B =AB 二、教育及其评估现象的模糊性所谓模糊性， 是指客观事物差异的中间过渡的 “不分明性”、事物类属的不清晰性、事物性状的不确定性，表现了客观事物两极对立的不充分性和自身同一的相对

11、性。教育这种事物也具有模糊性。(一 )教育归属的不清晰性教育是培养人的社会活动，属于一种社会范畴，其在类属性是明确的而不是模糊的。但其界限又不很分明，具有模糊性。从教育与社会的经济、 政治制度的关系来看， 一定社会的教育总是受一定社会政治、 经济的制约，政治、 经济决定教育的性质，决定教育的领导权和受教育权，决定教育的方针政策，决定教育的目的和某些教育内容。教育的这些方面是随着经济基础的变化而变化的，属于上层建筑的范畴。但是，自然学科的内容、各科教法、 教学中的组织形式、学制中的入学年龄、 各级各类学校的入学年限等，则不随经济基础的变化而变化，故不属于上层建筑的范畴。从教育与生产力的关系来分析

12、，教育能够进行劳动力再生产；教育劳动是一种生产劳动，因为它已经成为“总体工人的一个器官” ，教师劳动是为了“训练保持劳动能力” ，他们也是生产劳动者；同时，教育还可以使知识形态的生产力转化为直接的生产力， 它是从物质生产部门中分化出的一个生产部门。 因此，教育又具有生产力的属性。实质上，从教育的起源、教育发展的历史事实以及教育与生产力和生产关系等方面综合分析，我们认为教育具有生产力和上层建筑的双重属性，具有阶级斗争和生产斗争工具的双重特征。这两种属性和职能是矛盾的，但又不具备充分性；又是统一的，但其有相对性；两者同一于模糊性。(二 )教育功能的相对性随着人类文明的发展，教育的社会功能愈来愈显示

13、出多方面的意义。但是由于人们对社会发展和教育功能认识的局限性，以及教育系统中每一个能动者的主观性，教育诸方面的功能只能部分地或在一定程度上实现，甚至于与社会的要求相反。具体说，在一定的历史条件下，教育动机和教育效果不会是绝对地成“正比例”关系。不少的时候却是，好的教育动机没有收到良好的教育效果，同一教育方法的作用也是此一时彼一时，而某一受教育者的激奋感和危机感又可能来自同一教育内容。 因此，可以认为，每一位教育者的作用或每一种教育方法的功能大小，则大多数是以两极之间的某一状态反映出来，它既是全体受教育者反应中的概率性体现，也是某个受教育者接受程度的不确定性表现。教育功能的相对性还在于教育功能过

14、程的多维性。教育功能体现的主要指标是促进受教育者的自我完善和社会化，而受教育者不仅是教育影响的接受者，也是教育过程的主体和能动者；不仅是教育过程的参与者，也是社会之成员。受教育者性状的极大可塑性，既表现在品德、知识、能力和个性各方面的质和量的变化的弹性上，也存在于接受外界影响的多渠道、心理内部因素的多因联动、以及身心内外交互作用的复杂性上。这种学习过程中基本原理篇7功能上的复合性，使教育功能更具不稳定性，使教育现象具有模糊性。(三 )教育性状的不确定性和教育评估的模糊性事物的类属区分总是以它们的某种性状为依据的。清晰事物某性状是肯定的、分明的，而模糊性则是事物性状的不确定性。在教育评估的实践中

15、，我们常说“某某学校办学水平高” ，“某位校长治校艺术好” 、“某位教师很会教书” 、“某套教材编得很好” 、“某位学生数学成绩一般”等等。这“高” 、“好”、“很会”、“很好”、“一般”等程度副词就是一种性状描述。但是，怎样才算办学水平“高” ，“很好”到了什么程度，怎样才算“很会”教书等等，显然是模糊的。另外，事物性状是一种质的规定性，而同一质的不同程度之间的差异则是一种量的区别，唯物辩证法质量规律表明，事物的质变，是一种量的不断积累，也是事物不同发展阶段的连接。在教育评估中，质量互变过程的划分往往也是模糊的。如高考初录线为 500 分，考生录取与否以 500 分为界而发生质变，但不能因此就说落榜者的知识、技能和智力发展水平绝对不及录取者。如此等等，教育评估过程中这种消除不了的性状变化在量上的不确定性，决定了教育评估的模糊性。教育的模糊性是教育过程诸要素普遍联系和不断变化产生的差异性的反映，它本身是客观的。但是，人们的认识总是不断地深入，去接近教育的本来面目的。由于认识过程还要受到主客观条件的限制，因此，认识只能是教育现象的近似抽象。由于不同的人对教育现象判断依据的差异性，使教育现象本身的确定性方面又产生了差异。因此，教育现象的相对性也是主客体交互作用的反映，也是人们的一种主观判断。综上所述，教育现象的模糊性是其归属的不清晰性、功能的相对性、性状的不确定性和评估的模糊性等特性