希腊数学——古代世界逻辑思维发展的高峰 - 湖北经济学院

1、数学史 世界数学大事年表约公元前3000年埃及象形数字公元前2400年早期巴比伦泥版楔形文字，采用60进位值制记数法。已知勾股定理公元前1850公元前1600年埃及纸草书（莫斯科纸草书与莱茵德纸草书），使用10进非位值制记数法公元前1650年公元前1400年中国殷墟甲骨文，已有10进制记数法公元前1100年周公(公元前11世纪)、商高时代已知勾三、股四、弦五约公元前600年希腊泰勒斯开始了命题的证明约公元前540年希腊毕达哥拉斯学派，发现勾股定理，并导致不可通约量的发现约公元前500年印度绳法经中给出平方根相当精确的值，并知勾股定理约公元前460年希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三

2、等分角和二倍立方约公元前450年希腊埃利亚学派的芝诺提出悖论公元前430年希腊安提丰提出穷竭法约公元前380年希腊柏拉图在雅典创办学园，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力公元前370年希腊欧多克索斯创立比例论约公元前335年欧多莫斯著几何学史中国筹算记数，采用十进位值制约公元前300年希腊欧几里得著几何原本，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范公元前287公元前212年希腊阿基米德，确定了大量复杂几何图形的面积与体积；给出圆周率的上下界；提出用力学方法推测问题答案，隐含近代积分论思想公元前230年希腊埃拉托塞尼发明“筛法”公元前225年希腊阿波罗尼奥斯著圆锥曲线论约公元前150年中国现存最早的

3、数学书算数书成书（19831984年间在湖北江陵出土）约公元前100年中国周髀算经成书，记述了勾股定理中国古代最重要的数学著作九章算术经历代增补修订基本定形（一说成书年代为公元 50100年间），其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献约公元62年希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式（海伦公式）约公元150年希腊托勒密著天文学，发展了三角学约公元250年希腊丢番图著算术，处理了大量不定方程问题，并引入一系列缩写符号，是古希腊代数的代表作约公元263年中国刘徽注解九章算术，创割圆术，计算圆周率,证明圆面积公式,推导四面体及四棱

4、锥体积等，包含有极限思想约公元300年中国孙子算经成书，系统记述了筹算,记数制，卷下“物不知数”题是孙子剩余定理的起源公元320年希腊帕普斯著数学汇编，总结古希腊各家的研究成果,并记述了帕普斯定理和旋转体体积计算法公元410年希腊许帕提娅，历史上第一位女数学家，曾注释欧几里得、丢番图等人著作公元462年中国祖冲之算出圆周率在 3.1415926与3.1415927之间,并以22/7为约率，355/113为密率（现称祖率） 中国祖冲之和他的儿子祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理，现称祖暅原理，相当于西方的卡瓦列里原理(1635)公元499年印度阿耶波多著阿耶波多文集，总结了当时印度的天文、算术

5、、代数与三角学知识。已知=3.1416，尝试以连分数解不定方程公元600年中国刘焯首创等间距二次内插公式，后发展出不等间距二次内插法（僧一行,724）和三次内插法(郭守敬，1280)约公元625年中国王孝通著缉古算经，是最早提出数字三次方程数值解法的著作公元628年印度婆罗摩笈多著婆罗摩历算书，已知圆内接四边形面积计算法，推进了一、二次不定方程的研究公元656年中国李淳风等注释十部算经，后通称算经十书公元820年阿拉伯花拉子米著代数学，以二次方程求解为主要内容，12世纪该书被译成拉丁文传入欧洲约公元870年印度出现包括零的十进制数码，后传入阿拉伯演变为现今印度阿拉伯数码约公元1050年中国贾宪

6、提出二项式系数表（现称贾宪三角和增乘开方法公元1100年阿拉伯奥马海亚姆首创用两条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根公元1150年印度婆什迦罗第二著婆什迦罗文集为中世纪印度数学的代表作，其中给出二元不定方程x2=1+py2若干特解，对负数有所认识，并使用了无理数公元1202年意大利l.斐波那契著算盘书，向欧洲人系统地介绍了印度阿拉伯数码及整数、分数的各种算法公元1247年中国秦九韶著数书九章，创立解一次同余式的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术，相当于西方的霍纳法(1819)公元1248年中国李冶著测圆海镜，是中国现存第一本系统论述天元术的著作约公元1250年阿拉伯纳西尔丁图西开始使三角学

7、脱离天文学而独立,将欧几里得几何原本译为阿拉伯文公元1303年中国朱世杰著四元玉鉴，将天元术推广为四元术，研究高阶等差数列求和问题公元1325年英国t.布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算公元14世纪珠算在中国普及约公元1360年法国n.奥尔斯姆撰比例算法，引入分指数概念，又在论图线等著作中研究变化与变化率，创图线原理，即用经、纬度(相当于横、纵坐标)表示点的位置并进而讨论函数图像公元1427年阿拉伯卡西著算术之钥，系统论述算术、代数的原理、方法，并在圆周论中求出圆周率17位准确数字公元1464年德国j.雷格蒙塔努斯著论一般三角形，为欧洲第一本系统的三角学著作，其中出现正弦定律公元1482年欧几

8、里得几何原本(拉丁文译本)首次印刷出版公元1489年捷克韦德曼最早使用符号、表示加、减运算公元1545年意大利g.卡尔达诺的大术出版，载述了s费罗(1515)、n.塔尔塔利亚(1535)的三次方程解法和l.费拉里(1544)的四次方程解法公元1572年意大利r.邦贝利的代数学出版，指出对于三次方程的不可约情形，通过虚数运算必可得三个实根，给出初步的虚数理论公元1585年荷兰s.斯蒂文创设十进分数(小数)的记法公元1591年法国f.韦达著分析方法入门，引入大量代数符号，改良三、四次方程解法，指出根与系数的关系，为符号代数学的奠基者公元1592年中国程大位写成直指算法统宗，详述算盘的用法，载有大量

9、运算口诀，该书明末传入日本、朝鲜公元1606年中国徐光启和利玛窦合作将欧几里得几何原本前六卷译为中文公元1614年英国j.纳皮尔创立对数理论公元1615年德国开普勒著酒桶新立体几何，有求酒桶体积的方法，是阿基米德求积方法向近代积分法的过渡公元1629年荷兰吉拉尔最早提出代数基本定理 法国p.de 费马已得解析几何学要旨，并掌握求极大极小值方法公元1635年意大利（f.）b.卡瓦列里建立“不可分量原理”公元1637年法国r.笛卡儿的几何学出版，创立解析几何学 法国p.de费马提出“费马大定理”公元1639年法国g.德扎格著试论处理圆锥与平面相交况初稿，为射影几何先驱情公元1640年法国b.帕斯卡

10、发表圆锥曲线论公元1642年法国b.帕斯卡发明加减法机械计算机公元1655年英国j.沃利斯著无穷算术,导入无穷级数与无穷乘积,首创无穷大符号公元1657年荷兰c.惠更斯著论骰子游戏的推理，引入数学期望概念，是概率论的早期著作。在此以前b.帕斯卡、p.de费马等已由处理赌博问题而开始考虑概率理论公元1665年英国i.牛顿一份手稿中已有流数术的记载，这是最早的微积分学文献，其后他在无穷多项方程的分析（1669年撰，1711年发表）、流数术方法与无穷级数（1671年撰, 1736年发表）等著作中进一步发展流数术并建立微积分基本定理公元1666年德国g.w.莱布尼茨写成论组合的技术，孕育了数理逻辑思想

11、公元1670年英国i.巴罗著几何学讲义，引进“微分三角形”概念约公元1680年日本関孝和始创和算，引入行列式概念，开创“圆理”研究公元1684年德国g.w.莱布尼茨在学艺上发表第一篇微分学论文一种求极大极小与切线的新方法，两年后又发表第一篇积分学论文，创用积分符号公元1687年英国i.牛顿的自然哲学的数学原理出版，首次以几何形式发表其流数术公元1689年瑞士约翰第一伯努利提出最速降曲线问题，后导致变分法的产生.法国g.-f.-a.de 洛必达出版无穷小分析,其中载有求极限的洛必达法则公元1707年英国i.牛顿出版广义算术，阐述了代数方程理论公元1713年瑞士雅各布第一伯努利的 猜度术出版，载有

12、伯努利大数律公元1715年英国b.泰勒出版正的和反的增量方法，内有他1712年发现的把函数展开成级数的泰勒公式公元1722年法国a.棣莫弗给出棣莫弗公式公元1730年苏格兰j.斯特林发表微分法，或关于无穷级数的简述，其中给出了 n!的斯特林公式公元1731年法国a.c.克莱罗著关于双重曲率曲线的研究，开创了空间曲线的理论公元1736年瑞士l.欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题公元1742年英国c.马克劳林出版流数通论，试图用严谨的方法来建立流数学说，其中给出了马克劳林展开公元1744年瑞士l.欧拉著寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧，标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生公元1747年法国j.le

13、 r. 达朗贝尔发表弦振动研究,导出了弦振动方程,是偏微分方程研究的开端公元1748年瑞士l.欧拉出版无穷小分析引论，与后来发表的微分学(1755)和积分学(1770)一起，以函数概念为基础综合处理微积分理论，给出了大量重要的结果，标志着微积分发展的新阶段公元1750年瑞士g.克莱姆给出解线性方程组的克莱姆法则瑞士l.欧拉发表多面体公式:v - e + f = 2公元1770年法国j.l.拉格朗日深入探讨代数方程根式求解问题，考虑有理函数当变量发生置换时所取值的个数，成为置换群论的先导德国j.h.朗伯开创双曲函数的全面研究公元1777年法国g.-l.l.de布丰提出投针问题,是几何概率理论的早

14、期研究公元1779年法国é.贝祖著代数方程的一般理论，系统论述消元法理论公元1788年法国j.l.拉格朗日的分析力学出版，使力学分析化，并总结了变分法的成果公元1794年法国a.m.勒让德的几何学基础出版，是当时标准的几何教科书法国建立巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校公元1795年法国g.蒙日发表关于把分析应用于几何的活页论文,成为微分几何学先驱公元1797年法国j.-l.拉格朗日著解析函数论，主张以函数的幂级数展开为基础建立微积分理论 挪威c.韦塞尔最早给出复数的几何表示公元1799年法国g.蒙日出版画法几何学，使画法几何成为几何学的一个专门分支 德国c.f.高斯给出代数基本

15、定理的第一个证明公元1799 1825年法国p.-s.拉普拉斯的5卷巨著天体力学出版，其中包含了许多重要的数学贡献，如拉普拉斯方程、位势函数等 公元1801年德国c.f.高斯的算术研究出版，标志着近代数论的起点公元1802年法国j.é.蒙蒂克拉与j.de拉朗德合撰的数学史共4卷全部出版,成为最早的较系统的数学史著作.公元1807年法国j.b.j.傅里叶在热传导研究中提出任意函数的三角级数表示法（傅里叶级数），他的思想总结在1822年发表的热的解析理论中公元1810年法国j.d.热尔岗创办纯粹与应用数学年刊，这是最早的专门数学期刊公元1812年英国剑桥分析学会成立 法国 p.-s.

16、拉普拉斯著概率的解析理论,提出概率的古典定义,将分析工具引入概率论公元1814年法国 a.-l.柯西宣读复变函数论第一篇重要论文关于定积分理论的报告（1827年正式发表），开创了复变函数论的研究公元1817年捷克b.波尔查诺著纯粹分析的证明，首次给出连续性、导数的恰当定义，提出一般级数收敛性的判别准则。公元1818年法国s.-d.泊松导出波动方程解的泊松公式公元1821年法国a.-l.柯西出版代数分析教程，引进不一定具有解析表达式的函数概念；独立于b.波尔查诺提出极限、连续、导数等定义和级数收敛判别准则，是分析严密化运动中第一部影响深远的著作公元1822年法国j.v.彭赛列著论图形的射影性质，

17、奠定了射影几何学基础公元1826年挪威n.h.阿贝j著关于很广一类超越函数的一个一般性质，开创了椭圆函数论研究 德国a.l.克雷尔创办纯粹与应用数学杂志法国j.-d.热尔岗与j.-v.彭赛列各自建立对偶原理公元1827年德国c.f.高斯著关于曲面的一般研究，开创曲面内蕴几何学德国a.f.麦比乌斯著重心演算，引进齐次坐标，与j.普吕克等开辟了射影几何的代数方向公元1828年英国g.格林著数学分析在电磁理论中的应用，发展位势理论公元1829年德国c.g.j.雅可比著椭圆函数论新基础，是椭圆函数理论的奠基性著俄国.罗巴切夫斯基发表最早的非欧几何论著论几何基础公元1829年1832年法国e.伽罗瓦彻底

18、解决代数方程根式可解性问题，确立了群论的基本概念公元1830年英国g.皮科克著代数通论，首创以演绎方式建立代数学，为代数中更抽象的思想铺平了道路公元1832年匈牙利j.波尔约发表绝对空间的科学，独立于.罗巴切夫斯基提出了非欧几何思想 瑞士j.施泰纳著几何形的相互依赖性的系统发展，利用射影概念从简单结构构造复杂结构，发展了射影几何公元1836年法国j.刘维尔创办法文的纯粹与应用数学杂志公元1837年德国p.g.l.狄利克雷提出现今通用的函数定义(变量之间的对应关系)公元1840年法国a.-l.柯西证明了微分方程初值问题解的存在性公元18411856年德国k.（t.w.）外尔斯特拉斯关于分析严密化

19、的工作，主张将分析建立在算术概念的基础之上，给出极限的说法和级数一致收敛性概念；同时在幂级数基础上建立复变函数论公元1843年英国w.r.哈密顿发现四元数公元1844年德国e.e.库默尔创立理想数的概念 德国h.g.格拉斯曼出版线性扩张论。建立n个分量的超复数系,提出了一般的n维几何的概念公元1847年德国k.g.c.von 施陶特著位置的几何学，不依赖度量概念建立射影几何体系公元18491854年英国的a.凯莱提出抽象群概念公元1851年德国（ g.f.）b.黎曼著单复变函数的一般理论基础，给出单值解析函数的黎曼定义，创立黎曼面的概念，是复变函数论的一篇经典性论文公元1854年德国（g.f.

20、）b.黎曼著关于几何基础的假设,创立n维流形的黎曼几何学英国g.布尔出版思维规律的研究，建立逻辑代数（即布尔代数）公元1855年英国a.凯莱引进矩阵的基本概念与运算公元1858年德国（g.f.）b.黎曼给出函数的积分表示与它满足的函数方程，提出黎曼猜想德国a. f. 麦比乌斯发现单侧曲面（麦比乌斯带）公元1859年中国李善兰与英国的伟烈亚力合译的代数学、代微积拾级以及几何原本后9卷中文本出版,这是翻译西方近代数学著作的开始。 中国李善兰建立了著名的组合恒等式（李善兰恒等式）公元1861年德国k.(t.w.)外尔斯特拉斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微函数的例子公元1863年德国p.g.l.狄利

21、克雷出版数论讲义，是解析数论的经典文献公元1865年伦敦数学会成立，是历史上第一个成立的数学会公元1866年俄国.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立关于独立随机变量序列的大数律，成为概率论研究的中心课题公元1868年意大利e.贝尔特拉米著论非欧几何学的解释，在伪球面上实现罗巴切夫斯基几何，这是第一个非欧几何模型 德国（g.f.）b.黎曼的用三角级数表示函数的可表示性正式发表，建立了黎曼积分理论公元1871年德国（c.）f.克莱因在射影空间中适当引进度量而得到双曲几何与椭圆几何，这是不用曲面而获得的非欧几何模型 德国g.（f.p.）康托尔在三角级数表示的惟一性研究中首次引进了无穷集合的概念，并在以后

22、的一系列论文中奠定了集合论的基础公元1872年德国（c.）f.克莱因发表埃尔朗根纲领，建立了把各种几何学看作为某种变换群的不变量理论的观点，以群论为基础统一几何学 实数理论的确立：g.（f.p.）康托尔的基本序列论；j.w.r.戴德金的分割论；k.(t.w.)外尔斯特拉斯的单调序列论公元1873年法国c.埃尔米特证明e的超越性公元1874年挪威m.s.李开创连续变换群的研究，现称李群理论公元1879年德国（f.l.）g.弗雷格出版概念语言,建立量词理论,给出第一个严密的逻辑公理体系，后又出版算术基础(1884)等著作，试图把数学建立在逻辑的基础上公元18811884年德国(c.)f.克莱因与法

23、国（j.）h.庞加莱创立自守函数论公元18811886年法国（j.）h.庞加莱关于微分方程确定的曲线的论文，创立微分方程定性理论公元1882年德国m.帕施给出第一个射影几何公理系统德国f.von林德曼证明的超越性公元1887年法国（j.）g.达布著曲面的一般理论，发展了活动标架法公元1889年意大利g.皮亚诺著算术原理新方法，给出自然数公理体系公元1894年荷兰t.（j.）斯蒂尔杰斯发表连分数的研究，引进新的积分（斯蒂尔杰斯积分）公元1895年法国（j.）h.庞加莱著位置几何学，创立用剖分研究流形的方法，为组合拓扑学奠定基础公元1896年德国f.g.弗罗贝尼乌斯开始群的表示理论的系统研究德国h

24、.闵科夫斯基著数的几何，创立系统的数的几何理论法国j.（-s.）阿达马与瓦里-布桑证明素数定理公元1897年第一届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行公元1898年英国k.皮尔逊创立描述统计学公元1899年德国d.希尔伯特出版几何基础，给出历史上第一个完备的欧几里得几何公理系统,开创了公理方法,并预示了数学基础的形式主义观点公元1900年德国d.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作题为数学问题的报告。提出了23个著名的数学问题 希腊数学古代世界逻辑思维发展的高峰希腊数学的发展历史可以分为三个时期第一个时期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二个时期是亚历山大前期，

25、从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三个时期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。 希腊古典时期的数学（公元前6世纪-公元前3世纪） 这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以“万物皆数”为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，给予数学以特殊独立的地位。公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化 中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广

26、阔的天地里。埃利亚学派的芝诺提出四个著名的悖论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎 体系靠拢的又一步。 正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出 新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；“化圆为方”问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。哲学家柏拉图在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯（Eudoxus）是该学园最著名的人物之一，

27、他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德是形式逻辑的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。亚历山大时期的数学 （公元前146年，希腊陷于罗马为止）这一阶段以公元前30年罗马帝国吞并希腊为分界 ，分为前后两期。亚历山大前期出现了希腊数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大几何学家：欧几里得、阿基米德及阿波洛尼乌斯。欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成13卷几何原本。这部划时代历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。阿基米德是最伟大的数学家、力学家和机械师。他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理

28、方法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算。阿基米德在纯数学领域涉及的范围也很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分的思想。亚历山大后期亚历山大后期是在罗马人统治下的时期，幸好希腊的文化传统未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那种磅祌的气势。这时期出色的数学家有海伦、托勒密、丢番图和帕波斯。丢番图的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯的工作是前期学者研究成果的总结和补充。之后希腊数学处于停滞状态。公元415年新柏拉图学派的领袖女数学家希帕提娅遭到基督徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明的衰弱，亚历山大里亚大学有创造力的日子也随之一去

29、不复返了。公元529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼下令关闭雅典的学校，严禁研究和传播数学，数学发展再次受到致命的打击。公元641年，阿拉伯人攻占亚历山大里亚城，图书馆再度被焚（第一次是在公元前46年），希腊数学悠久灿烂的历史，至此终结。总之希腊数学的成就是辉煌的，它所创造的精神财富，不论在数量还是质量上来说都可以说是首屈一指的。 更重要的是，希腊数学把数学科学从哲学中分离出来，使它成为一门独立的学科。古代巴比伦人和古埃及人虽然积累了大量的数学知识，但他们只能回答“应该怎么做”，却无法回答“为什么要这样做”。古希腊人在学习研究前人的数学知识之后，他们进行了有意识研究和系统的总结，他们用科学严谨的精神

30、，从一些公理的确认、到数学概念的严格定义、到一个数学命题和定理的演绎推理过程等，要求每一个环节都是清晰的、无矛盾的。他们认为用这种演绎推理的方法产生的知识才是正确可靠的。正是古希腊数学家们以这种科学的精神与态度对数学所做系统的研究与发展，才使早期的“经验数学”很快地就向“理论数学”转化，对数学乃至科学的发展都起了至关重要的推动作用。 希腊数学代表着人类理性思维发展的重要进展与成就，所以人们说，古希腊的数学不愧为现代理论数学的摇篮。文艺复兴时期的数学直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏开始是由于翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激。大约在1100年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同阿拉伯

31、人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿拉伯世界，从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里学到希腊以及东方古典的学术，激发他们搜寻、发掘与研究这些学术著作的兴趣，并导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨。而意大利由于其特殊的地理位置更容易与其他文明相联系，西西里岛成为东西方文化的交汇之处，也是文艺复兴的前哨。数学著作的翻译主要有英国阿德拉特(约1120)翻译的几何原本和花拉子米的天文表；意大利人狄奥多修斯翻译的球面几何。12世纪最伟大的翻译家格拉多（gherardo,11141187）将90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文，其中包括几何原本、托勒密的大汇编、花拉子米的代数

32、学，因此人们称12世纪是欧洲数学的翻译时代。欧洲黑暗时代以后，第一位有影响的数学家是斐波那契(11701250)，他早年就随其父亲在北非从师阿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿岸诸国，回到意大利后他撰写了算盘书(1202)，这部著作包含了古代中国（如中国数学的“孙子问题”，“百鸡问题”均出现于该书中）、印度的数字，分数算法，开方法，二次和三次方程，不定方程和希腊的数学著作几何原本和希腊三角学的大部分内容。特别是他在书中系统地介绍了印度数字系统，对欧洲数学的发展产生了重要的影响。算盘书可以看成是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的信号。欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会

33、中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒密的一些学术奉为绝对正确的教条，用新的权威主义来继续束缚人们的思想。欧洲数学真正的复苏，要到15、16世纪。在文艺复兴的高潮中，数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调。达芬奇(14521519)就这样说过：“一个人若怀疑数学的极端可靠性就是陷入混乱，他永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争辩。因为人们的探讨不能称为科学的，除非通过数学上的说明和论证。” 伽利略认为宇宙“这本书是用数学的语言写成的”。科学中数学化趋势的增长促使数学本身走向

34、繁荣。十四至十六世纪在欧洲历史上是从中世纪向近代过渡的时期，史称文艺复兴时期。中世纪束缚人们思想的宗教观、神学和经院哲学逐步被摧毁，出现了复兴古代科学和艺术的文化运动。在自然科学方面，如哥伦布地理上的大发现、哥白尼的日心说、伽利略在数学物理上的创造发明等革命性事件相继发生。这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何把三维的现实世界绘制在二维的画布上。他们研究绘画的数学理论，建立了早期的数学透视法思想，这些工作成为十八世纪射影几何的起点。其中最著名的代表人物有：意大利的达.芬奇、阿尔贝蒂，弗朗西斯卡、德国的丢勒等。文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书

35、，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度阿拉伯数码的使用使算术运算日趋标准化。L.帕奇欧里（Pacioli）的算术、几何及比例性质之摘要（1494）是一本内容全面的数学书；维德曼的商业速算法（1489）中首次使用符号“+”和“-”表示加法和减法；A.里泽Riese于1522年出版的算术书多次再版，有广泛的影响；斯蒂文的论十进制1585系统阐述了十进分数的理论。代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作大术（1545）中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费

36、拉里发现，在大术中也有记载。稍后，鲍贝利在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达完成的。他在前人工作的基础上，于1591年出版了名著分析方法入门，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作论方程的识别与订正（1615）中，改进了三、四次方程的解法，还对n = 2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。在文艺复兴时期，三角学也获得了较大的发展。德国数学家雷格蒙塔努斯的论各种三角形是欧洲第一部独立于天文

37、学的三角学著作。书中对平面三角和球面三角进行了系统的阐述，还有很精密的三角函数表。哥白尼的学生雷蒂库斯在重新定义三角函数的基础上，制作了更多精密的三角函数表。文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就，在数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。古代中国数学史数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。一、中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展

38、，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用18个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据史记夏本纪记载，夏禹治水时已使用了这些工具。商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。公元前一世纪的周髀

39、算经提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。礼记内则篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无

40、穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。 而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。 墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。 名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。二、中国古代数学体系的形成 秦汉是封

41、建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以九章算术为代表的数学著作的出现。 九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学

42、完全不同的独立体系。 九章算术有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。 这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的九章算术，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。 九章算术在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有

43、术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。三、中国古代数学的发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注周髀算经，汉末魏初徐岳撰九章算术注，魏末晋初刘徽撰九章算术注、九章重差图都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在周髀算经书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“

44、日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的九章算术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关

45、键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注九章算术的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.14159263.1415927之间；提出祖暅原理；提出二次与三次方程的解法等。据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西

46、方领先约一千年之久。祖冲之之子祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的缉古算经，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆

47、，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释算经十书，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的算经十书，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给周髀算经、九章算术以及海岛算经所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承

48、了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从新唐书等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。四、中国古代数学的繁荣960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次

49、印刷出版了算经十书，1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。从1114世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法日用算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙四元玉鉴等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在九章算法纂类中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在详解九章算法中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。

50、根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。杨辉算法中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在数书九章中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各

51、次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是九章算术和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。元代天文学家王恂、郭守敬等在授时历中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在四元玉鉴“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式。用天元（相当于x）作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的测圆海镜。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联

52、立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的四元玉鉴。朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央，四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法，其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展，比西方同类方法早400多年。勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在算学启蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解

53、勾股形的方法，补充了九章算术的不足。李冶在测圆海镜对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到九个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题，传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式，结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的，从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。 中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多，改

54、革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代。 宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学；莫若在四元玉鉴序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法；杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所

55、有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。中西方数学的融合中国从明代开始进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初魁本对相四言杂字和鲁班木经的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。1582年，意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，他先后与徐光启翻译